精品解析：甘肃省张掖市第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2025年春学期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ） A. 18° B. 24° C. 30° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36° ∴∠C＝72° ∵BD是AC边上的高 ∴∠DBC＝180°-90°-72°＝18° 故选A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2. 如图，在等边中，交于点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可知D为BC的中点，可求得BC，然后求得AC． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC =BC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2BD=4， ∴AC=BC=4， 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线，这三条线段是同一条线段是解题的关键． 3. 如图，是的平分线上一点，于点，于点下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明，即可得到，，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵是的平分线上一点，于点，于点 ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、B、C三个选项结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 4. 已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“ ”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，据此来判断即可． 【详解】解：①是等式； ②符合不等式的定义； ③是多项式； ④符合不等式的定义； ⑤符合不等式的定义； 不等式共有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式． 5. 如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A. a-3＜b-3 B. 3-a＞3-b C. D. -3a＞-3b 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误； B、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误； C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故本选项正确； D、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变．故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 下列不等式组无解的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解各个选项的不等式组即可. 【详解】解：A.解两个不等式分别得到x＜2，x＜－1，则不等式组的解集是x＜－1，故选项错误； B．解两个不等式分别得到x＜1，x＞－2，则不等式组的解集是－2＜x＜1，故选项错误； C．解两个不等式分别得到x＞－1，x＞2，则不等式组的解集是x＞2，故选项错误； D．解两个不等式分别得到x＜－1，x＞2，则不等式组无解，故选项正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组解的概念，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 7. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误，不符合题意； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握三角形全等的判定有、、、、，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等． 8. 下列图案中，含有旋转变换的有( ) ． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案，进而判断得出即可． 【详解】根据旋转的含义可知：选项中给出的4个图都可以通过旋转得到， 其中第2个图形也可以通过轴对称得到，第3个也可以利用平移得到， 故选A． 【点睛】本题是考查运用旋转设计图案，熟练掌握旋转图形的特点得出是解题关键． 9. 在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（ ） A. 绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B. 绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C. 绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D. 绕点顺时针旋转，再向右平移7格 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是几何变换的旋转和平移，熟知图形旋转变换及平移变换的性质是解答此题的关键．先判断出的度数，再进行解答即可． 【详解】解：∵小树经过正方形的顶点、， ∴， ∴小树从位置经过旋转平移后到位置时应绕点逆时针旋转，再向右平移7格． 故选：B． 10. 若不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集口诀：大大小小没有解得出k的取值范围即可． 【详解】解：原不等式组为， ∵不等式组无解， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知点A（﹣2，3），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是_____． 【答案】（﹣4，6） 【解析】 【分析】根据坐标系下点的平移规律：左减右加，上加下减进行计算即可． 【详解】解：原来点的横坐标是﹣2，纵坐标是3，向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是﹣2﹣2＝﹣4，纵坐标为3+3＝6，即为（﹣4，6）． 故答案为：（﹣4，6） 【点睛】本题考查平面直角坐标系下的平移，熟记点的平移规律是解题的关键． 12. 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】“全等三角形的对应边相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，因而逆命题是：对应边相等的三角形全等．是一个真命题． 故答案是：真 【点睛】考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 14. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，先根据或为腰求出三角形的三边，再根据三角形三边关系判断是不是三角形，最后求周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴当以为腰时，三角形三边为，，，此时，不构成三角形； 当以为腰时，三角形三边为，，，此时构成三角形，周长为． 故答案为： 15. 已知函数，要使，那么应取______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答． 【详解】解：当时，， 解得：， 要使，那么的取值范围为． 故答案为：． 16. 观察下列各式：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，…，10×12＝112﹣1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：_____． 【答案】n（n+2）＝（n+1）2﹣1． 【解析】 【分析】分析题干中的式子：对于数n乘以n+2正好等于（n+1）的平方减去1，则猜测： n（n+2）＝（n+1）2﹣1． 【详解】解：观察题干所给的式子，用n表示一个数，则题中的式子可以用：n（n+2）＝（n+1）2﹣1表示． 故答案为n（n+2）＝（n+1）2﹣1． 【点睛】对于此类找规律的题应观察哪些数在变化，然后找出变换的规律． 三、作图题（不写作法，保留作图痕迹，10分） 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； （3）求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标原点成中心对称图形，旋转画图，求三角形的面积，解题的关键是掌握基本知识和割补法求面积． （1）根据中心对称的性质找到对应点，并依次连接； （2）根据旋转的性质找到对应点，并依次连接； （3）利用割补法求三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 四、解答题（本大题共9小题，共86分） 18. 解下列不等式： （1） （2）解不等式并把解集表示在数轴上 【答案】（1） （2）， 在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）利用解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）利用解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得：， 移项，合并得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并得：， 系数化为1，得：， 19. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的所有整数解. 【答案】，数轴上表示略，不等式组的所有整数解为-1,0,1,2 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可． 【详解】解：由①得：, 由②得：，解得：， 解集为：. 不等式组的所有整数解为-1,0,1,2. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；＜”，“＞”要用空心圆点表示． 21. 计算下列各式的值，其中， （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的应用是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法因式分解得，再将，代入求解即可； （2）利用完全平方公式的变形得，再将，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵，， ∴原式； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴原式． 22. 已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】 等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定． 根据完全平方公式，将等式转化为非负数的和，再根据等边三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】略 23. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接AD，根据垂直平分线的性质可得BD＝AD，进而得到∠DAC的度数和DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可. 【详解】解：如图，连接AD， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝4， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∵DC＝AD＝2， ∴AC＝. 故答案是. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及三角函数，求出∠DAC的大小是解题的关键. 24. 已知：如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵∥， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】根据等角对等边即可证明． 【详解】略 25. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 【答案】 （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°． ∵在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）． （2）BD=2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可． （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1， ∴DC=DE=1． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°． ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 26. 某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为元，其销售方案有如下两种： 方案一：若直接给本厂设在武汉的门市部销售，则每千克售价为元，但门市部每月需上缴有关费用元； 方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克元； 若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品； 设该厂每月的销售量为．你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？ 【答案】当时，选择方案一的利润大；当时，两个方案的利润一样大；当时，方案二的利润大 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解决此类问题的关键是要善于分析并确定问题中的数量关系，然后根据数量关系求出函数关系式．设该厂每月利润为元，先根据题意得出两种方案关于的函数关系式，然后讨论，和三种情况下利润最大的的取值范围． 【详解】解：设该厂每月利润为元，由题意得： 方案一：，即； 方案二：，即， 当方案一获得利润大时，即，得， 解得； 当两个方案获得利润一样大时，即，得， 解得； 当方案二获得利润大时，即，得， 解得； 即当时，选择方案一的利润大；当时，两个方案的利润一样大；当时，方案二的利润大． 27. 如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）求证：AC＝BD； （2）求∠AEB的大小； （3）如图（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 【答案】（1） 如图1，∵△ODC和△OAB都是等边三角形，∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠BOD＝∠AOC＝120°， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD； （2）60° （3）60° 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形线相等及角相等求三角形全等． （2）通过第一问的全等得到角度等量关系，等量代换得到答案． （3）通过△AOC≌△BOD证明∠CAO＝∠DBO，再结合等量代换得到∠AEB大小不随旋转而变化，永远为60°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠1＝∠2， 【小问3详解】 ∴∠AEB＝∠AOB＝60°； 如图2，∵△ODC和△OAB都是等边三角形， ∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中 ∴△AOC≌△BOD（SAS）； ∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠1＝∠2， ∴∠AEB＝∠AOB＝60°． 【点睛】本题考查三角形全等中的手拉手模型判定三角形全等及其相应的结论证明，能够熟练运用条件判定三角形全等并运用三角形全等的性质得到角度的关系是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ） A. 18° B. 24° C. 30° D. 36° 2. 如图，在等边中，交于点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 3. 如图，是的平分线上一点，于点，于点下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A. a-3＜b-3 B. 3-a＞3-b C. D. -3a＞-3b 6. 下列不等式组无解的是(　　) A. B. C. D. 7. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 8. 下列图案中，含有旋转变换的有( ) ． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（ ） A. 绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B. 绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C. 绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D. 绕点顺时针旋转，再向右平移7格 10. 若不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知点A（﹣2，3），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是_____． 12. 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 13. 分解因式：a3－a=___________ 14. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为______． 15. 已知函数，要使，那么应取______． 16. 观察下列各式：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，…，10×12＝112﹣1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：_____． 三、作图题（不写作法，保留作图痕迹，10分） 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； （3）求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 四、解答题（本大题共9小题，共86分） 18. 解下列不等式： （1） （2）解不等式并把解集表示在数轴上 19. 分解因式： （1） （2） 20. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的所有整数解. 21. 计算下列各式的值，其中， （1） （2） 22. 已知a，b，c为的三边，且满足，判断的形状，并说明理由． 23. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长． 24. 已知：如图，，，求证：是等腰三角形． 25. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 26. 某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为元，其销售方案有如下两种： 方案一：若直接给本厂设在武汉的门市部销售，则每千克售价为元，但门市部每月需上缴有关费用元； 方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克元； 若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品； 设该厂每月的销售量为．你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？ 27. 如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）求证：AC＝BD； （2）求∠AEB的大小； （3）如图（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $