专题1.5（2） 精准运算指南 —— 特殊平行四边形性质与判定求解（全章运算题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5（2） 精准运算指南 —— 特殊平行四边形性质与判定求解 （全章运算题型分类讲解） 在学习特殊平行四边形时，很多同学常被线段长度、角度大小、图形面积的计算问题困扰。面对复杂图形，不知如何运用性质和判定定理；遇到变形题目，就容易陷入计算误区。本专题针对这些实际问题，系统梳理矩形、菱形、正方形的核心知识，结合常见典例解题方法，总结实用计算方法，帮助你理清思路、掌握技巧，稳步提升几何计算能力。 一、【题型导航目录】 【考点一】利用特殊平行四边形性质与判定求角度 【题型一】菱形.........................................................................2 方法1：利用对角线平分每组内角与邻角互补求角度；方法2：利用对角线互直垂直平分构成直角三角形求角度. 【题型二】矩形.........................................................................5 方法 1：利用矩形内为直角的性质与对角线构成等腰三角形求角度;方法 2：利用矩形的性质与作辅助线构造等腰三角形求角度 【题型三】正方形......................................................................11 方法 1：利用对角线平分直角为 45°求角度;方法 2：正方形性质判定与等腰（边）三角形综合求角度. 【考点二】利用特殊平行四边形性质与判定求线段长 【题型四】菱形........................................................................15 方法 1：利用对角线垂直平分与勾股定理求线段长；方法 2：利用对角线垂直与三角形全等或中位线性质求线段长. 【题型五】矩形........................................................................21 方法 1：利用矩形对角线相等与勾股定理求线段长; 方法 2：利用对角线相等与全等三角形求线段长. 【题型六】正方形......................................................................27 方法 1：对角线与边长的 倍关系求线段长; 方法 2：证明或分解为等腰直角三角形求线段长. 【考点三】利用特殊平行四边形性质与判定求面积 【题型七】菱形........................................................................34 方法1：利用菱形面积=底高或利用菱形面积等于其对角线乘积的一半; 方法 2：等面积法：底高菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【题型八】矩形........................................................................39 方法 1：矩形面积=长 × 宽法（基础公式）;方法 2：利用面积对称性与割补法求面积. 【题型九】正方形......................................................................45 方法 1：正方形的面积=边长平方（基础公式）;方法 2：正方形的面积=对角线平方的一半（衍生公式）; 方法 3：利用割补法求面积;方法 4：正方形中重叠部分面积=转化为特殊三角形面积. 二、【题型展示与方法点拨】 【考点一】利用特殊平行四边形性质与判定求角度 【题型一】菱形 方法1：利用对角线平分每组内角与邻角互补求角度. 【例题1】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案． 解：根据题意可得：， 四边形为菱形， ， ， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及菱形性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，先由菱形对边平行得到同旁内角互补求出，再由菱形对角线平分对角得到，最后由等腰三角形性质求解即可得到答案． 解：在菱形中，， ， 在菱形中，为对角线，，则， 在中，，，则， 故选：B． 方法2：利用对角线互直垂直平分构成直角三角形求角度. 【例题2】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，菱形的对角线交于点O，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 根据菱形对边平行得到，根据，即可得到． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在菱形中，对角线交于点，线段上有一点，连接，若，且，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】此题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后由，得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 解：∵在菱形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在菱形中，垂直平分 ∴， ∴ ∴． 故答案为：50． 【题型二】矩形 方法 1：利用矩形内为直角的性质与对角线构成等腰三角形求角度. 【例题3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和即可解答． 解：∵矩形中，对角线、相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键．根据矩形的性质，得，，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． 解：∵矩形的对角线的延长线上一点，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 方法 2：利用矩形的性质与作辅助线构造等腰三角形求角度. 【例题4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据矩形的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，，再根据三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 解：如图，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案． 解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设的中点为，连接，，得到，，，则，得到，继而得到是等边三角形，得出，得到，求出，得到，即可得到答案． 解：设的中点为，连接，如图所示： 设， ， 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，是斜边上的中线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是矩形边上一点， 故选：C． 【题型三】正方形 方法 1：利用对角线平分直角为 45°求角度. 【例题5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形、分别是菱形与正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ， ∵， ， ∵菱形中，， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，李蓁将一副三角尺（含和含的直角三角形）按如图所示的方式放置于正方形木框中，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质.根据正方形的性质求出，根据三角形外角性质求出，最后根据平角定义求解即可． 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 方法 2：正方形性质判定与等腰（边）三角形综合求角度. 【例题6】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 【答案】/135度 【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质，等角对等边等知识，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 解：∵四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，先由正方形的性质得，，再证明得，，进而可得，进而可得答案． 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 【变式2】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正方形中，与交于点，若平分，连接并取中点，连接，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识，由正方形的性质得垂直平分，则，所以，求得，由，得，于是得到问题的答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵四边形是正方形，与交于点， ∴，垂直平分， ∴， ∵平分， ， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故选：C． 【考点二】利用特殊平行四边形性质与判定求线段长 【题型四】菱形 方法 1：利用对角线垂直平分与勾股定理求线段长. 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 【变式1】（2025·河南·二模）如图，四边形为菱形，垂直平分，若，则的长为（      ）    A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质得到，设，则，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 解：∵四边形为菱形， ， 设，则， ∵垂直平分， ， 在中，， 中，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查求点的坐标，涉及菱形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作轴，如图所示，由菱形性质，得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理求出线段长度，数形结合即可得到答案． 解：过点作轴，如图所示： 在菱形中，，则， 是等腰直角三角形，则, ， 由勾股定理可得，解得， 则， 点的坐标为， 故答案为：． 方法 2：利用对角线垂直与三角形全等或中位线性质求线段长. 【例题8】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段AM的长为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长交的延长线于点，证明，可得，再通过折叠的性质可得，即可列出方程解答，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，延长交的延长线于点， ， 四边形是菱形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 根据折叠可得，， ， ， ，即， ， 解得， 故选：B． 【变式1】（2025·陕西汉中·三模）如图，四边形为平行四边形，对角线与相交于点O，E、F、G、H分别为边的中点，连接，四边形为菱形，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理、菱形性质以及平行四边形性质的综合运用，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理和菱形的性质． 利用三角形中位线定理，得出，，依据菱形四条边相等，由推出，根据平行四边形对角线互相平分，由得到 ，进而得出答案． 解：∵、、、分别为边、、、的中点， ∴在中，是中位线，在中，是中位线， ∴；， ∴． 同理，在和中，可得 ． ∵四边形为菱形，菱形的四条边相等， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∴． 故选：A． 【变式2】（2025·河南郑州·二模）如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和菱形的综合，旋转的性质，菱形的性质以及求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和菱形的性质．根据周期性确定点的最终位置，通过菱形的性质和中心对称得出，最后利用全等三角形的性质得出． 解：由题意得菱形旋转4次为一个周期， ∴ 如图所示，此时点落在了处，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 根据旋转的性质可得，， ， ∵，根据菱形的性质，对角线互相平分， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 故选：C． 【题型五】矩形 方法 1：利用矩形对角线相等与勾股定理求线段长. 【例题9】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在长方形形中 ，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（    ） A．16 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接，作于，则，，求出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 解：∵在矩形中 ，， ∴， 如图，连接，作于， 由题意可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，然后分别根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，如图（1）所示，连接． 在中，，， ． 由轴对称可知，． 又， 点，，共线， ． 设，则，， ， ， 解得， ． ②当时，如图（2）所示， 又， 四边形为矩形． 又， 此时矩形为正方形， ， ． 综上所述，的长为或1． 故选：C． 【变式2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 方法 2：利用对角线相等与全等三角形求线段长. 【例题10】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 解：矩形， ，， ， ． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，矩形的对角线和相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质得出，再结合，则是等边三角形，即可作答． 解：∵矩形的对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短. 过点P作交于点M，易知是的中位线，可得，当取得最小值时，最小，根据垂线段最短求出最小值即可． 解：过点P作交于点M， 由条件可知是的中位线， ∴，， 当取得最小值时，最小， 当时，最小，此时， ∴． 故选：A． 【题型六】正方形 方法 1：对角线与边长的 倍关系求线段长. 【例题11】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第2个正方形，再以对角线为边作第3个正方形…，如此下去，第2025个正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质以及图形类规律探索，主要利用了正方形的对角线等于边长的倍的性质，注意正方形的序数与指数的关系． 根据正方形的对角线等于边长的倍依次求解，然后根据指数的变化求出第个正方形的边长即可． 解：正方形的边长为1， 第2个正方形的边长， 同理，第3个正方形的边长， ， 第个正方形的边长， 第2025个正方形边长为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点H，根据正方形性质得，证明和全等得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此得当为最小时，为最小，再根据“垂线段最短”得：当时为最小，则最小值为线段的长，由此得的最小值为1，据此即可得出的最小值． 解：过点O作于点H，如图所示： ∵是正方形，且， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴当为最小时，为最小， ∵点E在边上， ∴根据“垂线段最短”得：当时为最小， 即点E于点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为1， 此时， 即的最小值为． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 方法 2：证明或分解为等腰直角三角形求线段长 【例题12】（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，根据正方形的性质，结合斜边上的中线，推出，进而推出，得到，得到为等腰直角三角形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，进行求解即可． 解：过点作，则：， ∵正方形， ∴，，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当，即点与点重合时，最小为1， ∴的最小值为． 故选：D 【点拨】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江金华·二模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查出正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的周长，先根据四边形的性质得，，，进而得和是等腰直角三角形，，，即可计算四边形的周长． 解：方形的边长是2， ，，， 又，， 和是等腰直角三角形， ，， 四边形的周长， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，已知正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转，旋转2025次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判断和性质，根据旋转的性质找到正方形旋转后的对应点的位置是解题的关键． 由旋转的性质可知正方形旋转第2025次点的坐标和正方形旋转第1次点的坐标重合，记点旋转后的对应点为点，过点作轴，过点作轴，连接，，易证得，得到，， ，，再证得，可得，，即可得旋转2025次后，点的坐标． 解：∵正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转， ∴每旋转4次，正方形回到原位置， ∵， ∴正方形旋转第2025次点的坐标和正方形旋转第1次点的坐标重合， 如图，记点旋转后的对应点为点，过点作轴，过点作轴，连接，，则，， ∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 【考点三】利用特殊平行四边形性质与判定求面积 【题型七】菱形 方法1：利用菱形面积=底高或利用菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【例题13】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，含度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键．根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 解：四边形是菱形，， ，，， ， ． 在中根据勾股定理得： ， ， ． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 解：本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到关于x的方程，掌握菱形的面积公式：菱形面积（a、b是两条对角线的长度）． 根据题意设，，由菱形的性质推出，，，，由等角对等边推出，从而得到，求出，得到，，，由勾股定理求出，得到，，，于是得到菱形的面积． 【解答】解：∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质得到是等边三角形，再利用勾股定理求出长，即可得出菱形的面积． 解：连接，过点B 作于点， ∵在菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：． 方法 2：等面积法：底高菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【例题14】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，再由勾股定理可得的长，再根据，解答即可． 解：∵四边形是菱形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，菱形中，为边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求线段，涉及菱形性质、勾股定理及菱形面积求法，先由菱形性质及勾股定理得到菱形边长，再由等面积法得到，代值求解即可得到答案．熟练掌握菱形性质、勾股定理及菱形面积公式求线段长是解决问题的关键． 解：在菱形中，，则，，且， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 则，解得， 故选：B． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）菱形的对角线长度分别为和，过点向直线作垂线，垂足为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．分当，和当，时两种情况，利用菱形的性质及勾股定理求解即可． 解：当，时，连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ，即， 解得：， ∴， ∴ 当，时，连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ，即， 解得：， ∴， ∴ 故答案为：或． 【题型八】矩形 方法 1：矩形面积=长 × 宽法（基础公式） 【例题13】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可． 解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的面积是； 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题． 解：∵ ∴F是的中点， ∵D是中点， ∴是中位线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴四边形为矩形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴矩形面积． 故选：A． 方法 2：利用面积对称性与割补法求面积. 【例题16】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形中，P为对角线上一点，过P分别作、的平行线于矩形边相交，若矩形的面积为S，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，矩形的对角平分面积求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质得出，然后利用矩形面积空白部分即可求解． 解：设，，，， 在矩形中，有，，， ，即：， 则， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、三角形的面积公式，用矩形的面积减去和的面积求解即可．将阴影部分的面积转化为求解是解题的关键． 解：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是三角形中上的高，是三角形中边上的高， ． 故答案为：6． 【题型九】正方形 方法 1：正方形的面积=边长平方. 【例题17】（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质及应用等．根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可． 解：如图， 由正方形的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴ ∵两边的两个正方形的面积为2和3， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即中间的一个大正方形的面积为， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·广西玉林·期中）如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点拨】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 方法 2：正方形的面积=对角线平方的一半. 【例题18】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）正方形的对角线长为，则其面积为（    ） A．24 B．72 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形也是一个特殊的菱形，则正方形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 解：∵正方形的对角线长为， ∴其面积为， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）一个正方形的面积是，那么这个正方形的对角线的长度为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列方程计算即可得解． 解：设正方形的对角线长为， 由题意得，， 解得． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的面积是对角线积的一半成为解题的关键． 根据正方形的面积等于对角线积的一半列式计算即可． 解：如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：50． 方法 3：利用割补法求面积. 【例题18】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰和等腰中，，，，．若，则五边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的判定和性质的综合，掌握图形旋转的性质，将规则图形转换为正方形求面积是解题的关键． 如图所示，将绕点顺时针旋转，与重合，点的对应点为，将绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点，连接，可得正方形，由此可得，由此即可求解． 解：如图所示， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴ 设，， ∵， ∴将绕点顺时针旋转，与重合，点的对应点为，将绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点，连接， ∴，，， ∴四边形是正方形，且，， ∴四边形的面积等于四边形的面积， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，设正方形边长为a，则，再根据建立方程求解即可． 解：设正方形边长为a， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为28， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形与正方形的边长分别为、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．21 D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式先求得，分别用代数式表示和面积，然后变形代入数据求解即可．本题考查了完全平方公式的应用，根据题中的图来求阴影面积，将阴影面积正确表示出来并灵活运用已知条件是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D 方法 4：正方形中重叠部分面积=转化为特殊三角形面积. 【例题19】（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，以及正方形的性质，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键． 连接，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 解：连接, 如图所示: ∵三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点， ，， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴两个正方形阴影部分的面积, 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 ， 故选: D． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（2） 精准运算指南 —— 特殊平行四边形性质与判定求解（全章运算题型分类讲解） 在学习特殊平行四边形时，很多同学常被线段长度、角度大小、图形面积的计算问题困扰。面对复杂图形，不知如何运用性质和判定定理；遇到变形题目，就容易陷入计算误区。本专题针对这些实际问题，系统梳理矩形、菱形、正方形的核心知识，结合常见典例解题方法，总结实用计算方法，帮助你理清思路、掌握技巧，稳步提升几何计算能力。 一、【题型导航目录】 【考点一】利用特殊平行四边形性质与判定求角度 【题型一】菱形.........................................................................2 方法1：利用对角线平分每组内角与邻角互补求角度；方法2：利用对角线互直垂直平分构成直角三角形求角度. 【题型二】矩形.........................................................................3 方法 1：利用矩形内角为直角的性质与对角线构成等腰三角形求角度;方法 2：利用矩形的性质与作辅助线构造等腰三角形求角度. 【题型三】正方形.......................................................................4 方法 1：利用对角线平分直角为 45°求角度;方法 2：正方形性质判定与等腰（边）三角形综合求角度. 【考点二】利用特殊平行四边形性质与判定求线段长 【题型四】菱形.........................................................................5 方法 1：利用对角线垂直平分与勾股定理求线段长；方法 2：利用对角线垂直与三角形全等或中位线性质求线段长. 【题型五】矩形.........................................................................8 方法 1：利用矩形对角线相等与勾股定理求线段长; 方法 2：利用对角线相等与全等三角形求线段长. 【题型六】正方形.......................................................................9 方法 1：对角线与边长的 倍关系求线段长; 方法 2：证明或分解为等腰直角三角形求线段长. 【考点三】利用特殊平行四边形性质与判定求面积 【题型七】菱形........................................................................11 方法1：利用菱形面积=底高或利用菱形面积等于其对角线乘积的一半; 方法 2：等面积法：底高菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【题型八】矩形........................................................................13 方法 1：矩形面积=长宽法; 方法 2：利用对称性与割补法求面积. 【题型九】正方形......................................................................14 方法 1：正方形的面积=边长平方;方法 2：正方形的面积=对角线平方的一半（衍生公式）;方法 3：利用割补法求面积;方法 4：正方形重叠部分面积=转化为特殊三角形面积. 二、【题型展示与方法点拨】 【考点一】利用特殊平行四边形性质与判定求角度 【题型一】菱形 方法1：利用对角线平分每组内角与邻角互补求角度. 【例题1】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 方法2：利用对角线互直垂直平分构成直角三角形求角度. 【例题2】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，菱形的对角线交于点O，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在菱形中，对角线交于点，线段上有一点，连接，若，且，则的度数为 ． 【题型二】矩形 方法 1：利用矩形内为直角的性质与对角线构成等腰三角形求角度; 【例题3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 方法 2：利用矩形的性质与作辅助线构造等腰三角形求角度. 【例题4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是矩形边上一点，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型三】正方形 方法 1：利用对角线平分直角为 45°求角度. 【例题5】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形、分别是菱形与正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，李蓁将一副三角尺（含和含的直角三角形）按如图所示的方式放置于正方形木框中，则的度数为 °． 【变式2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 方法 2：正方形性质判定与等腰（边）三角形综合求角度. 【例题6】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 【变式2】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正方形中，与交于点，若平分，连接并取中点，连接，则的度数是（） A． B． C． D． 【考点二】利用特殊平行四边形性质与判定求线段长 【题型四】菱形 方法 1：利用对角线垂直平分与勾股定理求线段长. 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 【变式1】（2025·河南·二模）如图，四边形为菱形，垂直平分，若，则的长为（      ）    A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ． 方法 2：利用对角线垂直与三角形全等或中位线性质求线段长. 【例题8】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段AM的长为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【变式1】（2025·陕西汉中·三模）如图，四边形为平行四边形，对角线与相交于点O，E、F、G、H分别为边的中点，连接，四边形为菱形，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（2025·河南郑州·二模）如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型五】矩形 方法 1：利用矩形对角线相等与勾股定理求线段长. 【例题9】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在长方形形中 ，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（    ） A．16 B．12 C．9 D．7 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 【变式2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 方法 2：利用对角线相等与全等三角形求线段长. 【例题10】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，矩形的对角线和相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型六】正方形 方法 1：对角线与边长的 倍关系求线段长. 【例题11】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第2个正方形，再以对角线为边作第3个正方形…，如此下去，第2025个正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 方法 2：证明或分解为等腰直角三角形求线段长. 【例题12】（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2025·浙江金华·二模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，已知正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，每次顺时针旋转，旋转2025次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点三】利用特殊平行四边形性质与判定求面积 【题型七】菱形 方法1：利用菱形面积=底高或利用菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【例题13】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为 ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积是 ． 方法 2：等面积法：底高菱形面积等于其对角线乘积的一半. 【例题14】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，菱形中，为边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）菱形的对角线长度分别为和，过点向直线作垂线，垂足为，则的长为 ． 【题型八】矩形 方法 1：矩形面积=长 × 宽法（基础公式）. 【例题13】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【变式1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是 ． 【变式2】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 方法 2：利用面积对称性与割补法求面积. 【例题16】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形中，P为对角线上一点，过P分别作、的平行线于矩形边相交，若矩形的面积为S，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 【题型九】正方形 方法 1：正方形的面积=边长平方. 【例题17】（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（   ） A．13 B．10 C．6 D．5 【变式2】（22-23八年级下·广西玉林·期中）如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    方法 2：正方形的面积=对角线平方的一半. 【例题18】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）正方形的对角线长为，则其面积为（    ） A．24 B．72 C．36 D．24 【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）一个正方形的面积是，那么这个正方形的对角线的长度为 cm． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 ． 方法 3：利用割补法求面积. 【例题18】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰和等腰中，，，，．若，则五边形的面积是 ． 【变式1】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形与正方形的边长分别为、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．21 D． 方法 4：正方形中重叠部分面积=转化为特殊三角形面积 【例题19】（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$