精品解析：江苏省无锡市滨湖区2024-2025年七年级下学期期末数学试题

2025年春学期初中期末质量监测卷 初一数学2025.6 注意事项：1．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 滚动的足球 B. 转动的电风扇叶片 C. 正在上升的电梯 D. 正在行驶的汽车后轮 2. 下列运算正确的是（　　） A. a+a2＝a3 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a9÷a3＝a3 D. （a2）3＝a6 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，直线，点A在直线上，点在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，，那么用的代数式表示y为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（ ） A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 华为作为世界顶级科技公司，设计麒麟90005GSoc芯片，拥有领先的5nm制程和架构设计，，数据0.000000005用科学记数法表示为______． 12. 若，，则______． 13. 请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____． 14. 若，，则______． 15. 如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件_________________，使． 16. 如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为______． 17. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 18. 如图，在中，，D、E分别为上一点，将分别沿折叠，点A与重合，点B与重合，．若点与重合，则=______°；______°（用含x的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程组与不等式： （1）； （2）． 22. 如图，已知：，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． （1）以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”是 (填序号)； （2）若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： （3）若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 24. 某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． （1）求写出的关系式； （2）求出所有可能的购买方案； （3）若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 25. 如图，已知长方形． （1）尺规作图：（不写过程，保留作图痕迹） 画出线段的垂直平分线； 在线段上作点，使点关于直线的对称点落在上． （2）求的度数． 26. 如图1，已知钝角．中（为钝角），，点D是线上的一个动点，且不与B、C重合，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点H．设，． （1）若，，求的度数； （2）试探究与关系，并说明理由； （3）如图2，设，将“点D是线段上的一个动点”改为“若D是延长线上点”，其它条件不变，请求出与的关系并直接写出这一结论成立时的范围（含有m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期初中期末质量监测卷 初一数学2025.6 注意事项：1．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 滚动的足球 B. 转动的电风扇叶片 C. 正在上升的电梯 D. 正在行驶的汽车后轮 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的定义进行判断即可． 【详解】A. 滚动的足球是旋转，不符合题意； B. 转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意； C. 正在上升的电梯是平移，符合题意； D. 正在行驶的汽车后轮是旋转，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平移定义，熟记平移的定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. a+a2＝a3 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. a9÷a3＝a3 D. （a2）3＝a6 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则以及完全平方公式分析得出答案． 【详解】解：A．无法计算，故此选项错误； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的法则，完全平方公式，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴，故原选项不符合题意； 、∵， ∴，此选项符合题意； 、∵， ∴，此选项不符合题意； 、∵，无法确定，故原选项不符合题意； 故选：． 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的定义，根据旋转对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角”是解题的关键． 【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分， ∴每部分的度数为， ∴旋转角至少为，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合， 故选：． 5. 下列命题中： 相等角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 6. 如图，直线，点A在直线上，点在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，角平分线定义，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，由，，可得，通过平行线的性质可得，最后通过角平分线定义和三角形外角性质即可求解； 【详解】解：延长交直线于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：． 7. 如果，，那么用的代数式表示y为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运用以及完全平方公式，由，，得，，然后消去即可求解，熟练掌握幂的乘方和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9. 已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式的变形与不等式的推理，解题的关键是通过已知条件对式子进行合理变形，再结合不等式性质判断结论． 先由得出关于、的表达式，代入化简，再逐一分析选项． 项即可． 【详解】由，可得． 将代入： 则， 去括号得， 化简为，所以选项C错误； 虽然，但若，可能存在（例如，），与B项矛盾，故不一定成立，所以选项A错误； ，代入，得， 当时，可能不成立（例如，），故不一定成立．所以选项B错误； 由可得，将其代入： 即， 去括号得， 合并同类项得，两边同时除以， 得，所以选项D正确． 故选：D． 10. 如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（ ） A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，轴对称求最短距离，等腰三角形的判定与性质，利用三角形面积公式即可判断①；过点B作，作点E关于的对称点，连接，先证明三角形是等腰三角形，由对称的性质结合垂线段最短可得当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，即可判断②；根据题意求出，利用，即可判断③． 【详解】解：设中边上的高是， ∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为长， 同理①得， ∴的最小值是，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟90005GSoc芯片，拥有领先的5nm制程和架构设计，，数据0.000000005用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数用科学记数法表示即可，把一个绝对值小于1的数数表示为（1≤|a|< 10， n为正整数）的形式，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，不为0的数字前面有几个0，-n就是负几． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数， 一般形式为（1≤|a|< 10， n为正整数）， n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是解题的关键． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，由，然后把代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____． 【答案】同位角相等 【解析】 【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案． 【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等， 则此命题的结论为：同位角相等， 故答案为：同位角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，由，可得，然后把代入即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件_________________，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）即可求解． 【详解】解：同位角相等，两直线平行，添加可使； 内错角相等，两直线平行，添加可使； 同旁内角互补，两直线平行，添加或可使； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：6． 17. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解法，由，则，再结合关于的不等式的解集为即可求解，掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，D、E分别为上一点，将分别沿折叠，点A与重合，点B与重合，．若点与重合，则=______°；______°（用含x的代数式表示）． 【答案】 ①. 100 ②. 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．由三角形的内角和求得，由折叠可得，，因此．根据三角形外角的性质得到，从而得到，再由即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴． ∵， ∴， ∵， 由折叠有， ∴． 故答案为：100； 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先依次计算有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，再合并即可得出答案； （）先利用单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则进行运算，再计算整式的加减即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先计算完全平方、平方差、单项式乘多项式，再合并同类项，由得出，作为整体代入化简后的式求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 21. 解方程组与不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解法及步骤是解题的关键． （）利用加减消元法解方程组； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解；． 【小问1详解】 解： 得：， 得：， ∴得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，已知：，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由对顶角相等得，结合，可得，根据同位角相等，两直线平行，可得； （2）先证，得出，由得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． （1）以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； （2）若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： （3）若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“解集内方程”的定义进行判断即可． （2）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． （3）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 所以属于不等式组的“解集内方程”的是②． 故答案为：②． 【小问2详解】 由得， 解不等式组 解得： 关于的方程是不等式组的“解集内方程”， ∴ 解得：． 【小问3详解】 由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 方程，都不是关于x不等式组 ∴或或， 解得或或． 24. 某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． （1）求写出的关系式； （2）求出所有可能的购买方案； （3）若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 【答案】（1）的关系式为，且； （2）见解析； （3）笔记本本，笔支时奖品总数最多．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出二元一次方程组即可； （）由（）得，则，然后求出的正整数解即可； （）根据（）得结果进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，的关系式为，且； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∵均为正整数， ∴，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支； 【小问3详解】 解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， ∴笔记本本，笔支时奖品总数最多． 25. 如图，已知长方形． （1）尺规作图：（不写过程，保留作图痕迹） 画出线段的垂直平分线； 在线段上作点，使点关于直线的对称点落在上． （2）求的度数． 【答案】（1）作图见解析；作图见解析． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，轴对称，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由作垂线的方法即可画图； 以为圆心，长度为半径画弧，交于点，连接，交于点； （）连接，由作图可知关于对称，垂直平分，则有，，，可得是等边三角形，则，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作图可知，关于对称， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 26. 如图1，已知钝角．中（为钝角），，点D是线上的一个动点，且不与B、C重合，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点H．设，． （1）若，，求的度数； （2）试探究与的关系，并说明理由； （3）如图2，设，将“点D是线段上的一个动点”改为“若D是延长线上点”，其它条件不变，请求出与的关系并直接写出这一结论成立时的范围（含有m的代数式表示）． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，进而求得，，从而根据三角形的内角和定理与外角的性质求出， ，即可解答； （2）设，，则，根据（1）的思路得到，，从而； （3）设，则，从而，进而推出，，可得．根据，得到，即，由，得到，即，因此，由即可得到． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∵，即， ∴，即 ∵，， ∴，即． 【小问2详解】 解：设，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵，即， ∴， 即 ∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$