第二章 函数（举一反三综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

第二章 函数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 5．（5分）（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 8．（5分）（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（2025·山东泰安·模拟预测）函数对于任意的，满足，且，则（    ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 13．（5分）（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 14．（5分）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 16．（15分）（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 17．（15分）（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 18．（17分）（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 19．（17分）（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【解答过程】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A. 2．（5分）（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【解答过程】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 3．（5分）（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 4．（5分）（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C 【解题思路】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【解答过程】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 5．（5分）（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 6．（5分）（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【解答过程】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 7．（5分）（2025·河北邢台·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【答案】D 【解题思路】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 【解答过程】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D. 8．（5分）（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【解答过程】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【解答过程】对于A，，因，则，故A正确； 对于B，由，，可得，则，故，故B正确； 对于C，由B项可得，则，故C错误； 对于D，因，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【解答过程】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（2025·山东泰安·模拟预测）函数对于任意的，满足，且，则（    ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 【答案】BCD 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【解答过程】由题知， 对于选项A：令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以函数为奇函数，故选项A不正确； 对于选项B：令，，即， ，所以周期为，故选项B正确； 对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确； 对于选项D：令，得，即， 令，得，所以， 所以， 故，故选项D正确.    故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【答案】 【解题思路】利用对数的运算法则计算即可求解. 【解答过程】依题意，，故. 故答案为：. 13．（5分）（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【解答过程】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为：. 14．（5分）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【解答过程】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【解答过程】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 16．（15分）（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 17．（15分）（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【解答过程】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 18．（17分）（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 19．（17分）（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$