精品解析：安徽省滁州市天长市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024－2025第二学期八年级数学期末测试卷 说明：共八大题，23个小题，满分150分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. 9 D. 7 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（ ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A. 19 B. 9 C. 10 D. 5 5. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 如图，在中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案．若 ，，则 的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 9. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（ ） A. 19.5米 B. 17.5米 C. 15米 D. 16.5米 10. 如图，在 中，， ，正方形的边长为，正方形的顶点分别在 的边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差分别为，，，则甲、乙、丙三人中成绩最稳定的学生是______． 13. 在平行四边形中， 分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为______． 14. 如图，在正方形中，点分别在边上．连接，且． （1）若，则的长为______． （2）若，则的值为______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上． （2）在图2中画一个菱形，使它的面积是4． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 五、解答题（本大题共2小题、每小题10分、满分20分） 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某中学为了解学生一周在家的运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理、分析（共分为四组：A． ；B． ；C． ；D． ），其中，以每周的运动时长不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）求组的人数，并补全频数分布直方图． （2）该校学生一周在家的运动时长的中位数位于______组． （3）请根据上述信息，估计该校学生一周在家的运动时长的平均数．（每组取组中值，例如： 取0.5， 取1.5） 七、解答题（本题满分12分） 22. 已知关于的一元二次方程． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，是正方形的边上的一点，是边延长线上的一点，过点作，交的平分线于点，与交于点． （1）判断 的形状，并说明理由． （2）若 ． ①求证：． ②若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025第二学期八年级数学期末测试卷 说明：共八大题，23个小题，满分150分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵，，的根指数不等于， ∴、、都不是二次根式， ∴选项、、不符合题意， 符合二次根式的定义， ∴选项符合题意， 故选：． 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. 9 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键． 将代入一元二次方程得到关于k的一元一次方程求解即可． 【分析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 得，解得： ． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式加、减、乘、除运算法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，原选项计算正确，符合题意； B．与无法合并，，原选项计算错误，不符合题意； C．，原选项计算错误，不符合题意； D．，原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（ ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A. 19 B. 9 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键．观察表格中各个时间对应的学生人数，再找出人数最多的对应时间即为众数． 【详解】解：由表格可知，阅读时间为10小时的学生有5人，4小时的有8人，8小时的有14人，9小时的有19人，5小时的有4人．其中，9小时对应的学生人数最多（19人），因此这组数据的众数是9． 故选B． 5. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 由多边形的外角和是 ，进而得到多边形的内角和是．设这个多边形是n边形，再根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：，解得：． 所以这个多边形为六边形． 故选：C． 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先通过移项并提取公因式，然后将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解根． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ 或； 解得， 综上，方程的根为 和 ， 故选：C． 7. 如图，在中，，是边的中点，以点 为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后结合作图过程即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又∵是边的中点， ∴， ∵以点 为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接， ∴． 故选C． 8. 把两个全等的矩形 和矩形拼成如图所示的图案．若， ，则 的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定， 解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 根据四边形 ，为全等的矩形， 得到， ，，即可得到，根据全等的性质得到， ，再根据角角之间的关系得到 ，于是判断出的形状， 进而根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解： 在中，， 四边形 ，为全等的矩形， ， ，， 在和 中， ， ， ， 点、 、共线， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：B． 9. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（ ） A. 19.5米 B. 17.5米 C. 15米 D. 16.5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出 ，由 求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 10. 如图，在 中，， ，正方形的边长为，正方形的顶点分别在 的边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到， ，，如图所示，过点作于点，则，，可证，得到，，设，，由题意得到，在中，，由此得到，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ，． 四边形是正方形， ， ， ． 在和中， ， ，， ． 设，． ，， ，． 将代入， 得， 解得， ，， ． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差分别为，，，则甲、乙、丙三人中成绩最稳定的学生是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差，先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的学生是乙， 故答案为：乙． 13. 在平行四边形 中， 分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形 的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得点O为的中点，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵ 分别为的中点， ∴ 分别为的中位线，， ∴， ∵四边形的周长为6， ∴， ∴平行四边形 的周长为． 故答案为：12 14. 如图，在正方形 中，点分别在边上．连接，且． （1）若，则的长为______． （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. 10 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算； （2）延长至点，使 ，连接，证明≌ ，得到 ，证明≌ ，，设，，再结合勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴； （2）如图，延长至点，使 ，连接， 在正方形 中，，， 在和中， ≌， ，， ， ， ， 即 ． 在和中， ≌， ， ，设，， 则，，， ， 在中，， ， ． ， ， 即， 的值为4． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，化简二次根式，再进行合并即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为． ，，， ， ， ，， 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上． （2）在图2中画一个菱形，使它的面积是4． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了作图—应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积．画出符合条件的三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，结合网格结构画出符合条件的三角形即可； （2）根据菱形的面积等于对角线线乘积的一半，作对角线长为2、4的菱形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ，， ； 【小问2详解】 如图，四边形为所求； 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； 【小问2详解】 解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 五、解答题（本大题共2小题、每小题10分、满分20分） 19. 如图，在菱形 中，对角线，相交于点， 是的中点，连接并延长至点，使 ，连接，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，求菱形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的中点   ， 四边形 是平行四边形， 在菱形中， 四边形 是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 在菱形中，是的中点 是 的中点 是 的中位线 在菱形中，， 在 中，， 根据勾股定理得 在菱形中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 20. 如图，在中，是 的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵D是 的中点，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵D是 的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 六、解答题（本题满分12分） 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某中学为了解学生一周在家的运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理、分析（共分为四组：A． ；B． ；C． ；D． ），其中，以每周的运动时长不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）求 组的人数，并补全频数分布直方图． （2）该校学生一周在家的运动时长的中位数位于______组． （3）请根据上述信息，估计该校学生一周在家的运动时长的平均数．（每组取组中值，例如： 取0.5， 取1.5） 【答案】（1）48人，见解析 （2）C （3）2.35小时 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，中位数，平均数，解题的关键是将频数分布直方图与扇形统计图中的信息进行关联，能够利用样本估计总体． （1）将D组的人数除以其百分比，求出本次抽查的学生人数，再减去其他三组的人数，即可得到C组的人数，即可补全直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据平均数的计算公式求出抽查的学生一周在家的运动时长的平均数，由此估计该校学生一周在家的运动时长的平均数，即可解答． 【小问1详解】 解：D组有30人，占比， 在这次抽样调查中，共调查了（人）， C组的人数为 ． 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：由（1）可知本次抽查了120人，故中位数应该第60，61个数据的平均数， ∵，， ∴第60，61个数据都位于C组， ∴该校学生一周在家的运动时长的中位数位于C组． 故答案为：C 【小问3详解】 解：（小时）， 估计该校学生一周在家的运动时长的平均数为2.35小时． 七、解答题（本题满分12分） 22. 已知关于的一元二次方程． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】（1）此方程总有两个实数根，见解析 （2）0 （3）0 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【小问1详解】 解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． 【小问3详解】 解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，是正方形 的边 上的一点，是边 延长线上的一点，过点作，交的平分线于点 ，与交于点． （1）判断 的形状，并说明理由． （2）若 ． ①求证：． ②若 ，求的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形，见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接．由正方形的四个角为直角，四条边相等，得到 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及邻补角定义可得出，由为直角的平分线，得到，再证，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用可得出，可得结论； （２）①根据证明，得出，，可证明 为等腰直角三角形，进一步得出，从而可证明； ②求得，连接，可得为的平分线，且，得，推出，易证，得出，再求出，根据三角形面积公式可得结论． 【小问1详解】 解： 是等腰直角三角形． 理由：如图1，在边上截取，连接． 依题意，可得 为等腰直角三角形， ， ． 为的平分线， ， ． 四边形 为正方形， ， ， ，即． ， ， ． 又， ． 在和中， ， ， 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：①证明：四边形 为正方形， ， ． 在 和中， ， ，， ，即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， ． ②由（1）可得 为等腰直角三角形，即 ， ． 如图2，连接，可得为的平分线，且， ． 又， 为的平分线， ． ，，， ∴， 同理可证， ，， ． 设，则，， ，即，解得， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，以及勾股定理，利用了方程的思想，猜想和探究的辅助线的作法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $