1.5 等腰三角形（第1课时 等腰三角形的性质）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.5 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 经历等腰三角形性质的探究过程，体验研究几何图形的基本过程． 掌握等腰三角形的性质定理，并能应用它们进行计算和证明，发展推理能力． 3. 会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形． 问题引入 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开． 得到的三角形有什么特征？ 新知探究 这个三角形有两条边相等，有两个角相等． 概念引入 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形(isosceles triangle)，相等的边叫作腰． A B C 腰 腰 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC． 新知探究 A B C D 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ 证明：作边BC的中线AD，则BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B＝∠C. 还有其它证明方法吗？请你试一试. 新知探究 A B C D 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ 证明：作边BC的高线AD， 则∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL). ∴ ∠B＝∠C. 新知探究 A B C D 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ 证明：作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD． 在△BAD和△CAD中， ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B＝∠C. 新知探究 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ B A C D 证明：如图，在△ABC中，AB＝AC，沿∠BAC 的平分线AD把△ABD翻折. ∵∠BAD＝∠CAD， ∴AB落在射线AC上． ∵AB＝AC， ∴点B与点C重合， 从而△ABD与△ACD重合. ∴∠B＝∠C. 也可以用等腰三角对称性证明. 概念引入 等腰三角形中两个相等的角叫作底角． A B C 底角 底角 新知归纳 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 等腰三角形的性质定理1： A B C 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C （等边对等角）. 符号语言： 新知探究 A B C D 由以上证明过程，你还有什么发现？ 由以上证明可得， △ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD是△ABC的角平分线. 由△ABD≌△ACD， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高. 新知归纳 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 (简称“三线合一”). 等腰三角形的性质定理2： 注意：应用“三线合一”的前提条件： 一是等腰三角形；二是三线中要具备一线. 归纳总结 在△ABC中，AB＝AC． (1)∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，且BD＝CD； (2)∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC； (3)∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，且AD⊥BC． A B C D 符号语言： 前提条件 三线中要具备一线 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC. A B C D ？ ？ 证明：∵AB＝AC，AD＝BD， ∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠B(等边对等角) ∴∠C＝∠BAD. ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB＝∠C＋∠CAD. ∴∠ADB＝∠BAD＋∠CAD. ∴∠ADB＝∠BAC. 典例分析 变式 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD＝BD，AB＝AC＝CD. 求∠BAC的度数. 解：设∠B＝x°. ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝x°. ∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝(2x)°. ∵DC＝AC， ∴∠DAC＝∠ADC＝(2x)°. ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝x°. ∵∠C＋∠DAC＋∠ADC＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180. ∴x＝36，即∠B＝36°. ∴∠BAC＝180°－36°－36°＝108°. A B C D 典例分析 例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； A C B E D 图① G 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE. 典例分析 例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. A F C B E D 图② 证明：(2)∵F为DE的中点， ∴DF＝EF. ∵BD＝CE， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC. 尝试交流 如图，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h. a h 作法： 1．作线段BC＝a． 2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D． 3．在MN上截取线段DA，使AD＝h． 4．连接AB、AC． △ABC就是所求作的等腰三角形． a M N A ● B ● ● C h ● D 新知巩固 1．在△ABC中，AB＝AC． (1)如果有一个角等于120°，那么∠A＝____°，∠B＝____°，∠C＝____°； (2)如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？ 120 30 30 解：如果有一个角等于50°，有以下两种情况： ①当∠A＝50°时，∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°． ②当∠B＝50°时，∠C＝∠B＝50°， ∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(50°＋50°)＝80°． 新知巩固 2．如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD＝DC， ∠BAC＝110°， (1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数； (2) 求证：AD⊥BC . (2) 证明：∵AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC． 1 2 解： (1) ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴∠1＝∠2＝∠BAC． ∵∠BAC＝110°， ∴∠1＝∠2＝55°． 新知巩固 3．如图，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD. 求证：AC⊥BD． C B A D 证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴点A、C在BD的垂直平分线上. ∴ AC垂直平分BD， ∴ AC⊥BD. 新知巩固 4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：DE＝DF． D A B C F E 证明：连接AD． ∵ AB＝AC，D是BC的中点， ∴ AD平分∠BAC． ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF. 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等. 课堂小结 等腰三角形 定义 性质 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的边叫作腰． 等边对等角 三线合一 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 利用全等证明. 利用轴对称性证明. 三线中要具备一线 感谢聆听！ $$