精品解析：辽宁省锦州市实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年度下学期七年级期中调研 七年级 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力．运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别即可． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、不能合并，故错误，不合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等的两个三角形面积相等 C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 画一个三角形，它的三个内角的和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类；根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】A． 对顶角相等是几何定理，必然发生，属于必然事件，排除． B． 全等三角形对应边、角相等，面积必然相等，属于必然事件，排除． C． 两直线被第三条直线所截时，若未明确两直线平行，同位角可能相等（平行时）或不相等（不平行时），结果不确定，属于随机事件． D． 三角形内角和恒为，必然发生，属于必然事件，排除． 故选：C． 3. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了余角，和为的两个角互为余角，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴如果一个角的余角是，那么这个角的度数是， 故选：B． 4. 李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ） A. 小李 B. 小王 C. 小赵 D. 小张 【答案】C 【解析】 【分析】据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，即可进行正确选择． 【详解】解：选项A，因为5＋2＞5，所以能围成三角形； 选项B，因为3＋4＞5，所以能围成三角形； 选项C，因为3＋3＝6，所以不能围成三角形； 选项D，因为4＋4＞4，所以能围成三角形； 故选：C． 【点睛】验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可． 5. 在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用∠A，∠B，∠C的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解． 【详解】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C+2∠C+∠C=180°， ∴∠C=36°， ∴∠A=∠B=2∠C=72°， ∴△ABC为锐角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A，∠B，∠C的关系求出具体度数． 6. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 8. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 9. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得出的周长为10，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵，的周长为10， ∴的周长为10，， ∴的周长 的周长 ． 故选：C． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为10． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路线，，，，如图所示，其中最短的一条路线是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：四条线段，，，中垂线段是，则由垂线段最短可知：最短的一条路线是， 故答案为：． 13. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°， 所以黄区域所占的面积比例为， 即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是. 【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率． 14. 如图，已知，，分别为，，的中点，若的面积为24，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为24， ， 点D为的中点， ， 点F为的中点， ， 阴影部分面积为：， 故答案为：． 15. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，________度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8道题，共65分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4）简便运算：； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的运算运算，整式的混合运算，熟练掌握幂的运算以及乘法公式是解题的关键； （1）先算零次幂、负整数指数幂及化简绝对值，再算加减法即可； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）将变形成运用简便方法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可；灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为________（精确到）， （2）盒子里红球的数量为________个． （3）若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，求摸到的球是黑球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据概率公式求概率，根据概率求数量．大量反复试验下频率稳定值即概率； （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于，即可求解； （2）用球的总数乘以红球的概率，即可； （3）根据概率公式求解，即可． 【小问1详解】 解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为： 【小问2详解】 ； 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（1）知红球6个，黑球个， 先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，摸到的球是黑球的概率为 20. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 【答案】（1） 如图，即为所求作的角； （2） 证明：（已知） 在和中 【解析】 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践：有趣的“乘法运算”小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是________，后积是________； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）________=________； 【推理算法】 （3）第一个两位数的十位数字和个位数字分别是和，第二个两位数的十位数字和个位数字分别是和，且，请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22，36；（2），2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的乘法，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22，36； （2）． 故答案为：，2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么． 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴ ． 22. 【阅读材料】 在学习完全平方公式时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式：，如图（1），将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：________；由图3可得等式：________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则________； 【拓展应用】 （4）如图5，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）由图（3）可得，代入数据进行求解即可； （3）根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，可知的值，代入求解即可； （4）根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积， ∴； 由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． （2）由图（3）知：， ∴， ， 把，，代入得， ． 故答案为：155． （3）解：， 可以看成3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， ∴，，， ∴． 故答案为：． （4） 由∵ ∴ 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期七年级期中调研 七年级 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等的两个三角形面积相等 C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 画一个三角形，它的三个内角的和是 3. 如果一个角的余角是，那么这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ） A. 小李 B. 小王 C. 小赵 D. 小张 5. 在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状无法确定 6. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 8. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 9. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为________． 12. 春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路线，，，，如图所示，其中最短的一条路线是________． 13. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是_____． 14. 如图，已知，，分别为，，的中点，若的面积为24，则阴影部分的面积为________． 15. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，________度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 三、解答题（本大题共8道题，共65分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4）简便运算：； 17. 先化简，再求值：，其中 18. 补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 19. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为________（精确到）， （2）盒子里红球的数量为________个． （3）若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出个球，求摸到的球是黑球的概率． 20. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 21. 综合与实践：有趣的“乘法运算”小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是________，后积是________； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）________=________； 【推理算法】 （3）第一个两位数的十位数字和个位数字分别是和，第二个两位数的十位数字和个位数字分别是和，且，请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 22. 【阅读材料】 在学习完全平方公式时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式：，如图（1），将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：________；由图3可得等式：________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则________； 【拓展应用】 （4）如图5，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，求的长． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $