精品解析：河南省2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年第二学期学情调研 八年级数学 注意：本次调研分调研卷和答题卡两部分，考试时间100分钟．考生应首先阅读调研卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在调研卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】A.是轴对称图形； B. 是轴对称图形； C. 是中心对称图形； D. 是轴对称图形； 故答案选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握概念是解题的关键． 2. 若分式无意义，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件．掌握使分式无意义的条件是分母为0是解题关键．根据使分式无意义的条件“分母为0”计算即可． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故选：B． 3. 根据不等式的基本性质，下列计算正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、由，得，原计算错误，不符合题意； B、由，得，原计算错误，不符合题意； C、由，得，原计算正确，符合题意； D、当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得；原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右侧含有分式，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，分解因式错误，不符合题意； D、，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 5. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像即可求解． 【详解】解：由图可知， 当销售收入大于销售成本时，即的图像在的上方， 则的部分的图像在的上方， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，审清题意，理解函数图像的信息是解题的关键． ． 6. 已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积， 故选：A． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理得到，根据角平分线的性质得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又，平分， ∴， 在中，，， ∴，即， 故选：B． 9. 关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ） A. m=3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式组得：， ∵不等式组的解集为x＜3 ∴m的范围为m≥3， 故选D． 10. 在中，，，点P是边上一动点，连接，M为的中点，N为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可知，当最小时，有最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合，证明是等腰直角三角形，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， M为的中点，N为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，有最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 的最小值为1， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 12. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，掌握平移规律，坐标轴上点的特点是关键． 根据点的平移规律“左减右加，上加下减”得到点的坐标，由点在轴上，横坐标为0，由此列式求解即可． 【详解】解：点向右平移3个单位长度， ∴， ∵点Q刚好落在y轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图， _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解； ∵， ∴． 故答案为：． 14. 观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，求和整理解答即可． 本题考查了裂项法计算，分式方程的解法，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故变形为： 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 15. 如图，为等边三角形，点P为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至线段，点M是边的中点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，证明，利用垂线段最短原理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的中点，点M是边的中点，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 过点N作于点G， 则的最小值为， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，垂线段最短原理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简：； （2）请你确定一个适当的x的值，求上式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ， 由 ， 得， 当时 原式． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，x−1， 由②得，x<2， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）在图中添加一个点P，使A，B、O，P四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点P的坐标为______（填一个即可）； （3）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是______，旋转角是______度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，描点，画图即可； （2）根据题意，构造一个平行四边形，此时，解答即可； （3）根据旋转的性质，画图解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，构造一个平行四边形， 此时， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意，旋转中心在两直线的交点处，画图如下： 此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平移作图，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，中心对称图形的理解，旋转中心，熟练掌握作图是解题的关键． 19. 如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加的一个条件是：______； （2）说明理由． 【答案】（1），答案不唯一 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：从对角线角度思考，可以添加， 故答案：．不唯一 【小问2详解】 证明：∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为，得 则， ∴，解得，． ∴另一个因式为，m的值为． 解法二：设另一个因式为，得 ∴当时， 即，解得 ∴ ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据提供的解题信息，选择喜欢的一种方法解答即可； （2）根据提供的解题信息，选择喜欢的一种方法解答即可． 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：多项式分解因式的结果中有因式， 设另一个因式为，得 ∴当时， 即， 解得 故答案为：1． 【小问2详解】 解：由二次三项式有一个因式是， 设另一个因式为，得 ∴当时， 即， 解得， ∴ ∴另一个因式为，k的值为． 21. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）求重叠部分的面积． 【答案】（1）12；（2）9cm2． 【解析】 【分析】（1）想办法证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题， （2）先根据题意求出BD，再根据三角形中位线性质得出S△DEB＝S△DCB求解即可． 【详解】解：（1）∵△BCE是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝60°，CD//AB， ∴∠EDB＝∠ABD， 由翻折可知，∠ABD＝∠DBF， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB＝EC， ∴∠DBC＝90°， ∵AD//BC， ∴BD⊥AF， ∴A，D，F共线，AD＝DF＝6（cm）， ∵BA＝BF，∠A＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AB＝AF＝12（cm）． （2）∵∠DBC＝90°，BC＝AD＝6cm，∠C＝60°， ∴BD＝BC＝6（cm）， ∵DE＝EC， ∴S△DEB＝S△DCB＝××6×6＝9（cm2）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等． 22. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 23. 我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． （1）观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； （2）推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． （3）性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； （4）拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 【答案】（1），且平分 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）：根据，，得到垂直平分； （2）利用线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）求得，的长，根据图形，得，解答即可． （4）连接，过点O作于点K，得到，证明，设，则，，，利用勾股定理，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据，， 故垂直平分， 故答案为：，且平分． 【小问2详解】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且平分． 【小问3详解】 解：筝形中，，，， ∴，， ∴， ∵筝形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【小问4详解】 解：如图，连接，过点O作于点K， ∵筝形中，，，对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了筝形的定义和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握定义，勾股定理，正三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期学情调研 八年级数学 注意：本次调研分调研卷和答题卡两部分，考试时间100分钟．考生应首先阅读调研卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在调研卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形为（ ） A. B. C. D. 2. 若分式无意义，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 根据不等式的基本性质，下列计算正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ） A. 小于4件 B. 大于4件 C. 等于4件 D. 不小于4件 6. 已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9. 关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ） A. m=3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 10. 在中，，，点P是边上一动点，连接，M为的中点，N为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式和的最简公分母是__________． 12. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为______． 13. 如图， _________． 14. 观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是______． 15. 如图，为等边三角形，点P为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至线段，点M是边的中点，连接．若，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）化简：； （2）请你确定一个适当的x的值，求上式的值． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）在图中添加一个点P，使A，B、O，P四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点P的坐标为______（填一个即可）； （3）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是______，旋转角是______度． 19. 如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加一个条件是：______； （2）说明理由． 20. 仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为，得 则， ∴，解得，． ∴另一个因式为，m值为． 解法二：设另一个因式为，得 ∴当时， 即，解得 ∴ ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 21. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）求重叠部分的面积． 22. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 23. 我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． （1）观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； （2）推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． （3）性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； （4）拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$