第2章 专题3 与圆有关的最值问题（教师用书）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

专题3__与圆有关的最值问题______________[对应学生用书第66页] 题型一　圆上动点到定点或定直线的距离的最值问题 1．(广东江门第二中学校考期中)已知点P(2，2)，点M是圆O：x2＋(y－1)2＝1上的动点，则|PM|的最大值是(　　) A．－1 B．3－ C．2－ D．＋1 解析　将P(2，2)代入O：x2＋(y－1)2＝1，得22＋(2－1)2>1，所以点P为圆外一点，易知圆心坐标O(0，1)，半径r＝1， 所以|PO|＝＝， 则|PM|的最大值＝|PO|＋r＝＋1. 答案　D 2．已知点A在直线l：3x－4y－6＝0上，点B在圆C：x2＋y2－2x－6y＋8＝0上，则|AB|的最小值是(　　) A．1 B．3－ C．3＋ D．5 解析　由题意可知，圆C的圆心C(1，3)，半径r＝. 则圆心C到直线l的距离d＝＝3， 故|AB|的最小值是d－r＝3－. 答案　B 3．(广东深圳高二校考期中)对任意实数m，直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，若动点P在圆C上，则点P到原点距离的最小值为________. 解析　直线x＋my－3m－4＝0，即x－4＋m(y－3)＝0， 故直线过定点(4，3)，该点到原点距离为5， 因为对任意实数m，直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，所以直线过圆的圆心，即圆心为定点(4，3)，且圆的直径为4， 故圆上动点P到原点距离的最小值为5－2＝3. 答案　3 题型二　圆的切线长最值问题 4．(广东东莞中学校考期末)已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，点P为直线l：x＋y＋4＝0上一个动点，过点P作圆C的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．2 D．2 解析　由已知可得C(2，2)，半径r＝2 ， 所以|AC|＝r＝2 . 又AC⊥AP，则在△PAC中有|PA|2＋|AC|2＝|PC|2，即|PA|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－8， 所以当|PC|最小时，|PA|最小． 因为当CP⊥l时，|PC|最小，此时|PC|＝＝4 ，此时|PA|2＝24， 所以|PA|最小为2 . 答案　B 5．(广东深圳中学校考期末)设P为直线l：x＋y＋1＝0上的动点，PA为圆C：(x－2)2＋y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， 则圆心坐标为C(2，0)，半径r＝1， 则△PAC的面积S＝|PA|·|AC|＝|PA|， ∴要使△PAC的面积最小，则|PA|最小，又|PA|＝＝， 即|PC|最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d＝＝， |PA|min＝＝， 即△PAC的面积的最小值为S＝×＝. 答案　C 6．(广东广州白云中学校考期中)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________. 解析　x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径r＝1， S四边形PACB＝2S△PCA＝|PA|×|CA|＝，即|PC|最小时，面积最小． |PC|min＝＝3, 故四边形PACB面积的最小值为＝2 . 答案　2 题型三　与圆的弦长有关的最值问题 7．(广东惠州统考模拟预测)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________. 解析　圆的方程x2＋y2－2x－6y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10， 则圆心为(1，3)，半径r＝，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即AC⊥BD，且|AC|＝2 ，圆心和E点之间的距离为1，故|BD|＝2 ＝6， 所以四边形 ABCD的面积为 S＝|AC|·|BD|＝×2 ×6＝6 . 答案　6 8．(吉林长春外国语学校校考期中)直线l过M(－1，1)且与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，当弦AB最长时，直线l的方程为________. 解析　因为弦AB是过M(－1，1)的圆C的最长弦，则直线l过圆心O(0，0)， 所以直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 答案　x＋y＝0 9．(广东深圳南头中学校考期中)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R). (1)证明：不论m取何实数，直线l与圆C恒相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程． 解　(1)证明　将直线l的方程变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，令解得 即直线l过定点(3，1).因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以点(3，1)在圆内部．所以不论m取何实数，直线l与圆C恒相交． (2)由(1)的结论知直线l过定点M(3，1)，且当直线l⊥CM时，圆心到直线l的距离最大，进而l被圆C所截的弦长|AB|最短，故|CM|＝＝， 此时|AB|＝2 ＝2 ＝4 ， 此时kAB＝－＝2，直线AB方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0. 题型四　与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 10．(内蒙古巴彦淖尔高二校考阶段练习)如果实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是________. 解析　令＝k，即y＝kx＋k＋1(x≠－1)， 的取值范围等价于求经过点 P(－1，1)和圆上的点的所有直线的斜率范围， 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正，且与圆相切；斜率取最小值时对应的直线斜率为负，且与圆相切． 因为圆心(1，1)到直线y＝kx＋k＋1(x≠－1)的距离 d＝＝，解得k＝±1，所以的取值范围为[－1，1]. 答案　[－1，1] 11．已知x2＋y2＋x＋y＝0，则x＋y的取值范围为________. 解析　将x2＋y2＋x＋y＝0化为＋＝，表示以为圆心，为半径的圆．令x＋y＝t，即x＋y－t＝0， 由题可知，直线和圆有公共点，所以≤ ，即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0. 即x＋y的取值范围为[－2，0]. 答案　[－2，0] 12．(广东广州高二统考期中)已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝4，则的取值范围为________. 解析　因为＝， 又实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝4， 所以点A(x，y)在以C(－2，3)为圆心，半径r＝2的圆上． 又(x－2)2＋y2表示圆上的点A(x，y)与定点B(2，0)的距离的平方， 因为|BC|＝＝5，所以|BC|－r≤|AB|≤|BC|＋r， 即3≤|AB|≤7，所以9≤(x－2)2＋y2≤49， 所以5≤(x－2)2＋y2－4≤45， 所以≤≤3 ，即∈[，3 ]. 答案　[，3 ] 题型五　与对称性有关的最值问题 13．(广东高二统考阶段练习)已知直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋my－2m＝0相交于点P，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0交y轴正半轴于点M，若N是圆C上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值是(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析　C：x2＋y2－4x－2y＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝5，圆心为C(2，1)，半径为r＝，则圆C交y轴正半轴于M(0，2)， 由直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋my－2m＝0相交于点P，l2过定点(0，2)，l1不过(0，2)，所以P为l1上任意动点． 设M关于直线l1：x＋y＋2＝0的对称点Q(a，b)， 则解得∴Q(－4，－2)， ∴|PM|＋|PN|＝|PQ|＋|PN|. 由圆的几何性质知，当Q，P，N，C共线时， |PQ|＋|PN|取最小值， 即|QC|－r＝－＝2 . 答案　B 14．(广东深圳高二红岭中学校考期中)已知点M(－2，3)，P是y轴上的动点，N是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　) A．－3 B．＋3 C．3－ D．3＋ 解析　因为M(－2，3)关于y轴的对称点为M′(2，3)，则|PM|＝|PM′|，所以|PN|－|PM|＝|PN|－|PM′|≤|NM′|，当且仅当P，M′，N三点共线(且M′在P与N之间)时取等号． 由圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9可知圆心为C(3，4)，半径r＝3. 因为|M′C|＝＝， 所以|NM′|＝＋3，即|PN|－|PM|的最大值为3＋. 答案　D 15．(广东清远高二校联考期中)已知圆x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________. 解析　根据题意画出圆x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图， 作B关于x轴的对称点B′，连接圆心与B′，则与圆的交点为A，|AB′|即为|AP|＋|BP|的最小值， |AB′|为点(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径， 即|AB′|＝－1＝2 －1. 答案　2 －1 学科网（北京）股份有限公司 $$