专题1.5 全等三角形的判定（二）（举一反三讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.5 全等三角形的判定（二）（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 数全等三角形的对数】 1 【题型2 全等三角形的动态问题】 3 【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 4 【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 5 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 7 【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】 8 【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】 9 【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】 11 【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】 12 【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】 13 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 数全等三角形的对数】 【例1】（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式1-1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】如图，点C，D分别在线段，上，与相交于点E，若，，则图中全等三角形的对数为（） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【变式1-3】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 全等三角形的动态问题】 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【变式2-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【变式3-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【变式3-3】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点． (1)求证：；； (2)若直线绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． (3)若直线绕点旋转到图（3）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【变式4-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【题型5 结合尺规作图的全等问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】 【例6】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 【变式6-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：． 【变式6-2】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______． 【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】 【例7】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【变式7-2】如图，在和中，，，如果的面积那么的面积为(    ) A. B. C. D. 【变式7-3】如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】 【例8】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【变式8-1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【变式8-2】如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么______ 【变式8-3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】 【例9】在四边形中，，，，为的中点，连接，，． ______；填“”“”或“” ______． 【变式9-1】如图，，，，连结、，试着判断与的关系，并证明你的结论． 【变式9-2】如图，中，平分，，若，，则的长为______． 【变式9-3】如图，已知，，分别平分，． 求：度数． 判断：、、之间关系，并证明． 【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】 【例10】如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式10-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是 ． 【变式10-2】如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【变式10-3】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全等三角形的判定（二）（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 数全等三角形的对数】 1 【题型2 全等三角形的动态问题】 6 【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 11 【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 17 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 23 【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】 28 【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】 32 【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】 36 【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】 43 【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】 47 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 数全等三角形的对数】 【例1】（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 【变式1-1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由为：由AB与DE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由AF=DC，两边都加上FC，得到AC=DF，利用SAS可得证；△ABF≌△DEC，理由为：由AB与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，由已知两对边相等，利用SAS可得证；△BCF≌△EFC，理由为：由全等三角形对应边相等得到FB=EC，CB=EF，再由FC为公共边，利用SSS即可得证． 【详解】解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC． △ABC≌△DEF，理由为： ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝DC， ∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； △ABF≌△DEC，理由为： 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）； ∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC， ∴BC＝EF，BF＝EC， 在△BCF和△EFC中， ， ∴△BCF≌△EFC（SSS）． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形判定全等的方法）． 【变式1-2】如图，点C，D分别在线段，上，与相交于点E，若，，则图中全等三角形的对数为（） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质依次证明图中三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故全等的三角形有4对， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1-3】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 【题型2 全等三角形的动态问题】 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【答案】2或或4． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可． 【详解】解：当点Q在上时，时，， ∴， ∴，解得：． 当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为2或或4． 故答案为：2或或4． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点在线段上运动时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 点在线段的延长线上时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上可知：点在运动过程中，和一直相等， 故选：． 【变式3-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明； （2）由可得，进而可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接． (1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论； (2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过“”证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）分两种情况：当点D是的延长线上的一点时，或当点D是线段上的一点时，由，则，由线段的和差即可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：或，理由如下： 当点D是的延长线上的一点时， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点D是线段上的一点时， 如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点． (1)求证：；； (2)若直线绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． (3)若直线绕点旋转到图（3）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 (3)结论： 【分析】本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． （3）结论是：当、在两侧时，；当、在同侧时，． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ②， ，； ， ． （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ； （3）解：结论是：当、在两侧时，； 理由：如图（1），由（1）②知：； 当、在同侧时，； 理由：如图（3），由（2）知：， ，； ， ． 【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3），，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定． （1）根据线段的和差关系即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，证明如下： ， 即：， 在和中， ， ， ； （3），，理由如下： 延长，分别交、于点、， 和都是等腰直角三角形， ，，， 即：， 在和中， ， ， ，， ， 即：． 【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 【变式4-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等边对等角，求出，进而得到的度数，再根据等边对等角进行求解即可； （2）利用证明，即可； （3）根据，得到，推出为等边三角形，进而推出，进而得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ， ． 在和中． ， ； （3）．理由如下： 由（2）知， ． ， ． ， ． 为等边三角形， ， ， ， ． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【答案】（1），；（2），，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由，，得出，由，得出； （2）证明≌，证出，，由三角形内角和定理得出，进而求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2），，理由如下： 延长交交于点．如图： ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，， ∵， ∴，即． 故答案为：，． 【题型5 结合尺规作图的全等问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式5-1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理； ∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【变式5-2】课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】 【例6】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【变式6-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：． 【答案】证明：连接，， 是的垂直平分线， ． 又，， ≌． ．  【解析】本题考查三角形全等判定“”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一． 连接，证得，进而证得≌，则可得证． 【变式6-2】如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【解答】 解：连接  等边三角形，  ，  ，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，  ，    故答案为． 【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】 【例7】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， 故选：． 【变式7-2】如图，在和中，，，如果的面积那么的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】解：作于，于，如图， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， 而， ． 故选：． 【变式7-3】如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    【答案】详见解析 【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， .    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】 【例8】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 【变式8-1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【变式8-2】如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么______ 【答案】  【分析】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．过点作的平行线，交的延长线于点，证得≌后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长． 【详解】 解：过点作的平行线，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ≌， ， 、都是等边三角形， ，即， ， ， 故答案为． 【变式8-3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】 【例9】在四边形中，，，，为的中点，连接，，． ______；填“”“”或“” ______． 【答案】    【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为：； 延长、交于点，如图所示： ， ， ，， 点为的中点， ， ≌， ，， ， ， ， ， ≌， ． 故答案为：． 【变式9-1】如图，，，，连结、，试着判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】解：，； ，，， 在与中， ≌， ； 延长交于，交于，则， ≌ ， ， ．  【变式9-2】如图，中，平分，，若，，则的长为______． 【答案】  【详解】解：延长、长于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】如图，已知，，分别平分，． 求：度数． 判断：、、之间关系，并证明． 【答案】解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； ， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ．  【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】 【例10】如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析； (3)结论不成立，结论：；证明见解析． 【分析】（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （）结论不成立，结论：．如图中，在上截取，使，连接，证明和即可求证； 本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在上截取，连接，可证，根据全等三角形对应边相等可得、，根据可证，根据等角对等边可知，所以可证． 【详解】解：如下图所示，在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式10-2】如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【答案】见解析 【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论． 【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC， ∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=20°， ∵BF=BC， ∴∠F=∠BCF=80°， ∴∠FCE=∠ACB=40°， 在BC上取CF′=CF，连接EF′， 在△FCE与△F′CE中，， ∴△FCE≌△F′CE（SAS）， ∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°， ∴∠BF′E=100°， ∴∠A=∠BF′E， 在△ABE与△F′BE中，， ∴△ABE≌△F′BE（AAS）， ∴AE=EF′， ∴AE=EF， ∴AE+BE=BE+EF=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【变式10-3】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$