专题21.16 求解一元二次方程（精选精练100题）（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.16 求解一元二次方程（精选精练100题）（分层专项练习） 在初中数学中，一元二次方程就像一座至关重要的 “桥梁”！它不仅是九年级上册数学的核心内容，更是整个代数体系的关键枢纽 —— 掌握不好它，后续二次函数、几何图形计算、实际应用题都会困难重重。很多同学在考试里丢分，根源就在于方程解法不熟练，导致计算出错、思路卡壳。 本专题从基础的四种解法练起，逐步过渡到较复杂综合题型，每一道题都瞄准考试高频考点和易错点。把这 100 道题练透，不仅能彻底掌握方程解法，更能为后续解决利润问题、几何面积计算、运动轨迹分析等难题打下扎实基础。 一、【目录导航】 【夯实基础篇（30题）】............................................................................................................................1 【综合提升篇（40题）】............................................................................................................................5 【链接中考篇（30题）】..........................................................................................................................10 二、【题型展示】 【夯实基础篇（30题）】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 2．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程：． 解：整理，得__________， 移项，得__________， 二次项系数化为1，得__________， 配方，得_____，即（_____）__________， 开方，得__________， __________，__________． 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： （1） （2） （3） 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）下面是张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成下列任务． 解方程： 解：        第一步                          第四步       第二步          ，  第五步           第三步 （1）任务一：①张老师解方程的方法是____________． A．直接开平方法        B．配方法      C．公式法        D．因式分解法 ②第二步变形的依据是____________； （2）任务二：请你用“公式法”解该方程： （3）任务三：请你按要求解方程：（因式分解法） 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解方程： （1） （2） 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 12．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 13．（22-23八年级下·重庆·期末）利用换元法解下列方程 （1）； （2）． 14．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：． 15．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）【新考向】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法在由原方程得到方程①的过程中；利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）方程的解为________________________； （2）仿照材料中的方法，尝试解方程． 16．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）； （4）（公式法）． 17．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 19．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 20．（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法）； （3）（公式法）． 21．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 22．（22-23九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 23．（23-24九年级上·四川内江·期中）用指定方法解下列方程： （1）（配方法） （2）（因式分解） 24．（23-24九年级上·福建泉州·期中）用指定方法解方程 （1）（直接开平方法） （2）．（公式法） 25．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 27．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： （1） （2） 28．（24-25九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2） 29．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）用适当方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 30．（24-25九年级上·河南商丘·期中）采用适当方法解下列方程． （1）； （2） 31．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． （1） （2） （3） 32．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程： （1）； （2）． 33．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 34．（24-25九年级上·河南信阳·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2）； 【综合提升篇（40题）】 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）请你用指定的方法解下列方程 （1）配方法： （2）公式法： 2．（24-25九年级上·全国·期中）用指定的方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 3．（24-25八年级下·山东威海·期中）用指定的方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3）（用因式分解法） 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）按指定的方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4）（公式法） 5．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）用指定的方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（选用适当的方法） 6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）（配方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4）（合适的方法） 7．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）用指定的方法解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（十字相乘法） （3）（配方法 ） （4）（公式法） 8．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）（用配方法） （2）（公式法） 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定的方法解下列方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法）． 10．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）下面是小颖和小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得…① 分解因式，得…② ∴或…③ ∴，…④ 解：方程两边同时除以x， 得 任务 Ⅰ．小颖同学的从第②步到第③步的变形，根据的数学原理是______； A．若，则或  B． C．若，则或 D．若或，则 Ⅱ．小明的做法正确吗？______．理由：______； Ⅲ．两位同学解一元二次方程所用的数学思想是______． 11．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程（用指定的方法解一元二次方程）： （1）（配方法）； （2）．（公式法） 12．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程： （1）（公式法） （2）（因式分解法） 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当方法解方程： （1） （2） （3） 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）选用适当方法求下列方程的精确解． （1） （2） 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 16．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）． 17．（22-23九年级上·四川成都·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 18．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 19．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1）； （2） 21．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 22．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用适当方法解方程： （1） （2） （3） （4） 23．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． （1）； （2）． 25．（24-25九年级上·全国·期末）解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（用适当方法． 26．（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： （1） （2） 27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（适当方法） 28．（24-25九年级上·北京·阶段练习）解方程： （1）（公式法） （2）．（配方法） （3）（选用适当方法） （4）（选用适当方法） 29．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 30．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）选用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 31．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程： （1）（用适当方法）； （2）（公式法）； （3）（用适当方法）； （4）（用适当方法） 32．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 33．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用适当方法解方程 （1）； （2）． 34．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 35．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 37．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解）； （4）（适当方法）； （5）（适当方法）． 38．（24-25九年级上·河南焦作·开学考试）按要求解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（用适当方法） （3）；（公式法） （4）．（用适当方法） （5）；（用适当方法） （6）．（用适当方法） 39．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 40．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【链接中考篇（30题）】 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 8．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 9．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 11．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 12．（2020·四川雅安·中考真题）若，则 ． 13．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 14．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到） 15．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 16．（2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． 17．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 18．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 三、解答题 19．（2024·江苏徐州·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组． 20．（2022·江苏徐州·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组： 21．（2024·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组： 22．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 23．（2023·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：       （2）解不等式组： 24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 25．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 26．（2021·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：；    （2）解不等式组： 27．（2024·青海·中考真题） （1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 28．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 29．（2020·江苏南京·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0 30．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.16 求解一元二次方程（精选精练100题）（分层专项练习） 在初中数学中，一元二次方程就像一座至关重要的 “桥梁”！它不仅是九年级上册数学的核心内容，更是整个代数体系的关键枢纽 —— 掌握不好它，后续二次函数、几何图形计算、实际应用题都会困难重重。很多同学在考试里丢分，根源就在于方程解法不熟练，导致计算出错、思路卡壳。 本专题从基础的四种解法练起，逐步过渡到较复杂综合题型，每一道题都瞄准考试高频考点和易错点。把这 100 道题练透，不仅能彻底掌握方程解法，更能为后续解决利润问题、几何面积计算、运动轨迹分析等难题打下扎实基础。 一、【目录导航】 【夯实基础篇（30题）】............................................................................................................................1 【综合提升篇（40题）】..........................................................................................................................28 【链接中考篇（30题）】..........................................................................................................................65 二、【题型展示】 【夯实基础篇（30题）】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 解：（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点拨】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得．即，． （2）方程两边直接开方，根据平方根的定义，得，即，． 解：（1） ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点拨】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 解：（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 解：（1）解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （3）方程变形得：， 配方得：，即， 解得：，； （4）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4） 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）-（4）利用配方法解一元二次方程即可； 解：（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 解：（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）下面是张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成下列任务． 解方程： 解：        第一步                          第四步       第二步          ，  第五步           第三步 （1）任务一：①张老师解方程的方法是____________． A．直接开平方法        B．配方法      C．公式法        D．因式分解法 ②第二步变形的依据是____________； （2）任务二：请你用“公式法”解该方程： （3）任务三：请你按要求解方程：（因式分解法） 【答案】（1）① B；② 等式的基本性质；（2）；（3） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键； （1）①由解法步骤可得解方程的方法是配方法；②方程两边都加1，使用的是等式的基本性质； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可； （3）把方程化为，可得，再化为两个一次方程求解即可． 解：（1）解：①张老师解方程的方法是：配方法； ②第二步变形的依据是：等式的基本性质． （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， ∴， ∴即， ∴或， 解得：，． 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 解：（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）因式分解，得， 或， 解得，． （2）移项，得． 因式分解，得， 或， 解得，． 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）， 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． （1）用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把右边的项移到左边并化简，再用完全平方公式分解因式，即可求出方程的根． （3）用提公因式法因式分解求出方程的根． （4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 解：（1）解：， 原方程可变形为：， 或． ，． （2）解： 原方程可变形为：， ． ． （3）解：， 原方程可变形为：， 或 ，． （4）解： 原方程可变形为：， ， 即． 或． ，． 12．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 13．（22-23八年级下·重庆·期末）利用换元法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 解：（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 14．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：． 【答案】（1）C；（2）， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 15．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）【新考向】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法在由原方程得到方程①的过程中；利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）方程的解为________________________； （2）仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】（1），，，；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解。掌握各类求解方法是解题关键． （1）设，那么，于是原方程可变为，即可求解； （2）设，则原方程变为，即可求解； 解：（1）解：设，那么，于是原方程可变为； 解得：； 当时，； 当时，； 原方程有四个根：，，， 故答案为：，，， （2）解：设，则原方程变为， 解得：； 当时，，解得：； 当时，，即 ∴方程无实数根 故原方程的解为： 16．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）； （4）（公式法）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 解：（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 解：（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． （1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 解：（1）解：， 配方得，即， 开方得， 解得， 即，； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴，． 19．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）运用完全平方公式配方即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 20．（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法）； （3）（公式法）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 21．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 22．（22-23九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解． 解：（1）解：， ∵，， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， 两边加上，， 即， ∴， 解得：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 23．（23-24九年级上·四川内江·期中）用指定方法解下列方程： （1）（配方法） （2）（因式分解） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键． （1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可； （2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可． 解：（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 24．（23-24九年级上·福建泉州·期中）用指定方法解方程 （1）（直接开平方法） （2）．（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程； 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 解：（1）解：， 直接开平方得： ∴，； （2）解：， ，，， ∵， ∴，   ∴，． 25．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1） 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 解：（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 27．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 解：（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 28．（24-25九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ，， （2）解：， ， ， ， ， ． 29．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）用适当方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：移项，得 配方，得 即 开平方，得 ∴，； （2）解：原方程化为 ∴或， ∴，； （3）解：，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化为，即， ∴或， ∴，． 30．（24-25九年级上·河南商丘·期中）采用适当方法解下列方程． （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】你主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将方程变形，用因式分解法解方程即可得到答案； （2）将方程变形，用公式法解方程即可． 解：（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 31．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ，，， ∴ ， 解得，． （2）解：， 解得， （3）解：， ， ，， 解得：，． 32．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：∵，，，Δ ∴ 解得：， （2）解： ∴ ∴或 解得： 33．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1） ，， 解得，； （2） 或 解得，． 34．（24-25九年级上·河南信阳·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一无二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． （1）先移项，再配方，利用开方法来求解； （2）先移项，再提取公因式，化为两个因式的积等于0的形式，进而得到或，再解一元一次方程即可求解． 解：（1）解：移项得， 配方得， ， 开平方得， ． （2）解：， 移项得 提取公因式得， 或， 【综合提升篇（40题）】 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）请你用指定的方法解下列方程 （1）配方法： （2）公式法： 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先将常数项移到等号的右边，再配方，最后两边开平方即可得到答案； （2）先定系数a，b，c，再判判别式，最后代入求根公式即可得到答案； 解：（1）解：移项得， ， 配方得， ，即， 两边开平方得， ， ∴，； （2）解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，． 2．（24-25九年级上·全国·期中）用指定的方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用公式法解答即可． 解：（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得． 3．（24-25八年级下·山东威海·期中）用指定的方法解方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3）（用因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量． （1）根据配方法步骤进行配方，得出，再开平方即可； （2）首先求出，再套用公式，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可． 解：（1）解： ，； （2）解： ， ，； （3） ，， ，． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）按指定的方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4）（公式法） 【答案】（1），；（2），；（3）；（4）， 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程． （1）把25移到方程的右边，利用直接开平方解答即可． （2）先把5移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于9，可以解答． （3）先移项，发现左边的形式是完全平方式，则可以分解因式，利用因式分解法解答． （4）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出的值，最后套用求根公式解得． 解：（1）解： 移项得， 所以， 解得，，； （2）解： 移项得， 配方，得 即 所以 解得，，； （3）解： 移项得， 即 解得，； （4）解： ，，， ， ， 所以，． 5．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）用指定的方法解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（选用适当的方法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法成为解题的关键． （1）先求出，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先将含未知数的项移至等号的左边，常数项移至等号的右边，然后再运用配方法即可解答； （3）直接运用公式法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， ， 所以，． （2）解：， ， ， ， ， 所以，． （3）解：， ， ， 所以，． （4）解：， ， ， ， 所以，． 6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）（配方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4）（合适的方法） 【答案】（1）；（2）；（3）原方程无解；（4） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法和平方差公式分解因式，再解方程即可； （3）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （4）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无解； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 7．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）用指定的方法解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（十字相乘法） （3）（配方法 ） （4）（公式法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4） 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）运用十字相乘法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）运用公式法求解即可． 解：（1）解：直接开方得：， 即或， 解得：，； （2）整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （3）移项得：， 配方得：， 即， 直接开方得：， 即或， 解得：，； （4）移项得：， ， ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 8．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）（用配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解答本题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； 解：（1）解：， ， ， ∴； （2）解： ∵， ， ∴， ∴ 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定的方法解下列方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． （1）先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可； （2）先求出的值，然后根据求解即可． 解：（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解： ，，， ， ∴， ∴， ∴，． 10．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）用指定的方法解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）下面是小颖和小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得…① 分解因式，得…② ∴或…③ ∴，…④ 解：方程两边同时除以x， 得 任务 Ⅰ．小颖同学的从第②步到第③步的变形，根据的数学原理是______； A．若，则或  B． C．若，则或 D．若或，则 Ⅱ．小明的做法正确吗？______．理由：______； Ⅲ．两位同学解一元二次方程所用的数学思想是______． 【答案】（1），；（2），；（3）Ⅰ．A．Ⅱ．不正确，x可能等于0．Ⅲ．转化思想． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）Ⅰ．根据因式分解解一元二次方程的步骤即可得解；Ⅱ．根据小明的解答过程判断即可得解；Ⅲ．两位同学都是将一元二次方程转化为一元一次方程，故都是使用的转化思想． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：Ⅰ．小颖同学的从第②步到第③步的变形，根据的数学原理是若，则或， 故选：A； Ⅱ．小明的做法不正确，理由是x可能等于0； Ⅲ．两位同学解一元二次方程所用的数学思想是转化思想． 11．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程（用指定的方法解一元二次方程）： （1）（配方法）； （2）．（公式法） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 解：（1）解： ∴，； （2） ∴， ∴． 12．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程： （1）（公式法） （2）（因式分解法） 【答案】（1），；（2），． 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 解：（1）解：，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，． 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当方法解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，熟练掌握常用解法，直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，是解题的关键，本题宜采用后两种方法． （1）用公式法计算即可； （2）运用提取公因式法将左边分解因式求解； （3）用公式法计算即可． 解：（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ． 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）选用适当方法求下列方程的精确解． （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用求根公式法解，，，，则，然后代入公式计算即可； （2）方程两边开方，化为两个一元一次方程． 解：（1）解：（1），，， ， ， ，； （2）方程两边开方，得， 即或， 解得，． 【点拨】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出△，然后代入公式．也考查了用直接开平方法解一元二次方程． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用配方法求解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可． 解：（1）解： ∴，； （2）解： 整理，可得 ∴，； （3）解： ∴，． 16．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17．（22-23九年级上·四川成都·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程配方为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 解：（1）解：， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）解∶ ． ∴， ∴或， ∴． 18．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 19．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程： （1）移项，二次项系数化为1，配方，直接开平方求解即可得到答案； （2）移项，因式分解求解即可得到答案； 解：（1）解： 移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ，即， 两边开平方得， ∴， ∴，； （2）解： 移项得， ， 因式分解得， ， ∴或， ∴，． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程变形为，利用直接开方法求解即可； （2）配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法，熟悉各种一元二次方程的解法是解题的关键． （1）移项后提公因数，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： 或， 解得：，； （2） 或， 解得：，． 22．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用适当方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）利用配方法把方程化为的形式，然后可用直接开平方解方程； （4）两边分别开平方，得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；． 解：（1）解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ，， ∴， 解得： （3）解：， 配方得：， ∴， 解得：； （4）解：， ∴或 ∴或 解得： 23．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公因式法，配方法． （1）利用直接开方法求解即可． （2）利用提公因式法求解即可． （3）利用配方法求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 25．（24-25九年级上·全国·期末）解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（用适当方法． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，配方法，因式分解法求一元二次方程是解题的关键 ． （1）确定，再运用求根公式即可求解； （2）运用配方法求解即可； （3）先将等式变形，再提取公因式，运用因式分解法即可求解． 解：（1）解： ，， ∴， ∴； （2）解： 移项得，， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，， ∴， 等式两边同时开根得，， ∴； （3）解： 等号右边因式分解，整理得，， 移项得，， 提取公因式得，，整理得，， ∴或， ∴． 26．（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 解：（1）解：∵ ∴ 则或， 那么，，； （2）解：∵， ∴， 则， 故，． 27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（适当方法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是解题关键． （1）直接利用配方法求解，即可解题； （2）先确定求根公式中的a、b、c，再代入公式求解，即可解题； （3）先提取公因式分解因式，再取每个因式分别为0，即可解题； （4）直接利用配方法求解，即可解题． 解：（1）解： 解得，； （2）解：， ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， ，； （3）解： 即或， 解得，； （4）解： ，． 28．（24-25九年级上·北京·阶段练习）解方程： （1）（公式法） （2）．（配方法） （3）（选用适当方法） （4）（选用适当方法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 解：（1）解：， 化简得：， ， ， 解得： ； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：； （3）解：， 移项得：， 开方得：， 解得：  ； （4）解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：． 29．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择适当的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用直接开平方法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 解：（1）解： 方程变形为：， 因式分解法，得， ∴或， 解得，； （2）解： 移项，得， 开方，得， 解得，； （3）解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，； （4）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 30．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）选用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练选择合适的方法解方程是关键． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）利用配方法即可解答； （3）利用公式法即可解答； （4）利用十字相乘法即可解答． 解：（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 31．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程： （1）（用适当方法）； （2）（公式法）； （3）（用适当方法）； （4）（用适当方法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （4）利用直接开平方的方法解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， 解得． 32．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的特点灵活选择解法是解题的关键． （1）方程两边同时加上4，再利用配方法解一元二次方程即可； （2）方程两边同时除以7，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （3）方程移项得，方程左边提取公因式进行因式分解即可求解方程． 解：（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ， 或， ，． 33．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用适当方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法和因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用配方法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后再运用因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． 34．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）利用配方法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 解：（1）解： 或 ， （2）解： ， （3）解： ， （4）解： ， ， 35．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查采用适当的方法解一元二次方程， （1）采用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用平方差公式和因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：原式整理得：， ， ． 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： ∴； （2）解： ∴． 37．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解）； （4）（适当方法）； （5）（适当方法）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 38．（24-25九年级上·河南焦作·开学考试）按要求解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（用适当方法） （3）；（公式法） （4）．（用适当方法） （5）；（用适当方法） （6）．（用适当方法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （5）利用直接开平方的方法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （5）解：∵， ∴， 解得； （6）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 39．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再因式分解法即可解答． 解：（1）解：， ， ， 所以． （2）解：， ， ， ， ， 所以． 40．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2），；（3），；（4）， 【分析】此题考查了解一元二次方程， （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （3）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （4）， ∴， 则或， 解得，． 【链接中考篇（30题）】 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 解： 故选B． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法解方程即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 解： ， ∴， ∴或， ∴，， 故选：B． 二、填空题 6．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】１ 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 解： ∴ 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 【答案】6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 解：∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 8．（2024·江苏南京·中考真题）已知是关于的方（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 9．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 11．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 12．（2020·四川雅安·中考真题）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 13．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 解：设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到） 【答案】 【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得． 解：一元二次方程中的， 则， 所以这个方程的正数解近似表示为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 15．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值． 解：， 方程两边同时乘以得，， ， ， ， 或． 经检验时，，故舍去． 原方程的解为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况． 16．（2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可． 解：由题意得 ， 原式． 故答案：． 【点拨】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键． 17．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 18．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ． 【答案】 【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程． 解：由原方程，得． 解得． 故答案是：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 三、解答题 19．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 20．（2022·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）解：， ， ∴， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 21．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）先移项，再用直接开平方法即可求解； （2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集． 解：（1）解：， ， 或， 解得：． （2）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 22．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 解：（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 23．（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1） 解：∵， ∴， ∴ 解得：，； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【点拨】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键． 24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 解：∵ ∴或 解得，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 25．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值； （2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状． 解：由题意列方程组： 解得 将，分别代入和 解得， ∴， （2） 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下：∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 【点拨】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 26．（2021·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3 【分析】（1）先移项，再直接开平方，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解． 解：（1）， ， x+1=2或x+1=-2， ∴x1=1，x2=-3； （2）， 又①得：x≥1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解为：1≤x＜3． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键． 27．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 28．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 29．（2020·江苏南京·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 解：， ， 或， 或， 故方程的解为． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 30．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），；（2）详见分析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 解：（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$