专题1 因式分解的方法-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版)五四学制

专题一因式分解的方法（答案3） 类型1分组分解法 类型2十字相乘法 1.先阅读下列材料，再因式分解. 3.分解因式x2十3.x十2的过程，可以用十字相乘 要把多项式am十an+bm十bn因式分解，可以 的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别 先把它的前两项分成一组，并提出a:再把它的 写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常 后两项分成一组，并提出b,从而得到 数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下 a(m+n)+b(m十n).这时由于a(m十n)与 角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 b(m十n)又有公因式（十n),于是可提出公 系数.这样，我们可以得到x2十3x十2=(x十 因式(m十n),从而得到(m+n)(a十b).因此有 1)(x+2).请利用这种方法，分解因式2x一 am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= 3.x-2= a(m+n)+b(m+)=(m+n)(a+b). 1。 请用上面提供的方法分解因式： 2 1×2+1×1=3 (1)a2-ab+ac-bc; 4.因式分解：a2一3a一4= 5.用“十字相乘法”因式分解： (1)x2-5.x-36:(2)x2+3x-18: (2)m2+5n-7mn-5m. (3)2x-3x+1: (4)6x2+5x-6. 2.把下列各式因式分解： (1)4x2-2x-y2-y: 6.(2023·上海青浦区期末)因式分解：(x2一 5.x)2-16. (2)a2+b-9+2ab. 14》 优中学擦说时型 蹈类型3蹈添（拆）项法 猫类型4避换元法 7.我们已经学过多项式因式分解的方法有提公 9.推理能力》某数学老师在讲因式分解时，为了 因式法和公式法，其实多项式的因式分解还有 提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的 别的方法，下面介绍一种方法：“添（拆）项分组 题：对多项式(a2+4a+2)(a2+4a+6)+4进 分解法” 行因式分解，有个学生解答过程如下： 例题： 解：设a2+4a=b x3+8=x3+2x2-2.x2+8(添上2x2,再减去 则原式=(b十2)(b十6)十4…第一步 2x2,使多项式的值不变) =b2+8b+16…第二步 =(x3+2x2)-(2.x-8)(分成两组) =(b十4)2…第三步 =x2(x+2)一2(x+2)(x一2)（两组分别因式 =(a十4a十4)2.…第四步 分解) 根据以上解答过程回答下列问题： = (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (两组有公因式，再提公因式) 哪种方法？ (填选项) (1)请将上面的例题补充完整 A.提取公因式 (2)仿照上述方法因式分解：64x+1. B.平方差公式 (3)若a,b,c是△ABC的三边长，且满足 C.两数和的完全平方公式 3a2十4b2一6a一16b+19=0,c为整数，试判断 D.两数差的完全平方公式 △ABC的形状，并说明理由. (2)对第四步的结果继续因式分解得到结果 为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2一6.x)· (x2一6x+18)+81进行因式分解. 8.把下列各式因式分解： (1)4x+1: 10.因式分解：(x2+3x-2)(x2+3.x十4)-16. (2)x+4y. 一八年数上册数学+自较题 15》(2)x2-4x-5 =x2-4x+4-5-4 =(x-2)3-9 =(x-2+3)(x-2-3) =(x+1)(x-5). x>5, .(x+1)(x-5)>0, ∴.x2-4x-5>0. (3),a2+b2-2a-8b+17=0, ∴.a2-2a+1+b2-86+16=0, ∴.(a-1)2+(b-4)2=0, .a-1=0,b-4=0, .a=1,b=4, .a+b=5. 17.解：(1)x2-a2+x十a=(x2-a)十(x十a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1). (2)ax+a*-2ab-bx+b*=(ax-bx)+(a*- 2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+ a-b). (3)原式=(a+2a2b2+b)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2) =(a2+b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2. a2+b2=9,(a-b)2=1,.原式=9. 专题一因式分解的方法 1.解：(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+ c(a-b)=(a-b)(a+c). (2)原式=(m2-mm)+(5n-5m)=m(m-n) 5(m-n)=(m一5)(m-n). 2.解：(1)原式=(4x2-y2)-(2x+y)=(2x+y)· (2x-y)-(2x+y)=(2x+y)(2x-y-1). (2)原式=a2+2ab+b2-9=(a+b)2-9=(a+b+ 3)(a+b-3). 3.(2x十1)(x-2) 4.(a+1)(a-4) 5.解：(1)x2-5x-36=(x-9)(x+4). (2)x2+3x-18=(x+6)(x-3). (3)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1). (4)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2). 6.解：(x2-5x)2-16 =(x2-5x)2-42 =[(x2-5x)+4][(x2-5x)-4] =(x2-5x+4)(x8-5.x-4) =(x-1)(x-4)(x2-5x-4) 7.解：(1)(x+2)(x2-2x十4) (2)64x+1=64x‘+16.x2+1-16.x2=(8x2)2+ 2·8x2·1+12-16x2=(8x2+1)2-(4x)2= (8.x2+1+4x)(8x2+1-4x). (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： ,3a2+4b2-6a-16b+19=0, .3a2-6a+3+4b2-16b+16=0, ∴.3(a2-2a+1)+4(b2-4b+4)=0, .3(a-1)2+4(b-2)2=0, ∴.a-1=0,b-2=0, ∴.a=1,b=2 ,a,b,c是△ABC的三边长， .b-a<c<b+a; 1<c<3. 又c为整数， ∴.c=2, ,.b=c=2, ∴.△ABC是等腰三角形. 8.解：(1)原式=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2- 4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1). (2)原式-x‘+4y+4.x2y2-4x2y =(x2+2y2)2-(2xy) =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). 9.解：(1)C(2)(a十2) (3)设x2-6x=y, 则原式=y(y十18)+81 =y2+18y+81=(y+9)2 =(x2-6.x+9)2=(x-3). 10.解：设x2+3x=y, 则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+ 6)(y-4)=(x2+3.x+6)(x2+3x-4)=(x 1)(x+4)(x2+3x+6). 专题二因式分解的应用 1.解：(1)0.84×12+12×0.6-0.44×12= 12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. (2)50.22-49.82=(50.2+49.8)(50.2- 49.8)=40. (3) 552-452 (55+45)(55-45) 99+198+1 992+2×99×1+18 100×10100×101 (99+1)2100×10010 (4)原式 1-)1-)--)-0) 1-1+2)(1-31+号1-)： +-号)+号)…(-6)+) 10-×10-0 2.A3.2023 4.解：4a2b+4ab2-4a-4b=(4a2b+4ab2)-(4a+4b)= 4ab(a+b)-4(a+b)=4(a+b)(ab-1), 把a十b=一4，ab=2代入，得 原式=4×(-4)×(2-1)=-16. 5.C 6.解：，28-1=(224-1)(224+1)=(218-1)(212+ 1)(224+1)=(2-1)(2+1)(212+1)(24+1)=63× 65×(22+1)×(2+1),.这两个数为63和65. 3