专题2 因式分解的应用-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版)五四学制

专题二 因式分解的应用（答案3） 类型1=用于简便计算 3.(2023·四川凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则 1.运算能力利用因式分解的方法计算： 3x3-10x2+5.x+2027的值为 (1)0.84×12+12×0.6-0.44×12; 4.已知a+b=-4,ab=2,求多项式4a2b十 4ab2-4a-4b的值. (2)50.22-49.82: 552-452 (3)g92+198+1 类型3用于判断整除 5.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n十1)· (3n一1)-(3-n)(3+n)的整数是() (4)(1-北-号北--)·…· A.3 B.6 C.10 D.9 6.2s一1可以被60和70之间某两个数整除，求 (-1o) 这两个数. 类型2用于化简求值 2.若c2-a2-2ab-b2=10,a+b十c=-5,则 a十b一c的值是( A.2 B.5 C.20 D.9 16 优学案课时通 类型4用于判断三角形的形状 11.阅读理解先阅读下列材料，再解答下列 7.若三角形的三边长分别为a,b,c,满足ab一 问题： a2c十b2c-b3=0,则这个三角形是() 因式分解：(a+b)2-2(a+b)+1. A.等腰三角形 解：将“a十b”看成整体，设M=a十b,则原 B.直角三角形 式=M2-2M+1=(M-1)2. C.等边三角形 再将“M”还原，得原式=(a+b一1)2. D.三角形的形状不确定 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想” 8.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+ 是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿 2b2+c2=2ab十2bc,那么据此判断△ABC的 照上面的方法解答下列问题： 形状是() (1)因式分解：(2a+b)2-9a2= A.等边三角形 B.直角三角形 (3a+2b)2-(2a+3b)2= C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 (2)因式分解：(x-y)2+2(x-y)+1= 9.已知BC=a,AC=b,AB=c,且满足a2+ :(a+b)(a+b-4)+4= 6+=ac+c,试判定a,6c能否构成三 (3)求证：若n为正整数，则式子(n十1)(n十 2)(n2+3n)+1的值一定是某一个正整数的 角形？如果能，请判定三角形的形状，如果不 平方. 能，请说明理由。 类型5用于推理证明 10.推理能力》求证：不论x取何实数，多项式 一2x4+12x3一18x2的值都不会是正数， 一年业上用数学管四 17(2)x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)3-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x+1)(x-5). x>5, .(x+1)(x-5)>0, ∴.x2-4x-5>0. (3),a2+b2-2a-8b+17=0, ∴.a2-2a+1+b2-86+16=0, ∴.(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, .a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a)十(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)ax+a*-2ab-bx+b*=(ax-bx)+(a*- 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a+2a2b2+b)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(m一5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x+y)· (2x-y)-(2x+y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x十1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1)x2-5x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3x-18=(x+6)(x-3). (3)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1). (4)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2). 6.解：(x2-5x)2-16 =(x2-5x)2-42 =[(x2-5x)+4][(x2-5x)-4] =(x2-5x+4)(x8-5.x-4) =(x-1)(x-4)(x2-5x-4) 7.解：(1)(x+2)(x2-2x十4) (2)64x+1=64x‘+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16x2=(8x2+1)2-(4x)2= (8.x2+1+4x)(8x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： ,3a2+4b2-6a-16b+19=0, .3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, .3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 ,a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b+a; 1<c<3. 又c为整数， ∴.c=2, ,.b=c=2, ∴.△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2- 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1). (2)原式-x‘+4y+4.x2y2-4x2y =(x2+2y2)2-(2xy) =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). 9.解：(1)C(2)(a十2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y十18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3). 10.解：设x2+3x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(x2+3.x+6)(x2+3x-4)=(x 1)(x+4)(x2+3x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 99+198+1 992+2×99×1+18 100×10100×101 (99+1)2100×10010 (4)原式 1-)1-)--)-0) 1-1+2)(1-31+号1-)： +-号)+号)…(-6)+) 10-×10-0 2.A3.2023 4.解：4a2b+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=一4，ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：，28-1=(224-1)(224+1)=(218-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(24+1)=63× 65×(22+1)×(2+1),.这两个数为63和65. 3 7.A8.A 【变式训练3】解：(1)直接配方，得(a十2)2=0，解得 9.解：不能构成三角形.理由：a3+b2+号c2=ac a1=a2=-2. 2 (2),x2-4x+y2+6y+13=0, c,a2+b+2c2-ac-c=0(a2-ae+2） .(x-2)2+(y+3)2=0, 解得x=2,y=-3. 6-c+）=0,a-2)+6-2)-0， ∴.(x十y）-2024=(2-3)-2024=(-1)-224=1. (3),a2-2a-8=0, a-=0咀6-c=0,即a=c且6=c, 1 ∴.(a-1)2=9, 两边开平方，得a一1=土3， ∴a十b=c,∴.无法构成三角形 ∴.a1=4,a2=-2. 10.证明：原式=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2 【通模拟】 -2x2≤0，(x-3)2≥0， 1.B2.D3.C4.B5.B6.125 .一2x2(x一3)2≤0，.不论x取何实数，原式的 7.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)(a-1)(a+a+1) 值都不会是正数. 8.解：(1)原式=n3(m-2)一n(m-2) 11.解：(1)(b-a)(5a+b)5(a+b)(a-b) =n(m-2)(n2-1) (2)(x-y+1)2(a+b-2)2 =n(m-2)(n+1)(n-1). (3)(n+1)(n+2)(n+3n)+1 (2)原式=(a2+4十4a)(a2+4-4a) =(n2+3m+2)(n2+3n)+1 =(a+2)2(a-2)2. =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2, 9.解：(1)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2 所以若n为正整数，则式子(n+1)(n十2)(n2+ (2)原式=(m2-5+1) 3n)+1的值一定是某一个正整数n2十3n十1的 =(m2-4)2-[(m+2)(m-2)] 平方. =(m+2)2(m-2)2. 本章综合提升 10.解：(1)(x-1)(x‘+x3十x2+x+1) 【本章知识归纳】 (2)(x-1)(xn-1+x-8+…+x+1) (3)根据上述规律，可得2-1=(2-1)(2+25+ 整式的积m(a十b+c)(a+b)(a-b)(a士b) 24+23+22+2+1), 【思想方法归纳】 ∴.2+25+2+23+22+2+1=2-1. 【例1】思路分析：利用代数式分别表示出图①，图②阴 【通中考】 影部分面积即可解答问题 11.C a2-2ab-3b2=(a+b)(a一3b)解析：由题可知，题 12.2(a+2b)(a-2b) 图①阴影部分面积为a2一2ab一3b2,题图②是长为 a十b,宽为a一3b的长方形，因此面积为(a十b)(a 第二章分式与分式方程 3b). 1认识分式 ,两个图形阴影部分面积相等， 第1课时认识分式 ∴.a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b). 1.B2.C3. 2S 【变式训练1】(a十b)(a+2b) 4.A5.B6.-3 m十n 【例2】思路分析：首先利用公式法将a2一b2因式分解， 再将a十b看成一个整体，充分化简运算. 1解：①)要使号有意义，需2五-3≠0 2029 解得x≠1.5. 【变式训练2】36 【例3】思路分析：通过已知条件，找到a,b,c的关系： 当x1.5时，二有意义。 ab十ac=-bc,ac十bc=-ab,abc=-2023,即可获 6(x-3) 得答案. (2)要使-2有意义，需x-12≠0. -1解析：a2(b十c)=b2(a十c), 解得x≠士12. .a2b十a2c-ab2-b2c=0, 6(x-3) ..ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 当x≠士12时，x-2有意义， (a-b)(ab+ac+bc)=0. a≠b, (3)要使r十6 +1有意义，需x2+1≠0. .a-b≠0， .'.ab+ac+bc=0,ab+ac=-bc,ac+bc=-ab. 当：为任意实数时，有意义。 a2(b+c)=a(ab+ac)=2023, ,∴.a(-bc)=2023, (4)要使一4红十4 意义，需x2一4x十4≠0. .-abc=2023, 即(x一2)8≠0，∴x≠2. ,.abc=-2023, .c2(a+b)-2024=c(ac+bc)-2024=c(-ab) 当x≠2时·2-红十有意义， 2024=-abc-2024=-1. 8.A