精品解析：河南省南阳市方城县2024-2025学年八年级下学期期终质量评估数学试卷

2025年春期期终八年级阶段性调研数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空气的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（ ） A. 0.000124 B. 0.0124 C. 0.00124 D. 3. 如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. 当时，四边形为矩形 D. 当时，四边形为菱形 4. 一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点垂直且平分线段，垂足为点．则边的长为（　　） A B. C. D. 7. 生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 酒精浓度越大，心率越高 B. 酒精对这种鱼类的心率没有影响 C. 当酒精浓度时，心率是168次/分 D. 心率与酒精浓度是反比例函数关系 8. 如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 11 9. 如图，菱形的对角线的长分别为6和是对角线上的任意一点（点不与点重合），且交于点交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A 24 B. 20 C. 12 D. 10 10. 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 当__________时，分式的值为零． 12. 在反比例函数的每一个象限中，的值随着值的增大而增大，则点在第___________象限． 13. 如图，在中，为中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________． 14. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 __________________时． 15. 如图，边长为3的正方形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，射线交直线于点，当时，的长为___________． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且． （1）求证：、互相平分； （2）若，，则_______°． 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 20. （1）如图1，有一张平行四边形纸片，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为___________． A．菱形 B．矩形 C．正方形 （2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． ①求证：四边形是菱形； ②请直接写出四边形的两条对角线的长：___________，___________． 21. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 22. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示． （1）当时，______N； （2）求所在直线的函数表达式； （3）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小． （提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 23. 如图，已知矩形纸片，，． （1）如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．直接判断四边形的形状，不必说明理由． （2）将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2． ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期期终八年级阶段性调研数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，根据分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：A、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意； B、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意； 故选：C． 2. 已知空气的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（ ） A 0.000124 B. 0.0124 C. 0.00124 D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据1.24×10-3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到． 【详解】解：1.24×10-3=0.00124． 故选C． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10-n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数． 3. 如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. 当时，四边形为矩形 D. 当时，四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，矩形和菱形的判定，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用对角线相等的平行四边形为矩形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，进行判定即可． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．因为两根长度不等的细木棒，所以转动木棒的过程中，四边形为矩形不可能为矩形，选项错误，不符合题意； D．当时，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，此时四边形为菱形，选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键． 根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 5. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：根据图表可知：23出现次数最多，则众数为23； 共有30双鞋， 中位数是地15、16个数的平均数， 中位数是． 故答案为：C． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点垂直且平分线段，垂足为点．则边的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 酒精浓度越大，心率越高 B. 酒精对这种鱼类的心率没有影响 C. 当酒精浓度是时，心率是168次/分 D. 心率与酒精浓度是反比例函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项． 【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误； 酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误； 由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确； 任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误． 故选∶ C． 【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得再证明，根据证明，得，，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线的长分别为6和是对角线上的任意一点（点不与点重合），且交于点交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A. 24 B. 20 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而可得，可证四边形是平行四边形，可得，进而可证明阴影部分面积． 【详解】解：菱形的对角线的长分别为6和8， 菱形的面积，，， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 10. 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题． 【详解】解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小． ∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s， ∵点P的运动速度为1cm/s， ∴BC=1×4=4（cm）， ∵当点P在直线AB上运动至点B时，的面积最大， ∴由图象2得：的面积6cm2， ∴， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 当__________时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为的条件，熟练掌握分式为的条件是解题的关键．根据题意得到且，即可得到答案． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得， 故答案为：． 12. 在反比例函数的每一个象限中，的值随着值的增大而增大，则点在第___________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的增减性与系数的关系，根据题意判断出的符号是解题的关键． 根据题意判断出的符号，进而可确定点所在的象限． 【详解】解：在反比例函数的每一个象限中，的值随着值的增大而增大， ， 点在第四象限． 故答案为：四． 13. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 14. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 __________________时． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的横坐标，即为所求． 【详解】解：设为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得：，即， 设乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得，即； 令，则， 解得：， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为时． 故答案为：． 15. 如图，边长为3的正方形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，射线交直线于点，当时，的长为___________． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况：在线段延长线上；在线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ， 当在线段延长线上时，连接，如图1所示： ∵将沿折叠得到，点的对应点为点， ， 又， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 中，由勾股定理得：， 则， 解得； 当在线段上时，连接，如图2所示： 同理可求出， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得， 综上所述，的长为或6， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、正方形性质、勾股定理、直角三角形全等的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质，分类讨论求解． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，零次幂，化简绝对值，负整数指数幂，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，绝对值，算术平方根，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内再运算除法，然后化简，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且． （1）求证：、互相平分； （2）若，，则_______°． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）连接，，根据平行四边形的判定和性质证明即可； （2）由三角形内角和定理，得出，再根据平行四边形对角相等求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， 、互相平分； 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 18. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式解集； （3）设直线与x轴交于点C，若为y轴上一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】（1），图见解析 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当点在轴正半轴上时： 设直线与轴交于点， ∵， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 当点在轴负半轴上时： ， ∴ 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 20. （1）如图1，有一张平行四边形纸片，过点作，垂足为，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为___________． A．菱形 B．矩形 C．正方形 （2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． ①求证：四边形是菱形； ②请直接写出四边形的两条对角线的长：___________，___________． 【答案】（1）B；（2）①证明见解析；②， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定； （2）①通过计算证明，证明四边形是平行四边形即可； ②连接，分别利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 故选：B； （2）如图2所示： ①证明：∵， ∴． 又∵， ∴在中，由勾股定理可得． ∴， 又∵剪下，将它平移至的位置，拼成四边形， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； ②解：连接，如图所示： 在中，， ∴由勾股定理可得； 在中，， ∴由勾股定理可得， 故答案为：，． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、平移性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型． 21. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 【答案】（1）排球的单价为50元，足球的单价为80元 （2）费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元 【解析】 【分析】（1）设排球的单价为a元，则足球的单价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合花500元购买的排球的个数与花800元购买的足球的个数恰好相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设购买排球x个，足球（11-x）个，根据购买的总费用y等于购买排球的费用+购买足球的费用峛出函数关系式，再根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ∴， 答：排球的单价为50元，足球的单价为80元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵，解得， 在中，， ∴y随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数解析式． 22. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示． （1）当时，______N； （2）求所在直线的函数表达式； （3）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小． （提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）直接从图象中获取信息，答题即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）将代入（2）中的函数解析式，求出此时的，再用物体的重力减去此时的拉力，求出浮力大小即可． 【小问1详解】 解：由图可知：当时，； 故答案为：4； 【小问2详解】 设直线的解析式为：，由图象可得： ，解得：， ∴； 【小问3详解】 由图象可知：， 当时，， ∴． 23. 如图，已知矩形纸片，，． （1）如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．直接判断四边形的形状，不必说明理由． （2）将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2． ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 【答案】（1）四边形是正方形 （2）①见解析；；或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由平行线的性质可得，从而得出，推出四边形是菱形，再由正方形的判定定理证明即可； （2）①连接，由（1）知，，由矩形的性质可得，，由折叠知，，，证明，即可得证；②过点E作于点D，证明四边形是矩形，得出，，设，则，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理计算即可得解；③当为等腰三角形时，分三种情况：Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接；Ⅱ．当时；Ⅲ．当时，连接，交于点O；分别求解即可． 【小问1详解】 证明：是矩形， ， 将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 ①证明：如图1，连接，由（1）知，， 四边形是矩形， ，， 由折叠知，，， ，， ， 在和中， ， ∴， ； ②解：，，如图2，过点E作于点D， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ； 折痕的长为； ③解：当为等腰三角形时，分三种情况： Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接，如图2所示， 由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得； Ⅱ．当时， ， 由折叠的性质可知：， ， 在矩形中，， 点与点A重合， 由折叠的性质可知：点C与点重合， 四边形是正方形， ，与矛盾； Ⅲ．当时，连接，交于点O，如图3所示： ， ， ， ， 由折叠的性质可知：垂直平分， ，， ，，， ， ， 在中，，， ， 解得； 综上所述：当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$