江西省2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

绝密★启用前 g 江西省2024一2025下学期高一年级期末考试 高一数学试卷 议卷共4页，19小题，满分150分。考议用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第一章至第六章第五节。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答聚后，用船笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.复数z=i(2-i)的实部与虚部之和为 A.-1 B.1 C.2 D.3 2.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点D到平面ACA1的距离为 人9 B.3 C.32 3.已知某扇形工艺品的周长为150，圆心角为3，则该扇形工艺品的半径为 A.20 B.24 C.30 D.35 4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD=BC,E是边AB上的一点，且DE⊥AB.以A为坐标原点，AB为 x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图 A'BCD',且E在直观图对应的点为E,则下列说法中错误的是 A.C'D'=CD B.D'Ey'轴 C.DE-DE D.A'D'=B'C" 5.在平行四边形ABCD中，AM=3M元，DN=5W店.记A花=a,A=b,则M丽= A 5 5.7 4+12 c后a+2 D 5 402 高一数学第1页（共4页） 6.江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附屈建筑物，距今已有1000多年的历史， 是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级 数学实践小组为了测得其塔高，在A点测得塔底D位于北偏东60°方向上，塔顶C的仰角为30°， 在A的正东方向且距D点60米的B点测得塔底D位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平 面)，则塔的高度CD约为（参考数据：√6=2.45） B A.39米 B.46米 C.49米 D.52米 7在△MBcC中，A是锐角，且omB=2,则△ABC的形状-定为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 &已知函数x)=3sinx+2,若对于任意0e0,引，总存在6e[0,引，使0，)=3-28+p),则 p的值可能为 智 B弩 c. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题为真命题的有 A.球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B.现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线相交 D.若直线m上的三个点在平面a内，则mCa 10已知函数=)=4cos(aux+p,)(o>0),8(x)=m(x+n),le,l≤7，i=1,2若人)相邻两个零点 之间的距离为，直线x=石既是八x)图象的对称轴也是6()图象的对称轴八)的最大值与 g(x)的最小值之差为5，则 A.A=4 B.w=2 C,g(x)图象的对称轴都是(x)图象的对称轴 D.存在一点既是f八x)图象的对称中心也是g(x)图象的对称中心 高一数学第2页（共4页） 1l.如图，在四面体ABCD中，AD⊥BC,BD=DC,AD=BC=2,二面角A-BC-D的大小为，记BC的中 点为T,则 A.AB=AC B.AT·DT≤4 C.∠ACD可能为直角 D.当AD1平面ABC时，异面直线DB与Ar夹角的余弦值为2y厘 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知anac+tanB=-2tan(a+β)≠0，则tan atan B= 13.在长方形ABCD中，AB=6,BC=2,P,Q分别为BC,CD的中点，则A市.A0-A店.P= 14.在△ABC中，A=B+2C,AB+AC=1,则BC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算纱骤 15.（13分)已知向ta=(2,5),b=(1,x). (1)若x=2,求(a-b)·b的值； (2)若b在a上的投影数量为2,2，求￥的值 16.(15分)已知复数z,w是一元二次方程x2-2x+2=0的两个根，且在复平面内，z对应的点在0对 应的点的上方. (1)求0和z; (2)求z-2w|的值： 2025 (3)求) 在复平面内对应的点的坐标， 富一斯学笠3而（共4而】 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4 bcos A--2 acos B=c. (1)证明：A=B; (2)若c=3,且BC边上的中线长为区，求a 2 18.(17分)如图，在三棱台ABC-DEF中，AB<DE,△AEF是边长为2√5的等边三角形，且BF=√I5, AB⊥AD,AC⊥AD,∠BAC=120°. (I)证明：平面ADEB⊥平面EDF; (2)求AB的长； (3)求二面角A-EF-B的余弦值. 19.(17分)如图，曲线W:y=Acos wx(w>0)与y轴的交点为B,与x轴在y轴左、右侧的第一个交点 分别为C,D,△BCD的面积为1，M是BC的中点. (1)正明：A=2； (2)设成.成=号 (i)求函数y=Acos wx的最小正周期； (i)已知△BDM的外接圆与x轴交于N,D两点，且N在线段CD上，求BN的长.江西省2024一2025下学期高一年级期末考试 高一数学参考答案及评分细则 1.【答案D 【解析】由题意可得z=i(2-)=1+2i,故：的实部和虚部分别为1,2，其之和为3.故选D. 2.【答案】A 【解斩1取D的中点为点0，连接D0,易得D01平面4C4,故点D到平面4CA,的距离为D0:空枚选A 3.【答案】C 【解析】设该扇形工艺品的弧长和半径分别为1，r,由题易得1=3r,所以2r+3r=150,解得r=30.枚选C, 4【答案】D 【解析】在斜二测画法中，与x轴重合或平行的线段长度不变，所以CD=CD,故A正确：与y轴平行的线段依然 与y轴平行，长度为原来的，故B,C正确：在等腰梯形ABCD中，DE1AB,又因为D'E"轴，所以D'位于E"右 上方，又因为CD=CD,所以A'D'>BC,故D错误.故选D. 5.【答案】B 【解析1易得丽=丽+=-而其中不=而+成=而+名成而+名（丽-）=名*名而故丽： 6 6 名证名动：名故选品 6.【答案】C 【解折】由愿设，在△Am中，B0=60,∠=0，∠D=5,由正孩定理可得则A0 60,5米在△ADC中，LDAC=30°，期am∠DMC=C2=至 30 而子，放cD= =号x605=20,6=20x2.45=49米 故选C 7.【答案】B 【解析由题意可得cosB=(-nB)）,m整理得nCeos=csC-Cin B,移项得in Ceos B+Cin日 cmC,放n(B+C)=caC因为在△ABC中，A+B+C=,Ce(0,m),Ae0,引，所以in(B+C)=inA= cm受=sC,即受-A=C,赦B=受故选B 8【答案】D 【解析】由题意得当6e0,引时0，)e[2,5].令2≤3-2认a+p)≤5，解得sin(6+p)el,}故当 高一数学第1页（共6页） e0,引即6+pep时，需要满足n(0+p)可以取遍区间1，引中的每一个值当p=号时。 +pe停，，无法满起：当p=号时pe停，，无法满足：当e=g时，+pe[停哥，无法满 足当e=号时，8*p停，，可以取遍放选D, 9.【答案】D(每选对1个得3分) 【解析】易得球体是旋转体的一种，由球的定义可知球面上的点到球心的距离都相等，故A正确：如图，m∥， mna=A,则直线m,n可确定平而B,且anB=1,则A∈l,由于m,nCB,mnl=A,所以n也与直线1相交，设交点 为B,则B∈a,所以n∩a=B,故B错误：若一条直线平行于两个相交平面，由线而平行的性质定理可知这条直线 与这两个平面的交线平行，故C错误：根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直 线在这个平面内，即mCa,故D正确.枚选AD 10.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解析/八x)的最大值与g(x)的最小值之差为5，显然g(x)的最小值为-1，所以爪x)的最大值为4，故A=±4，故 A错误：记)的最小正周期为工因为八)相部两个学点之间的距离为宁所以子-亮受·解得。=2，故B 正确：因为直线云既是)图象的对称轴也是6)图象的对称轴，所以-号+，=e乙，石+=受 m,k3e乙，又≤受i=12,放e,=于=-于，故/)图象的对称轴方程为2x+号=m,ke乙，即x= T名π 名+空e乙g)图象的对将轴方程为x-号=受+6me2,即x名+6m=石+（化+），点e乙，所以 c图象的对特维都是)图象的对称轴故C正确：令2江号-受6e乙，解得吕空与e乙令 号女e工解得宁eZ由于不有在山使品空-子火成立放D错误放选C I1.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】因为T为BC的中点且BD=DC,所以DT⊥BC.因为AD⊥BC,AD,DTC平面ADT,ADODT=D,所以 BC⊥平面ADT,因为ATC平面ADT,所以BC⊥AT,因为T为BC的中点，所以AB=AG,故A正确：因为AT⊥BC, DT1BC,平面ABCn平面BDC=BC,所以LATD是二面角A-BC-D的平面角，则LAm=号，设AT=x,DT=y,由 余弦定理可得y2-2ycm号=+y2-y=02=4,所以广+y2=4+y≥2y,即y≤4，赦B正确：因为AC2+ CD=+y+2=6+>4=AD,所以LACD≠乏枚C错误；如图，取DC的中点M,连接AM,T,则AMT/BD,LMT1 高一数学第2页（共6页） AT 3 即为异面线D与灯所威的角，适过计第可得w:受：9，： 6,放cs∠W 2 32丽 6 D正确.故选ABD 12.【答案】3 【解析1由题可得na+anB=-2am(a+8)=-2.amam旦整理得tnB=3. 1-lan clanβ 13.【答案】38 【解析】以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平而直角坐标系（图略），则有A(0,0),B(6,0),P(6,1), Q(3,2),放市.0=(6,1)·(3,2)=20，A店.0=(6,0)·(-3,1)=-18，赦币.A0-.P=20+18=38 4【答案1号 【解折1由感意可得B=A:受在△48C中，由正弦定理科二 4C4B AB+AC sinin Bsin C=sin Bin C 肠TC mB+s加C,所以BC= 1 2 wc-aama号小 3C C 2tsin C 2a受m受由9=1m呈得m兰=4m号-w号代人c c0%2 —得BC= 3C cos 2 +sin C 1 号2号号4w32号-4r号2咖号 4cos C C C.令r=sin C 受e》则c= 4 C I 4+25」2了日成写n2时，8c取得最小值了 15.解：(1)若x=2,则b=(1,2).(2分) 故a-b=(1,3),(4分) 所以(a-b)·b=(1,3)·(1,2)=1×1+3x2=7.(6分) (2)因为b在a上的投影数量是日·b,(9分) 合：答2仙分 高一数学第3页（共6页） 解得x=0.(13分) 【评分细则】 如有其他解法，酌情给分 16解：(1)因为复数：，w是方程x2-2x+2=0的两个根， 所以由求根公式可得，2生。1，(4分) 2 因为：在复平面内对应的点在加对应的点的上方，所以：的虚部更大，(5分) 故：=1+i,地=1-i(7分) (2)由(1)可得z-2=-1+3i,(9分)】 故|-2l=√(-1)+3=√0.(11分) 设片可兽B 所以2=脑=i,(14分) 所以)在复平面内对拉的点的坐标为(0.1.(15分) 【评分细则】 第一问也可以设复数代入求解参数值从而确定两个复数根，答案正确均给分. 17.(1)证明：由正弦定理可得4 sin Beos A-2 in Acos8B=*inC,(2分) 又A,B,C为△ABC的内角，故inC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.(3分) 代人得4 sin Beas A-2 in Acos B=sin Acos B+cos Asin B,(4分) 即3 sin Beos A-3 sin Acos B=0,所以sin(B-A)=0,(5分） 又AE(0,m),B∈(0.m),则A=B.(6分) (2)解：解法一：不妨设AD为BC边上的中线，在△ABC中，osB=B+BC-AC 2AB·BC,(8分)】 3 化简得mB2a（10分) 在△MBD中，0sB=4B+BD-AD (11分)】 2AB·BD 94317 且BD=2BC=2AC,即csB 2(13分) 2号 代入解得a=4.(15分) 解法二：不妨设AD为BC边上的中线，在△ABC中，eB=AB+BC-AC (8分) 2AB·BC 3 化简得B=云(10分) 易得而=（应+记.(11分) 2 两边平方可得A0产=子B+MC+2AB.AC·msA).(2分) 云(13分) 3 又因为A=B,所以coA=cOsB= 高一数学第4页（共6页） 代人数据解得a=4.(15分) 【评分细则】 第二问用其他解法，的情给分 18.(1)证明：因为AB⊥AD,4C⊥AD,且ABDAC=A,AB,ACC平而ABC. 所以AD⊥平面ABC.(2分)】 又ABC-DEF为三梭台，故AD⊥平面DEF.(3分) 又因为ADC平面ADEB.所以平面ADEB⊥平面EDF.(4分) (2)解：由(1)可得平而ADEB⊥平面EDF,如图1，过点B作BG⊥DE,垂足为G,连接GF, 易得BG⊥平面EDF,又因为GFC平面EDF,故BG⊥GF,(5分) 易得△ADE≌△ADF,则DE=DF,∠AED=∠AFD,(6分) 由棱台性质可得△DEF与△ABC相似，则∠EDF=∠BAC=120°，又EF=23,枚DE=DF=2,(7分) 在△AED中，由勾股定理可得AD=√AE-DE=2反，又四边形ABGD为矩形，故BG=AD=22,(8分) 在△BGF中，由勾股定理可得GF=√BF-BC=√万.(9分) 在△DGF中，由余弦定理可得GF2=DG2+DF-2DG·DFeos120°，(10分) 即7=Dc2+4-2DG22】 ,解得DG=1或DG=-3(舍去)，枚AB=1.(11分) 图1 (3)解：如图2，取BC,EF的中点分别为点H,I,连接AH,A1,Ⅲ，易得Hl⊥EF,l⊥EF, 故∠H4即为二面角A-EF-B的平面角，BE=√(22)2+(2-1)=3，(13分) 2 =A=√22+T=3,(15分) 在△MHM中，由余弦定理可得es∠HA-+A-AF_门区 2HⅢ，A 99 故二面角A-EP-B的余弦值为7 92(17分) 4 图2 【评分细则】 若考生使用其他方法，只要答案正确、过程严谨合理均给分 高一数学第5页（共6页） 19.(1)证明：设函数y=Acos x的最小正周期为T, 因为CD分别方与：在y轴左右侧的第-个安点所以C0子积吕(2分》 因为B为P与y轴的交点，所以B(0,A),(3分) 因为△CD的面积为1，所以片·吕·A=1,整理得：号(4分) (20解：()知，09.元二， 因为M是Bc的中点，所以M品).5分) 故丽恶)成恶(6分) 所拟屁丽若兰0 装理到16宁学3=0分 所以管6学9到0.(o分) 帮得-号所以a受三(10分) 故T2=22.(1分) （)解：0知02.停-2分剂 所以DM= 4 .BD=/ 2,(13分) 由余弦定理，cOs∠BMD= BM+DM-BD65 2BW·DM 65,(15分) 因为N在△BDM的外接圆上，所以LBND=6 osLBAD=-√尽， 6S,i∠BWD=8V6区 652.(16分) BD 在△BDw中，由正弦定理，n2BNDm∠BDN又nLDN=足=25， BN 了，解得N3 80(17分) 2 【评分细则】 若考生使用其他方法，只要答案正确、过程严谨合理均给分 高一数学第6页（共6页）