精品解析：湖北省咸宁市 崇阳县大集中学二分校2024—2025学年下学期八年级数学期中试题

2025春大集中学二分校八年级数学期中试题 一．选择题 1. 下列式子一定是二次根式的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；形如是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：A、的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确； B、时，不是二次根式，故B错误； C、是三次根式，故C错误； D、时，不是二次根式，故D错误； 故选：A． 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形； B、∵， ∴，故能构成直角三角形； C、∵， ∴，故能构成直角三角形； D、设，则， ∵， ∴，故不能构成直角三角形． 故选：D． 3. 如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据勾股定理找到线段之间的关系是求解的关键．如图，先证，又，，可根据证得≌，得到，有，由勾股定理可得：，从而求解． 【详解】解：如图， ∵、、都是正方形， ∴，； ∵， ∴， 在和中： ∴≌（）， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， 即 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交于点，连接，若平行四边形的周长为30，则的周长为（　　） A. 15 B. 23 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到点是中点，根据垂直平分线的性质得到，根据四边形周长求出，然后转换求解即可． 【详解】在平行四边形中，对角线、相交于点， ∴即点是中点， ∵， ∴ ∵平行四边形的周长为， 的周长： 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质；灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则逐项判断即可，熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长．先利用勾股定理，求出，进而求得，从而得到点表示的数． 【详解】解：，，， ， ， 点表示的数为1， 点表示数为． 故选：D． 7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x． 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 8. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵H是的中点， ∴， 由正方形的性质可得， ， 同理可得， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①；②；③；④正方形对角线：，其中正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC垂直平分EF可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC的长度证明④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图，连接AC，交EF于点G， ∵，， ∴AC是EF的垂直平分线， ∵， ∴， 同理， ∴，故③错误； ∵是边长为2的等边三角形，， ∵，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法． 10. 如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称求最值的方法成为解题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得、，如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点，则；进而得到当共线时，的周长最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点， ∴， ∴，， 由的周长为，则当共线时，的周长最小， ∵，， ∴． 故选A． 二．填空题 11. 已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 如图，在中，，，，分别是与AC的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，所对直角边是斜边的一半，直角三角形两锐角互余，由直角三角形两锐角互余得，又则，根据所对直角边是斜边的一半可得，由勾股定理可求得，最后根据中位线定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵分别是与的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 14. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 15. 如图，正方形边长为，点在边上，且，垂足分别为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合可得四边形为矩形、为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∵正方形边长为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握正方形的四个角都是直角，四条边均相等． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及二次根式的性质是解题的关键； （1）先化简二次根式，然后计算括号内的，合并同类二次根式，再根据二次根式的除法进行计算即可求解； （2）先化简二次根式，根据多项式乘多项式的方法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 李师傅将容量为的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为，请根据图象解答下列问题： （1）工厂与目的地之间的距离为_______； （2）求该货车在行驶时的速度； （3）当货车显示加油提醒后，行驶时间在什么范围内货车应进站加油？ 【答案】（1）； （2）； （3）至范围内 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是利用一次函数的图象和数形结合的思想解答． （1）函数图象与轴交点的纵坐标就是工厂与目的地之间的距离； （2）从图象上可以看出货车行驶共用了，利用路程除以时间求出货车行驶的速度； （3）油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒，可以求出从出发到显示加油所用的时间为，从出发到油箱中的油全部用完所用的时间为，从而可知货车应该在行驶后的至这一范围内进站加油． 【小问1详解】 解：从货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系图象中可知：当行驶时间为时，， 工厂与目的地之间的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题图可知，货车在行驶时的速度为； 【小问3详解】 解：当油箱中剩余油量为时，货车行驶了， 此时行驶的时间为：； 当油箱中剩余油量为时，货车行驶了， 此时行驶的时间为：． 综上所述，货车应该在行驶后的至这一范围内进站加油． 18. 如图，四边形纸片，．经测得，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 19. 已知直角三角形两边长，满足，求第三边的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及非负数的性质，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质进而得出，，再利用分类讨论及勾股定理即可得出结论．利用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ①当为斜边时， ②当不为斜边 ， ∴第三边的值是或． 20. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）13 （2）14 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，，然后将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、分母有理化、二次根式混合运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，DB，BF． （1）求证：． （2）若，证明：四边形DEBF是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，根据平行四边形的性质即可得到结论； （2）首先利用平行四边形的性质证明DFEB，DF＝EB，可得四边形DEBF是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得DE＝AB，进而可得DE＝EB，从而可证明四边形DEBF是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB且DCAB， ∵E，F分别为边AB、CD上的中点， ∴DF＝DC，BE＝AB，且DFBE， ∴DF＝BE且DFBE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠DEB＝∠BFD； 【小问2详解】 ∵E为边AB的中点， ∴AE＝BE， ∵∠ADB＝90°， ∴△ADB为直角三角形 ∴DE＝ AB＝BE， 由（1）得，四边形BFDE是平行四边形， ∴平行四边形BFDE是菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小强在C处，用手拉住绳子末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）12米 （2）2.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆高度为12米； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为2.2米． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明． 【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）． （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． 【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析（2）25千米（3）6.3125千米（4）20． 【解析】 【分析】（1）利用梯形面积，直角三角形的面积等证明即可． （2）连接，过点C作于点E，结合，得到矩形，结合千米，千米，千米，得到千米， 千米，千米，利用勾股定理解答即可． （3）作的垂直平分线，交与点P，连接，则，设，则千米，由，根据勾股定理，得，解答即可． （4）根据题意，令，，，设，则，根据勾股定理，得， 要求的最小值就转化为的和的最小值，于是延长到点F，使得，连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，过点F作交的延长线于点E，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）连接， ∵，，，． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ． （2）解：连接，过点C作于点E， ∵， ∴矩形， ∴千米，千米，千米， ∴千米， 千米，千米， ∴（千米）， 故答案为：25． （3）解：作的垂直平分线，交与点P，连接，则， 设，则千米， 由，根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得， 故的长为千米． （4）解：根据题意，令，，，设，则， 根据勾股定理，得， 要求的最小值就转化为的和的最小值， ∴延长到点F，使得， 连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小， 过点F作交的延长线于点E， ∴四边形矩形， ∴， ， ∴， 故的最小值为20， 故代数式的最小值为20． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，线段和最小的计算，线段垂直平分线的应用，熟练掌握勾股定理，线段和的最小计算，矩形的判定和性质是解题的关键． 24. 在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当何值时，四边形成为矩形？ （2）当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）时，四边形成为矩形 （2）或或 （3）四边形不能成为菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）由，，由矩形的判定可知当时，四边形成为矩形； （2）由（1）可求得点、与点、为顶点的四边形为平行四边形；然后由当时，是平行四边形，求得t的值； （3）假设能成为菱形由，得出：，当时，，在中，，，勾股定理求得，即可得出结论 【小问1详解】 ∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； 当时，四边形成为矩形； 【小问2详解】 当时，， 此时，四边形是平行四边形； 当时，， 此时，四边形是平行四边形时； 当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【小问3详解】 四边形不能成为菱形．理由如下： ，当时，四边形能成为菱形． 由，得，解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， 四边形不能成为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025春大集中学二分校八年级数学期中试题 一．选择题 1. 下列式子一定是二次根式的是（　　　） A. B. C. D. 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 4. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交于点，连接，若平行四边形的周长为30，则的周长为（　　） A. 15 B. 23 C. 25 D. 30 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，，是中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①；②；③；④正方形对角线：，其中正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二．填空题 11. 已知，则__________． 12. 如图，在中，，，，分别是与AC的中点，则的长为______． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为_________． 14. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 15. 如图，正方形边长为，点在边上，且，垂足分别为，则的值为____________． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）； 17. 李师傅将容量为的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为，请根据图象解答下列问题： （1）工厂与目的地之间的距离为_______； （2）求该货车在行驶时的速度； （3）当货车显示加油提醒后，行驶时间在什么范围内货车应进站加油？ 18. 如图，四边形纸片，．经测得，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 19. 已知直角三角形两边长，满足，求第三边的值． 20. 已知，，求下列代数式值： （1）； （2）． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，DB，BF． （1）求证：． （2）若，证明：四边形DEBF是菱形． 22. 如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点 C 处，点C到旗杆底部点B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明． 【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）． （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． 【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 24. 在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形成为矩形？ （2）当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$