第四章 三角函数与解三角形（举一反三综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

第四章 三角函数与解三角形（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解答过程】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 2．（5分）（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理，由角化边，得到，再根据余弦定理求出. 【解答过程】根据已知条件，得， ， ， , 故选：C. 3．（5分）（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【解答过程】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B. 4．（5分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【解答过程】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 5．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先代入，求出，从而，再代入，求出点N的纵坐标. 【解答过程】由题意得，即， 所以， 因为，所以， 故，解得， 所以， 将代入得，， 故， 所以点N的纵坐标为. 故选：D. 6．（5分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性. 【解答过程】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于 对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 7．（5分）（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角形面积得到，在中，由余弦定理得，因为平分，利用三角形面积公式得到. 【解答过程】因为的面积为，，， 所以，解得.    在中，由余弦定理得 ， 解得. 因为平分，所以. 故选：A. 8．（5分）（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【答案】C 【解题思路】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D. 【解答过程】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误； 对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 【答案】AD 【解题思路】利用三角函数定义即可判断A；判断所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角和差的正余弦公式，即可判断CD. 【解答过程】由题意可得， A正确； 由于，故可在第一象限或第三象限， 在第一象限时，，则在第二象限， 在第三象限时，，则在第四象限， 即β终边在第二象限或第四象限，B错误； 由于，在第一象限时，， 此时在第二象限，，则， 故； ； 在第三象限时，， 此时在第四象限，，则， 故， ，C错误，D正确； 故选：AD. 10．（6分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．函数的一个对称中心为 C．函数在区间单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABC 【解题思路】由三角恒等变换化简得，逐项验证即可判断. 【解答过程】由题意有， 对于A：的最小值为，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：由可得，由在单调递减，故C正确； 对于D：由的图象向左平移个单位得到， 显然与不是同一函数，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 【答案】AB 【解题思路】由余弦定理得，得到是钝角三角形，可判定A正确；由余弦定理，列出方程，求得，可判定B正确；由余弦定理和基本不等式，求得，得到面积的最大值，可判定C错误；设边上的中线为，则，结合向量的运算法则，求得边上的中线长，可判定D错误. 【解答过程】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则 ． 【答案】 【解题思路】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用二倍角的正弦公式即可. 【解答过程】若角的终边经过点，则，，. 故答案为：. 13．（5分）（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 . 【答案】5 【解题思路】令，得到，并求出，数形结合得到，求出答案. 【解答过程】令，即，当时，， 因为，故或，其中， 从小到大，设函数零点分别为， 则有，，， ，， 由题意知，解得，故正整数. 故答案为：5. 14．（5分）（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由题意得，结合正弦定理得，根据是锐角三角形求出的取值范围，通过换元法即可求解. 【解答过程】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）应用平方关系、商数关系分别求出和； （2）应用差角的余弦公式求值即可. 【解答过程】（1）由，α是第三象限角，则， 所以； （2）. 16．（15分）（2025·湖北武汉·三模）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析； (2). 【解题思路】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象； （2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得. 【解答过程】（1）（ⅰ）由表格，，，； （ⅱ）五点法画出函数图象如下， （2）当时，， 当在取得最小值时，，解得， 当在取得最小值时，，解得， 当分别在取得最小值时，，解得， 综上：的取值范围为. 17．（15分）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为：； (2)最大值为，最小值为0． 【解题思路】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． 【解答过程】（1） ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． （2）当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 18．（17分）（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【解答过程】（1）由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. （2）因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 19．（17分）（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)2 【解题思路】（1）将代入解析式，求出，并求出，数形结合得到不等式，求出的取值范围； （2）在（1）基础上，得到，求出平移后的解析式，得到，结合求出最大值. 【解答过程】（1）将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； （2）是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 7．（5分）（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 10．（6分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．函数的一个对称中心为 C．函数在区间单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．（6分）（2025·河北邢台·三模）的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则 ． 13．（5分）（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 . 14．（5分）（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 16．（15分）（2025·湖北武汉·三模）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 17．（15分）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 18．（17分）（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 19．（17分）（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$