专题2.7 函数与方程（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.7 函数与方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数零点所在区间的判断】 2 【题型2 求函数的零点或零点个数】 3 【题型3 根据函数零点个数求参数】 3 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 3 【题型5 求零点的和】 4 【题型6 复合函数的零点问题】 4 【题型7 用二分法求方程的近似解】 5 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 6 1、函数与方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第21题，18分 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（2025·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3 根据函数零点个数求参数】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【题型5 求零点的和】 【例5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【变式5-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【变式5-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【题型6 复合函数的零点问题】 【例6】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【变式8-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 3．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 7．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 8．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 三、填空题 12．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 14．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 16．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 17．（2025·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 19．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 函数与方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数零点所在区间的判断】 2 【题型2 求函数的零点或零点个数】 4 【题型3 根据函数零点个数求参数】 6 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 9 【题型5 求零点的和】 11 【题型6 复合函数的零点问题】 14 【题型7 用二分法求方程的近似解】 17 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 19 1、函数与方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2025年天津卷：第7题，5分 2025年上海卷：第21题，18分 函数的零点问题是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 【变式1-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误. 【解答过程】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增. 对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确； 对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【解答过程】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C. 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（2025·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】令，解出即可. 【解答过程】因为， 令，解得， 即函数的零点为1. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】当时，将函数的零点个数转化为函数与函数，在上的交点个数，利用数形结合即得；当时，解方程，即得. 【解答过程】当时，， 则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数， 作出两个函数的图象如下图所示， 由图可知，当时，函数的零点有两个， 当时，，可得或(舍去) 即当时，函数的零点有一个； 综上，函数的零点有三个. 故选：C. 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【解题思路】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解答过程】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【解答过程】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 【题型3 根据函数零点个数求参数】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【解答过程】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C. 【变式3-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【解答过程】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令， 则即解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B. 【变式3-2】（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【解答过程】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数零点的意义，将问题转化为曲线与曲线有三个交点，作出函数图象，数形结合求解. 【解答过程】令，得， 依题意，曲线与曲线有三个交点，如图， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不符合题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【解答过程】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【解答过程】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【变式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【解答过程】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【题型5 求零点的和】 【例5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【解答过程】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 【变式5-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【解答过程】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A. 【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【解答过程】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 【变式5-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【解答过程】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B. 【题型6 复合函数的零点问题】 【例6】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【解答过程】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【变式6-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】画出函数，的图象，数形结合对分类讨论可得结果. 【解答过程】画出函数，的图象，的零点个数即为方程的根的个数，设，则， （1）当时，无实数根，则无实数根； （2）当时，有两个实数根，其中，，有一个实数根，无实数根，所以共有1个实数根； （3）当时，有三个实数根，，，其中，，，有一个实数根，有一个实数根，无实数根，所以共有2个实数根； （4）当时，有四个实数根，，，，其中，，，，有一个实数根，有一个实数根，有两个实数根，无实数根，所以共有4个实数根； （5）当时，有两个实数根，，其中，，有一个实数根，有一个实数根，所以共有两个实数根； （6）当时，无实数根，则无实数根；综上所述，实数的取值范围为. 故选：B． 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【解答过程】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，用二分法进行求解即可. 【解答过程】由题意可知，对于函数在区间上，有， 所以函数在上有零点．取区间的中点． 因为计算得，所以函数在上有零点，故． 故选：A. 【变式7-2】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解题思路】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【解答过程】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解题思路】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【解答过程】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【解答过程】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 【变式8-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）由函数的零点转化为方程的根，设，利用数形结合法求解； （2）先根据有两个零点和有两个零点，得到，然后由，，利用对数运算构造求解. 【解答过程】（1）解：函数的零点即方程的根， 设， 则函数的零点个数转化为方程根的个数. ， 显然在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. （2）由（1）知有两个零点，则， 有两个零点，则有两个根， 令，则有两个不同的交点， 如图所示： 则，综合可得. 结合（1）即，可知，即. 同理可求得， 所以， ， 当且仅当即取等号，所以. 因此的取值范围为. 【变式8-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）若时，，对其求导得，设，求导得，求其单调性再判断的单调性； （2）（ⅰ）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （ⅱ）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【解答过程】（1）若时，，求导得， 设，求导得， 令，解得， 当时，，则即单调递减； 当时，，则即单调递增； 所以在处取得最小值， 因为，所以， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）（ⅰ）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，. 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （ⅱ）由（ⅰ）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， ， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以， 即，故， 即，所以. 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在性定理即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间是． 故选：C. 2．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【解题思路】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【解答过程】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若 ，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若 ，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【解答过程】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 5．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【解答过程】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 6．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【解题思路】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【解答过程】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 7．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 【答案】D 【解题思路】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，分类讨论即可得出结论. 【解答过程】由题意知，是函数的一个零点， 时，，可得， 令，得到函数图象 当时；；； 当时；；； 由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点， 对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误； 对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误； 对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误; 对于选项D，当时,有5个零点，D正确. 故选：D. 8．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】条件可转化为以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象，观察图象可得，，结合条件及对勾函数性质求的范围可得结论. 【解答过程】因为函数有四个零点，所以方程有四个根， 所以方程有四个根， 所以函数的图象与函数的图象有四个交点， 作函数的图象可得 观察图象可得，，且， 所以，所以， 所以，故， 令可得，，故， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D. 二、多选题 9．（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项. 【解答过程】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图. 根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误； 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故D正确； 当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确. 故选：ACD. 10．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【解题思路】求出零点判断AB；令，利用韦达定理确定方程根的范围，结合函数图象判断CD. 【解答过程】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC. 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【解题思路】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【解答过程】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【解题思路】令，得解出即可求解. 【解答过程】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【解题思路】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【解答过程】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 14．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【解答过程】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：.    四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【解答过程】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 16．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【解题思路】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【解答过程】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 17．（2025·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得. 【解答过程】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 19．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$