1.5 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的判定）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.5 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 经历等腰三角形判定的探究过程，体验研究几何图形的基本过程． 掌握等腰三角形的判定定理，并能应用它们进行计算和证明，发展推理能力． 问题引入 我们知道，等腰三角形的两底角相等．反过来，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗？ ？ ？ 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：作△ABC 的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (AAS). ∴ AB＝AC． B C A D 还有其它证明方法吗？请你试一试. 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：作边BC的高线AD，则∠ADB＝∠ADC＝90°． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (AAS). ∴ AB＝AC． B C A D 新知归纳 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： A B C 在△ABC中， ∵∠B＝∠C ， ∴AB＝AC（等角对等边）. 符号语言： 讨论交流 等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？ 文字语言 图形语言 符号语言 等边对等角 等角对等边 ∴∠B＝∠C (等边对等角). A B C 在△ABC中， ∵AC＝AB (已知)， ∴AC＝AB(等角对等边). A B C 在△ABC中， ∵∠B＝∠C (已知)， 它们是互逆命题. 典例分析 例1 如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB＝AC. A B C D E 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC. ∴∠B＝∠C. ∴ AB＝AC（等角对等边）. 典例分析 变式1 如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？请证明你的结论. A B C D E 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵ AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C. ∴∠EAD＝∠DAC. ∴AD平分∠EAC. 条件和结论与上一题有什么变化？ 典例分析 变式2 如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？请证明你的结论. A B C D E 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠EAC＝∠B＋∠C， ∴∠B＝∠C＝∠EAC. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC＝∠EAC. ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC． 条件和结论与上一题有什么变化？ 典例分析 例2 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC． 求证：△ADE是等腰三角形． A B C D E 证明：∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∴∠ADE＝∠BAD. ∴ EA＝ED， ∴ △ADE是等腰三角形. 基本模型：角平分线+平行线 → 等腰三角形 典例分析 变式 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过O点，且MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N. 求证：MN＝BM＋CN. A N M C B O 证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠CBO. ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO. ∴∠MBO＝∠MOB. ∴BM＝OM. 同理CN＝ON. ∵MN＝OM＋ON. ∴MN＝BM＋CN. 探究思考 当△ABC分别满足下列条件时，试在其一边上找到一点P，使点P与△ABC的两个顶点构成等腰三角形. (1)等腰三角形； (2)直角三角形； (3)钝角三角形. P A B C (1) P C B A (3) P C B A (2) 解：如图所示，△BPC即为所求. 新知巩固 1. 如图，AC＝BC，∠B＝72°，AD平分∠BAC，请写出图中的等腰三角形. D A B C 解：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形． ∵AC＝BC，∠B＝72°， ∴∠BAC＝∠B＝72°， ∴∠C＝180°－(72°＋72°)＝36°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝36°. ∴∠CAD＝∠C. ∴AD＝CD， ∴△CAD为等腰三角形． ∵∠BDA＝∠C＋∠CAD＝72°， ∴∠BDA＝∠B， ∴AB＝AD. ∴△BAD为等腰三角形. 新知巩固 变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有_____个． 5 A B C E D 新知巩固 2. 如图(1)，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠[图(2)]. 重叠部分的△ABC是等腰三角形吗？证明你的结论. A B A B (1) (2) 解：重叠部分的△ABC是等腰三角形. 因为图(1)中，长方形纸片的上、下两边平行， 所以∠1＝∠2. 因为沿线段AB折叠纸片，∠1、∠2是重叠部分的 △ABC的内角（如图(2)）. 所以依据“等角对等边”得AC＝BC. 所以△ABC是等腰三角形. 1 2 1 2 C 新知巩固 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由. A B C O E D 解：OB＝OC.理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB . ∵BD、CE是角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB . ∴∠OBC＝∠OCB . ∴OB＝OC . 新知巩固 4．已知：如图，在△ABC中，DE＝DF，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：△ABC是等腰三角形． D A B C F E 证明：∵ D是BC的中点， ∴ DB＝DC. ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）. ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 课堂小结 等腰三角形的判定 内容 基本模型 等角对等边 角平分线+平行线 → 等腰三角形 等腰三角形＋平行线 → 角平分线 感谢聆听！ $$