精品解析：江苏省泰州市兴化市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2025年春学期学生阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟满分：150分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．2．考生答题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为0，则 A. x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ） A. x1=﹣1，x2=2 B. x1=1，x2=﹣2 C. x1+x2=3 D. x1x2=2 5. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 8. 如图，在中，，则__________． 9. 已知反比例函数图像经过点，则这个函数的图像位于第_____象限． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 11. 菱形的周长为，两条对角线之比为，则菱形的面积为________． 12. 已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在_____（填写“内”、“上”、“外”）． 13. 已知双曲线与直线相交于点，则__________ 14. 如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则__________． 15. 若分式方程无解，则__________ 16. 如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程． （1） （2） 19. 先化简：，再从1、2、3三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，矩形中，是的中点，延长、交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当平分时，写出值，并说明理由． 21. 已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求 m的值． 22. 如图，在中，弦，点在上． （1）如图①，若是的直径，求的度数； （2）如图②，在弧上取一点，若，请用含式子表示的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将点沿轴翻折，落在点处，连接、，求的面积． 24. 端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． （1）求猪肉粽每盒的进价是多少元？ （2）经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 25. 【情景再现】 某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 估计还是用因式分解法、公式法来解决． 可是，第一步的因式分解该如何入手呢？ 我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值； （2）请求出方程的解； 【方法迁移】 （3）若点在函数上，求点的坐标． 26. 如图，、是直径，，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合）． （1）求的度数； （2）若点在弧的中点处，求证：； （3）设． ①若，分别计算与值，并判断它们的大小关系； ②若的值发生变化，请判断与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期学生阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟满分：150分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．2．考生答题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合． 【详解】解：A．绕着圆心旋转180°不能与原来的图形重合，故A错误，不符合题意； B．绕着圆心旋转180°能与原来的图形重合，故B正确，符合题意； C．绕着圆心旋转180°不能与原来的图形重合，故C错误，不符合题意； D．绕着圆心旋转180°不能与原来的图形重合，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，熟记相关定义即可． 2. 分式的值为0，则 A. x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0解答． 【详解】根据分式的值为0的条件，要使， 则有，即 解得，． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值为0，分子等于0，分母不等于0，熟记概念是关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加法、减法和乘法的运算法则，以及二次根式的性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，选项错误； B、，计算正确，选项正确； C、，计算错误，选项错误； D、，计算错误，选项错误； 故选：B． 4. 一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ） A. x1=﹣1，x2=2 B. x1=1，x2=﹣2 C. x1+x2=3 D. x1x2=2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数关系求出方程的两根和与两根积，再结合四个选项即可求出答案． 【详解】解：A、x1=﹣1，x2=2不是原方程的解，故本选项错误； B、x1=1，x2=﹣2不是原方程的解，故本选项错误； C、根据根与系数关系x1+x2=3，故本选项正确； D、根据根与系数关系x1x2=2，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查根与系数关系以及方程根的定义，属基础题型． 5. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．由反比例函数的可得反比例函数图象经过第一、三象限，且随的增大而减小，再比较对应函数值大小即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象经过第一、三象限，且随的增大而减小， 点、、都在反比例函数的图象上，且， ，， ， 故选：A． 6. 如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 8. 如图，在中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边平行是解题的关键． 根据平行四边形对边平行得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案：． 9. 已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第_____象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图像所在的象限是解答本题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数的解析式，求得的值，利用的符号来判定该函数图像所在的象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：； ∵，即， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限； 故答案为：二、四． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 菱形的周长为，两条对角线之比为，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，周长可求出菱形的边长，根据对角线的比值，设，，在中，根据勾股定理即可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是菱形，周长为， ∴， ∵两条对角线之比为，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴，解得，， ∴，， ∴ ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积计算方法是解题的关键． 12. 已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在_____（填写“内”、“上”、“外”）． 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 13. 已知双曲线与直线相交于点，则__________ 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握知识点是解本题的关键． 将分别代入反比例函数与一次函数，得到，继而可得，即可解答． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于点， ∴ ∴， 则． 故答案为：1． 14. 如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设，则， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 15. 若分式方程无解，则__________ 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件．先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，得到，再根据分式方程无解分两种情况讨论即可． 【详解】解：， 得， 即， 当，即时，方程无解； 当时，， 解得：， ∴若分式方程无解，则或， 故答案为：或． 16. 如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质，连接线段，通过判定，得到是的平分线，即点在的平分线上运动，然后作定点关于射线的对称点，化折为直，则线段的长度为所求线段和的最小值，最后通过勾股定理计算得出答案． 【详解】解：连接， 由旋转性质得：， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 即为的平分线， 由此可得，点在的平分线上运动， 作点关于的平分线射线的对称点，连接， ， ， 由对称性知， ， 当三点共线时，最小，即线段的长度， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何最值问题中的线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段和最值问题的核心是作定点关于动点所在直线的对称点，化同为异，化折为直，找到动点的运动轨迹是这道题的关键所在． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了接一元二次方程，分式方程的解法，熟练掌握解方法是解本题的关键． （1）直接根据公式解一元二次方程即可； （2）将方程两边同乘，可得到整式方程，整理为一元一次方程解方程后，再检验是否符合题意，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∴原方程有两个不相等的实数根 ， ∴． 【小问2详解】 方程两边同乘，得 解得 ， 经检验，是原方程的解． ∴原方程的解为． 19. 先化简：，再从1、2、3三个数中选择一个合适数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 如图，矩形中，是的中点，延长、交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当平分时，写出的值，并说明理由． 【答案】（1）件解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求证； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 21. 已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求 m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）m=5． 【解析】 【分析】（1）由题意列出一元二次方程“根的判别式”的表达式，化简后判断其值可得结论； （2）由（1）中所得求出两根（用含“m”的式子表达），在代入2x1=x2+1中可得关于“m”的方程，解方程即可求得“m”的值． 【详解】解：（1）∵在关于的方程中，， ∴∆= = =， ∴关于的方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）可知：∆=36， ∴原方程的两根为：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：． 22. 如图，在中，弦，点在上． （1）如图①，若是的直径，求的度数； （2）如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据是的直径可得，由可得，再运用圆内接四边形的性质可得结论； （2）连接，由可得，根据等弧所对圆周角相等得，可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将点沿轴翻折，落在点处，连接、，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）16 【解析】 【分析】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，能直接利用函数图象求出不等式的解集是解题的关键． （1）将点坐标代入求得，然后代入即可求得； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）求出对称点坐标，求面积． 【小问1详解】 解：将代入，得． ， 将代入，求得． ，． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：将，代入，得， 解得， 一次函数的关系式为， 与轴交于点， ∴点沿轴翻折后，得，如图： 设所在直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， 所在直线的函数表达式为． 与轴交点为， ， ， ∴的面积为16． 24. 端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． （1）求猪肉粽每盒的进价是多少元？ （2）经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元 （2）52 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元二次方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． （1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价()元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）设猪肉粽当日每盒涨价m元，，根据当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，若该商品当日盈利2160元，列出一元二次方程，再由同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，可得m的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 【小问2详解】 设猪肉粽当日每盒涨价m元，依题意，得 ， 解得 ∵，即， ∴，即． 答：猪肉粽当日每盒售价52元． 25. 【情景再现】 某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程． 估计还是用因式分解法、公式法来解决． 可是，第一步的因式分解该如何入手呢？ 我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了． 【理解运用】 （1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值； （2）请求出方程解； 【方法迁移】 （3）若点在函数上，求点的坐标． 【答案】（1）（2）（3）点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的解法，反比例函数，掌握知识点是解题的关键． （1）将方程去括号，化简为，可列出方程组，即可解答； （2）将方程化为，可得，即可解答． （3）由点在函数上，得等，即 ，根据（1）的解题思路，即可解答． 【详解】解：（1）， ∵方程可化为， ∴，解得． （2）由（1）可得 方程可化为， 将代入，得 ， ∴， 解得． （3）∵点在函数上， ∴，即， ∴， ∵是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，设，则 即， ∴，解得， ∴方程可化为， 即， 解得． 当时； 当时，； 当时，． ∴点P的坐标为或或． 26. 如图，、是的直径，，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合）． （1）求的度数； （2）若点在弧的中点处，求证：； （3）设． ①若，分别计算与的值，并判断它们的大小关系； ②若的值发生变化，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①，，；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由、是的直径，，得到，，，利用等腰直角三角形性质得到，再由圆周角定理求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由点在弧的中点，则，由圆周角定理得到，结合等腰直角三角形的判定与性质，得到、，即可由等腰三角形判定与性质得证； （3）①在中，由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到，再由含直角三角形性质、勾股定理求出，即可得到答案；②连接，连接，过点作，如图所示，由，判定是等腰直角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到，，，再结合圆周角定理确定，从而由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合代入，即可得证． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 、是的直径，， ，，， 在等腰中，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： 点在弧的中点， ， ， 由（1）知，， ， 、是的直径，， ，， 在等腰中，， 是一个外角， ， ，则； 【小问3详解】 解：①在中，，，则由勾股定理可得， ，则， ， 在中，设，则，由勾股定理可得， 解得， ， 则，， 过点作，如图所示： 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在中，， 则， ； ②， 理由如下： 连接，连接，过点作，如图所示： ， 是等腰直角三角形，则，且，， ， 由（1）知，， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、外角性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识．熟练掌握圆的相关性质、掌握解题所需的几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$