精品解析：江苏省泰州市兴化市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春学期初中学生第二次阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值应（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 扩大6倍 D. 缩小3倍 【答案】B 【解析】 【分析】将给定的分式分子分母扩大3倍，和原分式比较大小即可得到答案． 【详解】解：将中的x和y都扩大3倍得到， ∴分式的值应不变， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键（1）的m和n都扩大2倍，则分式值变为原来的2倍．（2）的m和n都扩大2倍，则分式值不变．（3）的m和n都扩大2倍，则分式值变为原来的一半． 4. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解决本题的关键．先解关于的分式方程得．再根据增根的定义，解决此题． 【详解】解： 去分母，得， 移项，得． 关于的分式方程有增根， ， ． 故选：． 5. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，由求得，再根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵点A、B、C、D在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确连接辅助线是解题的关键． 6. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（ ） A. CE的长度 B. CD的长度 C. DE的长度 D. AE的长度 【答案】D 【解析】 【分析】在，由勾股定理即可得，再利用配方法可求得方程的解，根据题意可答案． 【详解】解：在，，，， ， ， ， ， ， 即， 解得，， 又以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E， ， 该方程较大的根是， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理、利用配方法解一元二次方程，解题关键在于把方程较大的根转化为的长． 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上．） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0. 8. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：5 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 在实数范围内因式分解：x2-5=___________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 11. 已知实数，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性可得n=2、m=-1，代入即可求解． 【详解】解：由 得：； ∴n=2；m=-1 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查求代数式的值，由绝对值和二次根式的非负性得到m、n的值是解题关键． 12. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2，x1x2＝−1，利用通分得到＋＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝−1， 所以＋＝＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，C为上一点，点D为半圆的中点，交于点E，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理等知识点，解题关键是熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质． 连接，过点作于点，根据已知条件证明，再利用勾股定理求出，从而求出和，再利用面积法求出，进而求出，然后利用相似三角形的性质，求出答案即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积， 即， ∴， 在中，， ∵点为半圆的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 15. 若（为一切实数），则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解应用，先把化为，通过配方得，最后根据，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心，半径为的圆，，点为上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基础知识和旋转，将绕点逆时针旋转得到，则，连接，由勾股定理求出，当三点共线时即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到，则，连接， ∴，，， 由勾股定理得：， 当三点共线时， 如图，最大为， 如图，最小为， ∴的取值范围为：． 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2）（用配方法解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，准确计算． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 方程两边同加1得：， 即， 开方得：， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，算术平方根，利用数轴得到，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【详解】解：由数轴得：，则 ∴原式= = = 20. 某市为积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了河道整治．某工程队原计划在规定时间内整治河道1500m，实际施工时工作效率提高了20%，结果提前2天完成，求原计划规定多少天完成？ 【答案】12 【解析】 【分析】设原计划规定x天完成，则实际x-2天完成，根据实际施工时工作效率提高了20%列出方程，解方程即可求得答案. 【详解】解：设原计划规定x天完成，则实际x-2天完成， 由题意得：， 解得：x=12， 经检验，x=12是原方程的解， 答：原计划规定12天完成. 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找到等量关系列出方程是解题的关键. 21. 平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与双曲线的一个交点为P（m，6）． （1）求k的值； （2）M（2，a），N（n，b）分别是该双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围． 【答案】（1）k=30；（2）n＜0或n＞2． 【解析】 【详解】试题分析： （1）把P（m，6）代入一次函数解析式即可解得m的值，从而可得点P的坐标，再把所得点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k的值； （2）由（1）可知k=30>0，由此可知反比例函数的图象在第一、三象限，由此可知存在以下两种情况，①当点M在第一象限，点N在第三象限时，只要n<0，则a>b；②当点M在第一象限，点N也在第一象限时，则只有当n>2，a>b才一定成立；. 试题解析： （1）∵直线y=x+1与双曲线的一个交点为P（m，6）， ∴把P（m，6）代入一次函数解析式得：6=m+1，即m=5， ∴P的坐标为（5，6），把P的坐标代入反比例解析式可得：k=30； （2）∵在反比例函数中，k=30>0， ∴该反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小 又∵点M（2，a）在第一象限， ∴①当点N（n，b）在第三象限时，n<0，则a>b； ②当N（n，b）也在第一象限时，则只有当n>2，a>b才一定成立； 综上所述：当a＞b时，n的取值范围为n＜0或n＞2． 22. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O （1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求FG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性得到DF=BF，再根据四边形BFDG是平行四边形，即可得出四边形BFDG为菱形； （2）设DF=BF=x，则AF=AD-DF=8-x．在Rt△ABF中，运用勾股定理列方程求解，即可得出DF的长，再根据菱形的面积即可得到FG的长． 【详解】解：（1）根据折叠可得，∠DBC=∠DBE， 又AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB， ∴DF=BF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG， 又∵DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形， ∴四边形BFDG是菱形； （2）∵AB=6，AD=8， ∴Rt△ABD中，BD=10． 设DF=BF=x，则AF=AD-DF=8-x． 在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2， 即62+(8-x)2=x2， 解得x=， ∴DF=， 又∵DF×AB=BD×FG， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 23. 如图，在中，AB是直径，弦． （1）在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①的面积为；②；③，请你选择两个合适选项作为条件，求的半径，你选择的条件是 （填序号） 【答案】（1）见解析 （2）①②；①③；②③；半径为5 【解析】 【分析】（1）直接连接，交于点，连接并延长交于点，此点即为所求点． （2）连接，设半径为，根据垂径定理和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 如图所示，连接，交于点，连接并延长交于点． 【小问2详解】 第一种情况：选①②，如图所示，连接，设半径为， 由题意可知：,， ， ，即， ， ， ，解得． 第二种情况：选①③，如图所示，连接，设半径为， 由题意可知：， ， ， ， ，即， ， ， ，由此解得，， ， ， ，解得． 第三种情况：选②③，如图所示，连接，设半径为， 由题意可知：，， ， ， ， ，解得． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理相关内容，并能结合勾股定理灵活解题． 24. 【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： 【探究1】（1）保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； 【探究2】（2）保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移的距离为p． 图1 图2 ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）将沿翻折或将绕中点旋转；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②能，或． 【解析】 【分析】本题考查图形的翻折，旋转，矩形的判定，菱形的判定，正方形的性质，勾股定理： （1）将沿翻折或将绕中点旋转即可； （2）①先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论；②勾股定理求出，根据时，四边形是正方形，进行求解即可． 【详解】解：（1）将沿翻折或将绕中点旋转后，即可得到以为一条对角线的菱形； （2）①四边形是矩形，理由如下： ∵． ∴， ∴四边形是平行四边形，， 又∵， ∴四边形是矩形． ②能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 当时，四边形是正方形， ∴当点在上方时，， 当点在下方时：． 25. 已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． （3）如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 【答案】（1）； （2），证明见解析；； （3）的最小值是． 【解析】 【分析】（）证明得，由旋转可得，进而可得； （）如图，延长至，使，连接 ，证明可得，，由旋转可得，进而可得，即可得，可证明，得到，可得；如图，在上截取，可得，，得到，由勾股定理得，即得，再根据三角形内角和定义及等腰三角形的性质即可求解； （）如图，在上截取，连接，同理（）可得，，再证明，得到，，可得，得到点在外角角平分线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，，可知当点三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接 ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∵， ∴，， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，在上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， 同理（）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点在的外角角平分线上运动， 作点关于的对称点，连接， ∴， ， ∴， 当点三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∴有最小值为， 故答案为：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为函数图象上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点坐标为．当时，点恰好落在的函数图象上． （1）求函数的关系式； （2）若以为邻边作平行四边形，点在的左侧，且点在函数的图象上，点的横坐标为，求的值； 若以为邻边作正方形，求点坐标； （3）在点运动过程中始终存在一点，使恒成立，求的值． 【答案】（1）函数的解析式为； （2）；或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，坐标与图形等，熟练掌握知识点是解题的关键． （）用待定系数法直接求反比例函数解析式即可； （）根据平行四边形的性质先表示出点坐标，再代入解析式求解即可； 根据四边形的性质可得，据此建立关于的方程，求解即可； （）设，则，由得，最后解方程即可； 【小问1详解】 解：由题意，当时，， ∴， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 由题意得：，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点， ∴， ∵点C函数图象上， ∴，解得， ∵， ∴； 若四边形为正方形，则，， ∴，， ∴，， ∴，解得或， ∴或； 【小问3详解】 设，则， ∴， 过作于，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 由题意得：当取任意正实数时上式恒成立， 故且，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期初中学生第二次阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 如果式子有意义，那么x取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值应（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 扩大6倍 D. 缩小3倍 4. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（ ） A. CE的长度 B. CD的长度 C. DE的长度 D. AE的长度 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上．） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 8. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为____________． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 10. 在实数范围内因式分解：x2-5=___________ 11. 已知实数，满足，则_______． 12. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 14. 如图，为的直径，C为上一点，点D为半圆的中点，交于点E，若，，则的长为____________． 15. 若（为一切实数），则的最小值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心，半径为的圆，，点为上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的取值范围为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2）（用配方法解） 18. 先化简，再求值：，其中a是方程的根． 19. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 20. 某市为积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了河道整治．某工程队原计划在规定时间内整治河道1500m，实际施工时工作效率提高了20%，结果提前2天完成，求原计划规定多少天完成？ 21. 平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与双曲线的一个交点为P（m，6）． （1）求k的值； （2）M（2，a），N（n，b）分别是该双曲线上两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围． 22. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O （1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求FG的长． 23. 如图，在中，AB是直径，弦． （1）在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①的面积为；②；③，请你选择两个合适选项作为条件，求的半径，你选择的条件是 （填序号） 24. 【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： 【探究1】（1）保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； 【探究2】（2）保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移的距离为p． 图1 图2 ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 25. 已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． （3）如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为函数图象上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点坐标为．当时，点恰好落在的函数图象上． （1）求函数关系式； （2）若以为邻边作平行四边形，点在的左侧，且点在函数的图象上，点的横坐标为，求的值； 若以为邻边作正方形，求点坐标； （3）在点运动过程中始终存在一点，使恒成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$