专题1.5（1） 火眼金睛辨真假 —— 特殊平行四边形性质与判定辨析（全章性质判定梳理与题型讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5（1） 火眼金睛辨真假 —— 特殊平行四边形性质与判定辨析 （全章性质判定梳理与题型讲解） 本专题旨在帮助学生精准区分矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质与判定，彻底解决知识混淆的难题。通过知识储备和典型例题剖析及变式巩固，引导学生逐步理清各图形在边、角、对角线等方面的独特性质与判定条件，帮助学生建立清晰的知识框架，夯实几何基础。 其意义在于，不仅能有效提升学生对特殊平行四边形知识的掌握程度，为后续解决几何证明、计算问题筑牢根基，还能培养学生的逻辑思维与辨析能力。 一、【题型导航目录】 【夯实基础篇】 【题型一】菱形的性质.....................................................................1 【题型二】菱形的判定.....................................................................2 【题型三】矩形的性质.....................................................................4 【题型四】矩形的判定.....................................................................5 【题型五】正方形的性质...................................................................6 【题型六】正方形的判定...................................................................7 【综合进阶篇】 【题型七】菱形、矩形、正方形性质与判定综合...............................................8 【题型八】菱形、矩形、正方形与中点四边形综合.............................................9 【题型九】菱形、矩形、正方形几何变换综合................................................10 二、【题型展示与方法点拨】 【夯实基础篇】 【题型一】菱形的性质 【知识储备1】菱形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：对角相等. 即， （3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角. 即 平分，平分 【例题1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【变式1】（2025·安徽宣城·三模）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对边平行且相等 【题型二】菱形的判定 【知识储备2】菱形的判定方法 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 【例题2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件． ①②，． ③，，，④ 其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（   ）    A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式1】（2025·河南商丘·二模）在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型三】矩形的性质 【知识储备3】矩形的性质 （1）边：对边平行且相等. 即, （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线相等且互相平分， 即 （4） 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 【例题3】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）下列关于矩形的说法，正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角 C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【题型四】矩形的判定 【知识储备4】矩形的判定方法 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 【例题4】（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（　　） A．对角线相等且互相平分的四边形 B．有一组邻角相等的平行四边形 C．对角线相等且垂直的四边形 D．有一组对角互补的平行四边形 【变式2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为 ． 【变式3】（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【题型五】正方形的性质 【知识储备5】正方形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）. 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 【变式1】（2024·北京·模拟预测）下列陈述中错误的数量为（    ） 陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心 陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴 陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的周长和面积 陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（23-24八年级下·全国·单元测试）正方形具有而菱形和矩形都不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分 D．对角线垂直且相等 【题型六】正方形的判定 【知识储备6】正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 【例题6】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式1】（24-25八年级下·北京房山·期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【变式2】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【综合进阶篇】 【题型七】菱形、矩形、正方形性质与判定综合 【知识储备7】菱形、矩形、正方形性质与判定之间关系 【例题7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列命题中，是真命题的为（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【变式1】（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【变式3】（24-25八年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，，．如果、分别是、上的点，且经过中点，，是对角线上的点．下列判断正确的有 ．（填序号） ①在上存在无数组、，使得四边形是平行四边形； ②在上存在无数组、，使得四边形是矩形； ③在上存在无数组、，使得四边形是菱形； ④当时，存在，使得四边形是正方形． 【题型八】菱形、矩形、正方形与中点四边形综合 【例题8】（24-25八年级下·广东广州·期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 【变式3】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【题型九】菱形、矩形、正方形几何变换综合 【例题9】（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 【变式1】（2024·吉林·模拟预测）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③五边形的周长是44； ④的面积是60． 下列结论正确的是 ． 【变式2】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再沿折叠，使点落在上的点处．下列结论：①；②；②；④．其中正确结论是 ．（填序号）    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（1） 火眼金睛辨真假 —— 特殊平行四边形性质与判定辨析 （全章性质判定梳理与题型讲解） 本专题旨在帮助学生精准区分矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质与判定，彻底解决知识混淆的难题。通过知识储备和典型例题剖析及变式巩固，引导学生逐步理清各图形在边、角、对角线等方面的独特性质与判定条件，帮助学生建立清晰的知识框架，夯实几何基础。 其意义在于，不仅能有效提升学生对特殊平行四边形知识的掌握程度，为后续解决几何证明、计算问题筑牢根基，还能培养学生的逻辑思维与辨析能力。 一、【题型导航目录】 【夯实基础篇】 【题型一】菱形的性质.....................................................................1 【题型二】菱形的判定.....................................................................3 【题型三】矩形的性质.....................................................................6 【题型四】矩形的判定.....................................................................9 【题型五】正方形的性质..................................................................11 【题型六】正方形的判定..................................................................13 【综合进阶篇】 【题型七】菱形、矩形、正方形性质与判定综合..............................................15 【题型八】菱形、矩形、正方形与中点四边形综合............................................20 【题型九】菱形、矩形、正方形几何变换综合................................................24 二、【题型展示与方法点拨】 【夯实基础篇】 【题型一】菱形的性质 【知识储备1】菱形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：对角相等. 即， （3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角. 即 平分，平分 【例题1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边分别相等，对边平行，对角线互相垂直平分线，对角线平分一组对角，据此可得答案． 解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 【变式1】（2025·安徽宣城·三模）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．根据菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余，得到，可判断A 选项；再根据A选项结论判断其余选项即可． 解：四边形是菱形， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， ，A选项正确； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，B选项错误； 若，则，即，题目中没有说明，无法推出，C选项错误； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，D选项错误； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质好平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解． 解：菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分， 故菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直， 故选： C． 【题型二】菱形的判定 【知识储备2】菱形的判定方法 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 【例题2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件． ①②，． ③，，，④ 其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（   ）    A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】题目主要考查菱形和矩形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键． 根据菱形的判定依次判断即可． 解：①∵， ∴四边形是菱形，符合题意； ②，，无法得出四边形是菱形，不符合题意； ③，，， ∴四边形是菱形，符合题意； ④， ∴四边形是矩形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·河南商丘·二模）在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，再证明，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此可得答案． 解：证明：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故选：B． 【题型三】矩形的性质 【知识储备3】矩形的性质 （1）边：对边平行且相等. 即, （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线相等且互相平分， 即 （4） 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 【例题3】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）下列关于矩形的说法，正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角 C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直 【答案】D 解：此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可．掌握矩形的性质是解题的关键． 【分析】A．矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意； B．矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意； C．当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意； D．矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，还考查了互余关系；由矩形性质知，则有；再由，得；由及，得，从而可判定选项A、B、D正确，选项C错误； 解：∵四边形为矩形， ∴，，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 即选项A、B、D正确， 当或是等边三角形时，有，否则不相等； 故选项C错误； 故选：C． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 【题型四】矩形的判定 【知识储备4】矩形的判定方法 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 【例题4】（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可． 解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（　　） A．对角线相等且互相平分的四边形 B．有一组邻角相等的平行四边形 C．对角线相等且垂直的四边形 D．有一组对角互补的平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据矩形的判定定理分别进行分析判断即可． 解：A、对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故此选项不符合题意； B、有一组邻角相等的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意； C、对角线相等且垂直的四边形不能判定四边形为矩形，故此选项符合题意； D、有一组对角互补的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定．注意矩形判定定理理解． 根据点的坐标特征即可判断的形状． 解：根据题意，因为、两点横坐标相等，、两点横坐标相等， 所以，轴，轴． ∴． 同理，， ∴四边形是平行四边形； 因为轴，轴 ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【变式3】（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 【题型五】正方形的性质 【知识储备5】正方形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）. 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 【例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正方形和菱形的性质逐项判断即可． 解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意； B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意； C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024·北京·模拟预测）下列陈述中错误的数量为（    ） 陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心 陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴 陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的周长和面积 陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质．熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质判断作答即可． 解：由题意知，正方形的每一条对称轴都过它的对称中心，陈述一正确，故不符合要求； 正方形的对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴，陈述二错误，故符合要求； 有无数条直线同时平分正方形的周长和面积，陈述三错误，故符合要求； 任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形，陈述四正确，故不符合要求； 故选：B． 【变式2】．（23-24八年级下·全国·单元测试）正方形具有而菱形和矩形都不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分 D．对角线垂直且相等 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，菱形及矩形的性质，根据正方形，菱形，矩形的性质逐一判断即可． 解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； 矩形的性质有：矩形的四个角度数直角，矩形的对边相等且互相平行，矩形对角线相等且互相平分； 故A、B、C选项都不符合题意，只有D选项符合题意； 故选：D． 【题型六】正方形的判定 【知识储备6】正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 【例题6】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·北京房山·期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 解：A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； D. 先判定四边形的对角线互相平分且相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直，故该选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定定理进行解答即可． 解：A、，四边形是菱形，不一定是正方形，故不符合题意； B、，四边形是矩形，不一定是正方形，故不符合题意； C、，，四边形是正方形，故不符合题意； D、，，四边形不是正方形，故符合题意； 故选：C． 【综合进阶篇】 【题型七】菱形、矩形、正方形性质与判定综合 【知识储备7】菱形、矩形、正方形性质与判定之间关系 【例题7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列命题中，是真命题的为（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性． 根据特殊四边形的判定定理逐一分析选项，排除错误选项，确定正确答案． 解：A． 一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题． B． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，需对角线相等才是矩形，选项缺少“对角线相等”条件，故为假命题． C． 菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足一组对边相等和对角线垂直，无法保证是菱形，故为假命题． D． 三个角为直角说明四边形是矩形，而矩形对角线互相垂直时必为正方形，故为真命题． 故选：D． 【变式1】（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的性质判断． 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误； B、矩形的对角线不一定互相垂直，本选项说法错误； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，本选项说法错误； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法正确； 故选：D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【变式3】（24-25八年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，，．如果、分别是、上的点，且经过中点，，是对角线上的点．下列判断正确的有 ．（填序号） ①在上存在无数组、，使得四边形是平行四边形； ②在上存在无数组、，使得四边形是矩形； ③在上存在无数组、，使得四边形是菱形； ④当时，存在，使得四边形是正方形． 【答案】①②③④ 【分析】如图，矩形中，为对角线的交点，由中心对称性证明：，所以当时，四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，当，四边形是菱形，再利用正方形的性质求解，从而可得答案. 解：如图，矩形，为对角线的交点， 由中心对称性可得：， 当时，四边形是平行四边形， 上存在无数组G、H，使得四边形是平行四边形；故①符合题意； 当时， 四边形是矩形，而不是定值， 在上存在无数组G、H，使得四边形是矩形；故②符合题意； 当四边形是菱形， 在上存在无数组G、H，使得四边形是菱形，故③符合题意； 如图，当四边形是正方形时， 由矩形可得： 当时，存在E、F、G，H，使得四边形是正方形，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，掌握“特殊四边形的判定与性质”是解本题的关键. 【题型八】菱形、矩形、正方形与中点四边形综合 【例题8】（24-25八年级下·广东广州·期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形． 解：如图，连接、， ∵E、F、G、H分别是矩形的、、、边上的中点， ∴，（三角形的中位线等于第三边的一半）， ∵矩形的对角线， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键． 由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 解：根据题意画出图形如下： 与的位置关系是互相垂直． 证明：点E、F、H、G分别是、、、的中点， 连接，，，，与交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴E、H、分别是、的中点， ∴， 又∵点E、H分别是、各边的中点， ∴， 即． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 【变式3】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 【题型九】菱形、矩形、正方形几何变换综合 【例题9】（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定、等边三角形的判定，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据每个选项的情况作图，再结合折叠的性质，得出对应边相等、运用数形结合思想进行分析，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴ 故， ∴， ∴四边形为菱形， 故A选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿过点的直线折叠使得点落在上的点处， ∴， 即， ∴为等边三角形， 故B选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故C选项不符合题意； 连接，如图所示： ∵折叠， ∴， ∵ ∴是直角三角形， 由于不能得出与之间的关系，故得不出为等腰直角三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024·吉林·模拟预测）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③五边形的周长是44； ④的面积是60． 下列结论正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积． 解：由折叠可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可得，， ，故②符合题意； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， ∴，故①错误，不符合题意； 五边形的周长是：，故③符合题意； 的面积是：，故④符合题意； 故答案为：②③④ 【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点． 【变式2】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C不正确，符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：C 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再沿折叠，使点落在上的点处．下列结论：①；②；②；④．其中正确结论是 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】①根据正方形性质得出，，根据折叠得出垂直平分，，即可证明判定①正确； ②证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形得出，求出，即可判断②正确； ③根据折叠得出，，根据直角三角形性质得出，即可判断③错误； ④先求出，根据直角三角形性质得出，即可判断④正确． 解：①∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知，垂直平分，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③根据折叠可知，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴，故③错误； ④∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$