专题21.17 一元二次方程（全章中考必考点与常考点分类专题）（5大必考点与10大常考点）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项

专题21.17 一元二次方程（全章中考必考点与常考点分类专题）（5大必考点与10大常考点） 一、【要点提示】 在中考数学的战场上，一元二次方程作为代数核心板块，既是拉开分数差距的关键，也是许多同学的 “痛点” 所在。为帮助大家精准突破，我们基于海量中考真题大数据，深度剖析命题规律，提炼出五大必考点与十大常考点。其中，五大必考点都在历年考卷中 100% 出现；而十大常考点则覆盖概念辨析、几何应用、函数综合等高频命题方向，从基础概念到跨知识融合，全方位涵盖考试可能出现的题型。掌握这些考点，不仅能直击中考核心，更能构建系统的代数思维，为后续函数、几何学习筑牢根基！ 二、【考点目录导航】 【中考必考点】 【考点一】解一元二次方程——配方法.........................................................................................................2 【考点二】一元二次方程的根的判别式.........................................................................................................2 【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）.............................................................................2 【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题.................................................................................3 【考点五】实际问题与一元二次方程——销售与利润问题.........................................................................3 【中考常考点】 【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想）.............................................4 【考点二】解一元二次方程——公式法.........................................................................................................4 【考点三】解一元二次方程——因式分解法.................................................................................................5 【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程.............................................................................................5 【考点五】解一元二次方程与几何综合.........................................................................................................5 【考点六】解一元二次方程与一次函数综合.................................................................................................5 【考点七】根的判别式与根与系数关系综合.................................................................................................6 【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合综合.............................................................................6 【考点九】根与系数关系与几何综合.............................................................................................................7 【考点十】根与系数关系与一次函数综合.....................................................................................................7 三、【题型展示】 【中考必考点】 【考点一】配方法及其应用 【例题1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【变式1】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【变式2】（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点二】一元二次方程的根的判别式 【例题2】（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 【例题3】（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【变式1】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【变式2】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题+销售与利润问题 【例题4】（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【考点五】实际问题与一元二次方程——图形面积问题 【例题5】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【变式1】（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【变式2】（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【中考常考点】 【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想） 【例题1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【变式1】（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 【变式2】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 【考点二】解一元二次方程——公式法 【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【变式1】（2020·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）解方程：； 【考点三】解一元二次方程——因式分解法 【例题3】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）方程的实数根为 ． 【变式2】（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题4】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【变式1】（2021·江苏宿迁·中考真题）方程的解是 ． 【变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）解方程：． 【考点五】解一元二次方程与几何综合 【例题5】（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线，且的长是一元二次方程的一个根，则平行四边形的周长为 ． 【考点六】解一元二次方程与一次函数综合 【例题6】（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（  ） A． B．4 C．25 D．5 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【变式2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．    【考点七】根的判别式与根与系数关系综合 【例题7】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合 【例题8】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一根为，求的值及另一根的值； （2）若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 【考点九】根与系数关系与几何综合 【例题9】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 【考点十】根与系数关系与一次函数综合 【例题10】（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若k，b是一元二次方程的两个实数根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象限． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.17 一元二次方程（全章中考必考点与常考点分类专题）（5大必考点与10大常考点） 在中考数学的战场上，一元二次方程作为代数核心板块，既是拉开分数差距的关键，也是许多同学的 “痛点” 所在。为帮助大家精准突破，我们基于海量中考真题大数据，深度剖析命题规律，提炼出五大必考点与十大常考点。其中，五大必考点都在历年考卷中 100% 出现；而十大常考点则覆盖概念辨析、几何应用、函数综合等高频命题方向，从基础概念到跨知识融合，全方位涵盖考试可能出现的题型。掌握这些考点，不仅能直击中考核心，更能构建系统的代数思维，为后续函数、几何学习筑牢根基！ 一、【考点目录导航】 【中考必考点】 【考点一】解一元二次方程——配方法.........................................................................................................2 【考点二】一元二次方程的根的判别式.........................................................................................................4 【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）.............................................................................6 【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题.................................................................................8 【考点五】实际问题与一元二次方程——销售与利润问题.......................................................................10 【中考常考点】 【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想）............................................11 【考点二】解一元二次方程——公式法.......................................................................................................12 【考点三】解一元二次方程——因式分解法...............................................................................................14 【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程...........................................................................................15 【考点五】解一元二次方程与几何综合.......................................................................................................17 【考点六】解一元二次方程与一次函数综合...............................................................................................19 【考点七】根的判别式与根与系数关系综合...............................................................................................21 【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合综合...........................................................................23 【考点九】根与系数关系与几何综合..........................................................................................................23 【考点十】根与系数关系与一次函数综合..................................................................................................28 二、【题型展示】 【中考必考点】 【考点一】配方法及其应用 【例题1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式1】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 【变式2】（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 【考点二】一元二次方程的根的判别式 【例题2】（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 （为常数）的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 【变式2】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 解：（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 【例题3】（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），；（2）详见分析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 解：（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【变式1】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 【变式2】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题+销售与利润问题 【例题4】（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率；（2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 解：（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 解：设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 【变式2】（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 【考点五】实际问题与一元二次方程——图形面积问题 【例题5】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 【变式1】（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【答案】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 【变式2】（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 【中考常考点】 【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想） 【例题1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【答案】B 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 解：∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 【变式1】（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可． 解：∵a是方程的一个根， 把代入得，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 【考点二】解一元二次方程——公式法 【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 解：本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【变式1】（2020·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，代入即可得出答案． 解：∵， ∴，， ∴ = = = = =， ∵，且， ∴， ∴原式=， 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解即可． 解：， ，，， ， ， ，． 【考点三】解一元二次方程——因式分解法 【例题3】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）方程的实数根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解绝对值方程． 分和两种情况，利用因式分解法求解即可． 解：当时，方程为，即， 则， ∴或， 解得，（舍）； 当时，，即， ， 则或， 解得，（舍）； 综上，方程的实数根为， 故答案为：． 【变式2】（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 解： ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题4】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1】（2021·江苏宿迁·中考真题）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】先把两边同时乘以，去分母后整理为，进而即可求得方程的解． 解：， 两边同时乘以，得 ， 整理得： 解得：，， 经检验，，是原方程的解， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤求解即可． 解： ， ， 或， 经检验：是原方程的增根，是原方程的解， 所以原方程的解是． 【考点五】解一元二次方程与几何综合 【例题5】（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 【答案】12 【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 解：∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 解：， ∴， ∴，， 解得：，， 一个三角形两边的长是3和5， 第三边， ∴三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线，且的长是一元二次方程的一个根，则平行四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，因式分解法求一元二次方程的根． 根据因式分解法解一元二次方程得，可得，再根据等腰直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理可得，，，结合平行四边形的性质即可求解． 解：， 变形得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， ∵的长是一元二次方程的一个根， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，则， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故答案为： ． 【考点六】解一元二次方程与一次函数综合 【例题6】（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（  ） A． B．4 C．25 D．5 【答案】A 【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可． 解：解方程，得， 即， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， 即菱形的边长为， 故选：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键． 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 【变式2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，一次函数与坐标轴相交于，两点，是射线上的一点，过作轴于点，轴于点，若矩形的面积为20，则点的坐标为 ．    【答案】，， 【分析】设点的坐标为，继而根据矩形的面积公式可用含的代数式表示长方形的面积，解方程即可． 解：当时，， ， 当时，， 解得， 所以点的坐标为， 设点的坐标为， 长方形的面积为或， 由解得或5， 由解得或， ， 或5或． 点的坐标为，，． 故答案为：，，． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 【考点七】根的判别式与根与系数关系综合 【例题7】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合 【例题8】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 解：（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到，则一次函数为，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一根为，求的值及另一根的值； （2）若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 【答案】（1）；方程另一个根为；（2）． 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围． 解：（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2）解：因为方程有两个不等的实数根， 所以，即， 解得． 【考点九】根与系数关系与几何综合 【例题9】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3）0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 解：（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到菱形的周长． 本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 解：四边形是菱形， ， ，的长是关于的方程的两个实数根， ，， 解得， ， 即菱形的周长为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）①，；②矩形的面积 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形得性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）①根据题意，当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，代入方程求解即可；②当矩形的对角线长为时，则，设方程的两个根据为，结合一元二次方程根与系数的关系得到，则，由此即可求解． 解：（1）证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根， ①∵当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； ②当矩形的对角线长为时，， 设方程的两个根据为，则， ∵，， ∴，整理得，， 解得，， ∴矩形的面积为． 【考点十】根与系数关系与一次函数综合 【例题10】（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 解：∵二次方程的两根为和， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：． 【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若k，b是一元二次方程的两个实数根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象限． 【答案】一、二、四 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一次函数的性质，由一元二次方程根与系数的关系可得，由一次函数的性质可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵k，b是一元二次方程的两个实数根（）， ∴， ∵， ∴， ∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$