《2.2数轴》导学案 暑假预习手册5-2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025年暑假苏科版新七年级数学预习手册5-《2.2数轴》 ( 一、 预习 目标 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能够准确画出数轴。 2.学会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上给定的点所表示的有理数，体会有理数与数轴上点的对应关系，初步感受 “ 数形结合 ” 思想。 3.掌握利用数轴比较有理数大小的方法，理解在数轴上右边的数总比左边的数大，会比较不同有理数的大小。 ) ( 一、 预习内容 （一） .   数轴的概念： 长安街是北京一条东西向的主干道.我们把长安街看作一条直线，如图，以天安门为分界点，向东用 “ + ” 表示，向西用 “ 一 ” 表示，根据图中的比例尺，西单地铁站、东单地铁站的大致位置可以分别用哪个有理数表示?国家大剧院的北门在长安街上，若它对应一750m，你能标出它的大致位置吗? 【解析】 西单地铁站可以用－1750m表示，东单地铁站可以用＋2000m表示. 国家大剧院北门的位置如图所示。 借助一条直线,我们建立了长安街上的地点与数的对应关系.在数学中，我们用下面的方法建立数与形的联系： （ 1 ） . 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点(origin). （ 2 ） . 规定直线上从原点向右的方向为正方向(画箭头表示)，向左的方向为负方向. （ 3 ） . 取适当长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，...；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1, －2, －3, .... 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的三要素： （1）原点：原点是数轴上表示0的点，它是数轴的基准点，就像温度计上的0刻度。 （2）正方向一般规定向右为正（当然，根据实际情况也可以规定其他方向为正，但在常规学习中向右为正方向更常见），用箭头表示。 （3）单位长度是选取的适当长度，用来度量数轴上的距离，比如在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … ；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示 -1，-2，-3， … 。 需要注意的是，原点、正方向和单位长度这三个要素是数轴缺一不可的组成部分 ，并且单位长度可以根据实际需要进行选取，但在同一条数轴上，单位长度必须统一。例如，我们要画一个表示 -5到5之间整数的数轴，就可以先确定原点，然后规定向右为正方向，选取1厘米的长度作为单位长度，这样就能画出符合要求的数轴。 ) ( （二） .   数轴的画法 （1） 画直线：先画一条水平的直线（数轴通常画成水平位置，但也可以是任意方向的直线，不过水平直线更方便我们观察和理解）。 （2） 取原点：在这条直线上选取一个合适的点作为原点，用这个点表示数字0，并在原点下方标注 “ 0 ” 。例如，如果要表示一些较小的数，原点可以在直线中间位置；如果要表示的数大多是正数，原点可以适当偏左。 （3） 定正方向：规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头表示正方向。箭头的方向就代表了数增大的方向。 （4） 标单位长度和数：选取适当的长度作为单位长度，比如1厘米代表一个单位长度。从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3， … ；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上 -1，-2，-3， … 。注意在标注数的时候，数字要写在对应点的正上方，并且要保持整齐、清晰。例如，要在数轴上表示 -3、0、2这三个数，按照上述步骤画出数轴后，在原点左边距离原点3个单位长度的点正上方标上 -3，在原点处标上0，在原点右边距离原点2个单位长度的点正上方标上2 。 例1： 画数轴 并 在数轴上画出表示下列各数的点: －4.5，－ ，－1，－4，1 . 解：如图所示. （三） .   数轴上的点与有理数的关系： 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。正数在原点的右边，例如2这个正数，在数轴上就是位于原点右边距离原点2个单位长度的点；负数在原点的左边，比如 -3，在数轴上是位于原点左边距离原点3个单位长度的点；0用原点表示。但是要注意，数轴上的点不都表示有理数，还有一些点表示无理数（无理数的概念后续会学到，目前先了解数轴上的点不完全等同于有理数即可）。 例 2：如图 分别写出数轴上点A，B，C表示的数: 解：点 A 表示的数是－3.5; 点 B 表示的数是0; 点 C 表示的数是2.5. 例3.在数轴上画出表示下列各数的点: -3.5， 2， - ， 3.5. -2 解：如图 ) ( （四）. 利用数轴比较有理数的大小： 生活中的量是有大小的，有理数之间是否也有大小关系呢? 1.把0 ℃ ，4 ℃ ，－3 ℃ ，－1 ℃ 按从低到高的顺序排列. 在数轴上画出表示0，4，－3，－1的点，比较这些点的位置关系 与对应温度的高低关系. 你有什么发现? 【解析】 －3 ℃ ＜－1 ℃ ＜0 ℃ ＜4 ℃ . 如图分别用A，B，C，D四点表示－3，－1，0，4，它们的大小关系是－3＜－1＜0＜4. 发现：右边的点表示的温度比左边的点表示的温度高. 2. 比较1.5， ，5.2， 的大小，在数轴上画出表示这些数的点，研究数的大小与对应点的位置之间的关系. 你有什么发现? 【解析】 如图，在数轴上画出表示这几个数的点. 它们的大小关系是 ＜ ＜1.5＜5.2. 发现：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大. 【归纳】 有理数的大小可以根据数轴上点的位置，比较它们的大小： 特别地，在数轴上表示负数的点在原点左边，表示正数的点在原点右边，所以 例 4 比较－3.5和－0.5的大小. 解：如图在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A，B. 因为点B在点A的右边，所以－0.5＞－3.5. 【讨论】对于有理数a，b，它们之间可能有怎样的大小关系? ) ( 例 5. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用 “ < ” 号将这些数按从小到大的顺序连接起来: - ， 0， 3， -4， 1.5， -5. 解：如图在数轴上画出表示各数的点： 根据各点在数轴上的位置，得 -5 < -4 < - < 0 < 1.5 < 3 【 讨论 】 我们知道，自然数的大小关系具有传递性:对于自然数a，b， e，如果a>b，b>c，那么a>c.有理数的大小关系是否也具有传递性呢? 根据数轴上点的位置关系，可以发现有理数的大小关系仍具有传递性. 【 知识小结】 ) ( 三．经典例题 例 1. 下列数轴画得正确的是哪个（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据数轴的定义逐一判断即可 ．A． 没有原点 ；B． 单位长度不一致 ；C． 正确 ． D． 负数排列顺序不正确 ； 故选 C． 例 2. 下列说法中错误的是( ) A. 规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴 B. 数轴上 原点表示数是零 C. 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大 D. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】A ) ( 【解析】根据数轴三要素及数轴上的点的特征即可判断．A．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，故本选项错误；B．数轴上的原点表示数零，本选项正确；C．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，本选项正确；D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，本选项正确；故选A. 例 3. 数轴上不小于﹣4的非正整数有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】找到所有不小于﹣4的非正整数即可．不小于﹣4的非正整数有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，共5个，在数轴上表示为： 故选A． 例 4. 在数轴上表示﹣19的点与表示﹣10的点之间的距离是（　　） A. 29 B. ﹣29 C. 9 D. ﹣9 【答案】C 【解析】本题借助数轴用数形结合的方法求解．数轴上表示﹣19的点到原点的距离是19个单位长度，﹣10的点到原点的距离是10个单位长度，两个数的距离是19﹣10=9． 故选C． 例 5. 点A在数轴上表示﹣3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点所表示的数是（　　） A. 0 B. ﹣6 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】根据右加左减的法则进行计算即可．∵﹣3+4﹣7=﹣6，∴A点所表示的数是﹣6． 故选B． 例 6 . 如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，下列说法正确的是（　　） A. a＞0 B. b＞c C. b＞a D. a＞c 【答案】C 【解析】直接利用数轴上A，B，C对应的位置，进而比较得出答案．由数轴上A，B，C对应的位置可得：a＜0，故选项A错误；b＜c，故选项B错误；b＞a，故选项C正确； a＜c，故选项D错误；故选C． 例7 . 如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为______． 【答案】﹣6 【解析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．设点C所表示的数为x，∵数轴上A、B两点表示的数分别为-1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB=4-（-1），AC=-1-x，根据题意AB=AC，∴4-（-1）=-1-x，解得x=-6．故答案为-6． 例8 . 已知数轴上两点A，B表示的数分别是是2和—7，则A，B两点间的距离是____ . 【答案】9; 【解析】 2-（-7）=2+7=9. 例9 . 如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是_________．(结果保留π) 【答案】 【解析】本题考查实数与数轴．用1减去圆的周长即可得出结果． 由题意，则 A 点表示的数是 ；故答案为： ) ( 例10. 点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的 “ 和谐点 ” ．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题： （1）当a＝ ﹣ 1，b＝5时，线段AB的 “ 和谐点 ” 所表示的数为 　 　 ； （2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的 “ 和谐点 ” ，此时a的值为 　 　 ． 【 答案】（1） 3或11； （ 2） ﹣ 3， ﹣ 4， ﹣ 9， ﹣ 12． 【 解析】 （1）设线段AB的 “ 和谐点 ” 为P，P表示的数为x． ① 如果点P在A、B之间， ∵ PA＝2PB，A，B在数轴上表示的数分别为 ﹣ 1，5， ∴ x ﹣ （ ﹣ 1）＝2（5 ﹣ x），解得x＝3； ② 如果点P在B的右边， ∵ PA＝2PB， ∴ x ﹣ （ ﹣ 1）＝2（x ﹣ 5），解得x＝11． 故答案为：3或11； （2） ∵ b＝a+6， ∴ b ﹣ a＝6，即AB＝6，分三种情况： ① 如果点O为线段AB的 “ 和谐点 ” ，那么AO＝2OB，根据题意可得，0 ﹣ a＝2（b ﹣ 0），或0 ﹣ a＝2（0 ﹣ b），即a＝ ﹣ 2b，或a＝2b，又b＝a+6， ∴ a＝ ﹣ 4，b＝2，或a＝ ﹣ 12，b＝ ﹣ 6； ② 如果点A为线段OB的 “ 和谐点 ” ，那么AO＝2AB， ∵ a＜0， ∴ 这种情况不存在； ③ 如果点B为线段AO的 “ 和谐点 ” ，那么AB＝2OB，根据题意可得，6＝2（0 ﹣ b），或6＝2（b ﹣ 0）， 即b＝ ﹣ 3，或b＝3，又 ∵ b＝a+6， ∴ a＝ ﹣ 9或a＝ ﹣ 3；故答案为： ﹣ 3， ﹣ 4， ﹣ 9， ﹣ 12． ) ( 四．强化练习 （时间：45分钟 满分：100分） 一．选择题（30分） 1 . 下列结论正确的个数是（　　） ①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；②同一数轴上的单位长度都必须一致； ③有理数都可以表示在数轴上；④数轴上的点都表示有理数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 根据数轴的定义对各小题进行逐一判断即可．①符合数轴的定义 ， 故本小题正确 ； ②同一数轴上的单位长度都必须一致是数轴的特点 ， 故本小题正确 ； ③有理数都可以表示在数轴上 ， 故本小题正确 ； ④数轴上的点都表示实数 ， 故本小题错误．故选 D． 2 . 如图，在数轴上点 M 表示的数可能是（　　） A. 1.5 B. ﹣ 1.5 C. ﹣ 2.4 D. 2.4 【答案】C 【解析】 根据数轴上点 M 的位置，可得点 M 表示的数．点 M 表示的数大于 -3 且小于 -2 ， A 、 1.5 ＞ -2 ，故 A 错误； B 、 -1.5 ＞ -2 ，故 B 错误； C 、 -3 ＜ -2.4 ＜ -2 ，故 C 正确； D 、 2.4 ＞ -2 ，故 D 错误．故选： C ． 3 . 在数轴上，点 B 表示﹣ 2 ，点 C 表示 4 ，若点 A 到点 B 和点 C 的距离相等，则点 A 表示的数是（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 3 【答案】B 【解析】 点 C 到点 A 的距离与点 C 到点 B 的距离相等 ， 则点 C 是线段 AB 的中点 ， 据此即可求解．如图 ， ， 由数轴 ， 得 ： 点 A 表示的数是 1． 故选 B． 4 . 已知点 A、B、C 分别是数轴上的三个点，点 A 表示的数是﹣ 1 ，点 B 表示的数是 2 ，且 B、C 两点间的距离是 A、B 两点间距离的 3 倍，则点 C 表示的数是（　　） A. 11 B. 9 C. ﹣7 D. ﹣7 或 11 【答案】D 【解析】 直接根据题意画出图形 ， 进而分类讨论得出答案．如图所示 ： ) ( ∵点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2，∴A、B两点间距离为3，∵B、C两点间的距离是A、B两点间距离的3倍，∴BC=9， 故点C表示的数是：﹣7或11．故选D． 5. 在数轴上点A表示的数是2，到A点的距离是4个单位长度的点表示的数是（　　） A．6 B． ﹣ 2 C．6或 ﹣ 2 D．4或 ﹣ 4 【 答案】C 【 解析】 设该数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．设该数是x，则 x ﹣ 2＝4， 或 2 ﹣ x＝4 解得x＝6或x＝ ﹣ 2．故选：C． 6 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 ﹣ 1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示202 5 的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【 答案】C 【 解析】 根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合．202 5 +1＝202 6 ，202 4 ÷ 4＝50 6 ••• 2，所以数轴上表示202 6 的点与圆周上的数字2重合，故选：C． 7 、 如图所示，在数轴上将表示 ﹣ 1的点A向右移动3个单位后，对应点表示的数是（　　） A． ﹣ 4 B． ﹣ 3 C．2 D．3 【 答案】C 【 解析】 向左移动记为 “﹣” ，向右移动记为 “ + ” ，再利用有理数的加法法则进行计算即可得到答案．表示 ﹣ 1的点A向右移动3个单位对应的点为 ﹣ 1+3＝2．故选：C． 8 、 点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　） A． ﹣ 2或1 B． ﹣ 2或2 C． ﹣ 2 D．1 【 答案】A 【 解析】 列方程求解即可．由题意得，2a+1＝3 或2a+1＝ - 3 ，解得，a＝1或a＝ ﹣ 2， 故选：A． 9 、 在数轴上点A表示数 ﹣ 3，如果把原点O向负方向移动1个单位，那么此时点A表示的数是（　　） A． ﹣ 4 B． ﹣ 3 C． ﹣ 2 D． ﹣ 1 【 答案】C 【 解析】 根据数轴上的点与原点的位置，可得答案．A点位于原点的左侧，距原点的距离为2，A点表示的数为 ﹣ 2． 故选：C． 10. 如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ① B对应的数是2； ② 点P到达点B时，t＝3； ③ BP＝2时，t＝2； ④ 在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A． ①③④ B． ②③④ C． ②③ D． ②④ 【答案】D 【解析 】 利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解． ∵ 已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6， ∴ B对应的数为：4 ﹣ 6＝ ﹣ 2；故 ① 是不符合题意的； ∵ 6 ÷ 2＝3，故 ② 是符合题意的； ∵ 当BP＝2时，t＝2或t＝4，故 ③ 是不符合题意的； ∵ 在点P的运动过程中，MN＝3，故 ④ 是符合题意的；故选：D． ) ( 二．填空题（30分） 11 . 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数是___． 【答案】-1、0、1、2 【解析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至2.9．由数轴可知：被污染的部分的数为-1.3＜x＜2.9的整数，∴被污染的整数为：-1、0、1、2，故答案为：-1、0、1、2． 12 . 一只小蚂蚁停在数轴上表示﹣3的点上，后来它沿数轴爬行5个单位长度，则此时小蚂蚁所处的点表示的数为_____． 【答案】2或﹣8． 【解析】设此点表示的数是a，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可．∵设此点表示的数是a，则|a+3|=5，∴当a≥3时，原式=a+3=5，解得：a=2；当a＜3时，原式=﹣a﹣3=5，解得：a=﹣8．故答案为2或﹣8． 13. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上 “ 0cm ” 和 “ 3cm ” 分别对应数轴上的4和1，那么刻度尺上 “ 5.6cm ” 对应数轴上的数为 __________. 【 答案】 ﹣ 1.6 【 解析】 由题意可列式4 ﹣ 5.6进行计算求解．4 ﹣ 5.6＝ ﹣ 1.6， 14 、 如图，把一个三角形沿数轴向右平移，则点P平移的距离PP ′ 为 __________. 【 答案】5 【 解析】 根据平移的性质可得PP'即为数轴上对应两点平移的距离解答．PP'＝4 ﹣ （ ﹣ 1）＝5，即点P平移的距离PP ′ 为5． 15 、 在数轴上点A表示数 ﹣ 3，如果把原点O向负方向移动1个单位，那么此时点A表示的数是 __________. 【 答案】 ﹣ 2 【 解析】 根据数轴上的点与原点的位置，可得答案．A点位于原点的左侧，距原点的距离为2，A点表示的数为 ﹣ 2． 16. 一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　 　 ． 【 答案】120 【 解析】 因为墨迹最左端的实数是 ﹣ 109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是 ﹣ 109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个．故答案是：120． 17. 一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是 ﹣ 16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A ′ 落在点B的右边，并且A ′ B＝3，则C点表示的数是 　 　 ． 【 答案】 ﹣ 2 【 解析】 设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9 ﹣ x， ∵ A ′ B＝3，B点表示的数为 ) ( 9， ∴ 点A ′ 表示的数为9+3＝12，根据折叠得，AC＝A ′ C ∴ x+16＝12 ﹣ x，解得，x＝ ﹣ 2， 故答案为： ﹣ 2． 18. 一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度 …… 移动2 0 25 次后，该点所对应的数是__________ 。 【答案】 1013 【解析】第 1 次移动后，点在数轴上对应的数是 1 ；第 2 次移动后，点在数轴上对应的数是 1 - 2 = -1 ；第 3 次移动后，点在数轴上对应的数是 -1 + 3 = 2 ；第 4 次移动后，点在数轴上对应的数是 2 - 4 = -2 ；可以发现，当移动次数为偶数次时，点对应的数为负，且数值为移动次数的一半的相反数；当移动次数为奇数次时，点对应的数为正，且数值为(移动次数 + 1) ÷ 2 。因为 2025 是奇数，所以移动 2025 次后，该点对应的数为 (2025 + 1) ÷ 2 = 1013 。 19 ．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是 ﹣ 4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 　 　 ． 【 答案 】 ﹣ 1 【解析】因为 A 点表示的数是 -4，B 点表示的数是 2，所以 A、B 两点间的距离为 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 。 因为点 C 是线段 AB 的中点，所以点 C 到 A 点或 B 点的距离为 6 ÷ 2 = 3 。因为点 C 到 A 点的距离为 3，A 点表示的数是 -4，所以点 C 所表示的数为 -4 + 3 = -1 。 20 ．已知数轴上点A，B分别对应数a，b．若线段AB的中点M对应着数15，则a+b的值为 　 　 ． 【 答案 】 30 【解析】因为数轴上点A、B分别对应数a、b，线段AB的中点M对应的数为15，根据中点公式可得（a + b） ÷ 2=15。两边同时乘以2，得到a + b = 15 × 2 = 30。 三．解答题（40分） 21. 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：﹣5，2.5， ，0， . 解：在数轴上表示出来如图所示； 22 ． 如图 所示，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题． (1)将点B向左移动3个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是________； (2)将点A向右移动4个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是__ ______ ； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B与点C中，点________表示的数大，大________； (4)要使三个点表示相同的数，应如何移动其中两点？有几种移法？ 解：(1)B　－5　(2)B　－2　(3)B　1 (4)点B不动，把点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度；或点A不动，把点B、点C分别向左移动2个单位长度、7个单位长度；或点C不动，把点A、点B分别向右移动7个单位长度、5个单位长度．都可以使三个点表示相同的数，因此共有三种移法 23 ．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ﹣ 5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． ) ( （ 1） 在图1的数轴上，AC＝ 　 个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 　　 cm； （2）求数轴上点B所对应的数b； （3）在图1的数轴上，点Q是线段AB上一点，满足AQ＝2QB，求点Q所表示的数． 解： （1）AC＝4 ﹣ （ ﹣ 5）＝9（个长度单位），数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的5.4 ÷ 9＝0.6（cm）．故答案为：9；0.6． （2）依题意有1.8＝0.6（b+5），解得b＝ ﹣ 2，即数轴上点B所对应的数b为 ﹣ 2； （3）设点Q所表示的数是x，依题意有x ﹣ （ ﹣ 5）＝2（ ﹣ 2 ﹣ x），解得x＝ ﹣ 3．故点Q所表示的数是 ﹣ 3． 2 4 、 如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 ﹣ 20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 解：（1）M点对应的数是（ ﹣ 20+100） ÷ 2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120 ÷ （6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12 × 4＝48（个单位）， 即从数 ﹣ 20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20 ﹣ 20） ÷ （6 ﹣ 4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20） ÷ （6 ﹣ 4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 25 、如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30； 若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6， 由此可得这根木棒的长为 　 　 cm； （2）图中点A所表示的数是 　 　 ，点B所表示的数是 　 　 ； （3）由（1）（2）的启发，请借助 “ 数轴 ” 这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说： “ 我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！ ” 请问奶奶现在多少岁了？ 解： （1）观察数轴可知三根木棒长为30 ﹣ 6＝24（cm），则这根木棒的长为24 ÷ 3＝8（cm）；故答案为8． （2）6+8＝14，14+8＝22．所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．故答案为：14，22． （3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（ ﹣ 37）岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为：[119 ﹣ （ ﹣ 37）] ÷ 3＝52（岁），所以奶奶现在的年龄为119 ﹣ 52＝67（岁）． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新七年级数学预习手册5-《2.2数轴》 ( 一、 预习 目标 1.理解数轴的概念，掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能够准确画出数轴。 2.学会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上给定的点所表示的有理数，体会有理数与数轴上点的对应关系，初步感受 “ 数形结合 ” 思想。 3.掌握利用数轴比较有理数大小的方法，理解在数轴上右边的数总比左边的数大，会比较不同有理数的大小。 ) ( 一、 预习内容 （一） .   数轴的概念： 长安街是北京一条东西向的主干道.我们把长安街看作一条直线，如图，以天安门为分界点，向东用 “ + ” 表示，向西用 “ 一 ” 表示，根据图中的比例尺，西单地铁站、东单地铁站的大致位置可以分别用哪个有理数表示?国家大剧院的北门在长安街上，若它对应一750m，你能标出它的大致位置吗? 借助一条直线,我们建立了长安街上的地点与数的对应关系.在数学中，我们用下面的方法建立数与形的联系： （ 1 ） . 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点(origin). （ 2 ） . 规定直线上从原点向右的方向为正方向(画箭头表示)，向左的方向为负方向. （ 3 ） . 取适当长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，...；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1, －2, －3, .... 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的三要素： （1）原点：原点是数轴上表示0的点，它是数轴的基准点，就像温度计上的0刻度。 （2）正方向一般规定向右为正（当然，根据实际情况也可以规定其他方向为正，但在常规学习中向右为正方向更常见），用箭头表示。 （3）单位长度是选取的适当长度，用来度量数轴上的距离，比如在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … ；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示 -1，-2，-3， … 。 需要注意的是，原点、正方向和单位长度这三个要素是数轴缺一不可的组成部分 ，并且单位长度可以根据实际需要进行选取，但在同一条数轴上，单位长度必须统一。例如，我们要画一个表示 -5到5之间整数的数轴，就可以先确定原点，然后规定向右为正方向，选取1厘米的长度作为单位长度，这样就能画出符合要求的数轴。 ) ( （二） .   数轴的画法 （1） 画直线：先画一条水平的直线（数轴通常画成水平位置，但也可以是任意方向的直线，不过水平直线更方便我们观察和理解）。 （2） 取原点：在这条直线上选取一个合适的点作为原点，用这个点表示数字0，并在原点下方标注 “ 0 ” 。例如，如果要表示一些较小的数，原点可以在直线中间位置；如果要表示的数大多是正数，原点可以适当偏左。 （3） 定正方向：规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头表示正方向。箭头的方向就代表了数增大的方向。 （4） 标单位长度和数：选取适当的长度作为单位长度，比如1厘米代表一个单位长度。从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3， … ；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上 -1，-2，-3， … 。注意在标注数的时候，数字要写在对应点的正上方，并且要保持整齐、清晰。例如，要在数轴上表示 -3、0、2这三个数，按照上述步骤画出数轴后，在原点左边距离原点3个单位长度的点正上方标上 -3，在原点处标上0，在原点右边距离原点2个单位长度的点正上方标上2 。 例1： 画数轴 并 在数轴上画出表示下列各数的点: －4.5，－ ，－1，－4，1 . （三） .   数轴上的点与有理数的关系： 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。正数在原点的右边，例如2这个正数，在数轴上就是位于原点右边距离原点2个单位长度的点；负数在原点的左边，比如 -3，在数轴上是位于原点左边距离原点3个单位长度的点；0用原点表示。但是要注意，数轴上的点不都表示有理数，还有一些点表示无理数（无理数的概念后续会学到，目前先了解数轴上的点不完全等同于有理数即可）。 例 2：如图 分别写出数轴上点A，B，C表示的数: 例3.在数轴上画出表示下列各数的点: -3.5， 2， - ， 3.5. -2 ) ( （四）. 利用数轴比较有理数的大小： 生活中的量是有大小的，有理数之间是否也有大小关系呢? 1.把0 ℃ ，4 ℃ ，－3 ℃ ，－1 ℃ 按从低到高的顺序排列. 在数轴上画出表示0，4，－3，－1的点，比较这些点的位置关系 与对应温度的高低关系. 你有什么发现? 2. 比较1.5， ，5.2， 的大小，在数轴上画出表示这些数的点，研究数的大小与对应点的位置之间的关系. 你有什么发现? 【归纳】 有理数的大小可以根据数轴上点的位置，比较它们的大小： 特别地，在数轴上表示负数的点在原点左边，表示正数的点在原点右边，所以 例 4 比较－3.5和－0.5的大小. 【讨论】对于有理数a，b，它们之间可能有怎样的大小关系? ) ( 例 5. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用 “ < ” 号将这些数按从小到大的顺序连接起来: - ， 0， 3， -4， 1.5， -5. 【 讨论 】 我们知道，自然数的大小关系具有传递性:对于自然数a，b， e，如果a>b，b>c，那么a>c.有理数的大小关系是否也具有传递性呢? 根据数轴上点的位置关系，可以发现有理数的大小关系仍具有传递性. 【 知识小结】 ) ( 三．经典例题 例 1. 下列数轴画得正确的是哪个（　　） A. B. C. D. 例 2. 下列说法中错误的是( ) A. 规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴 B. 数轴上 原点表示数是零 C. 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大 D. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 例 3. 数轴上不小于﹣4的非正整数有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 ) ( 例 4. 在数轴上表示﹣19的点与表示﹣10的点之间的距离是（　　） A. 29 B. ﹣29 C. 9 D. ﹣9 例 5. 点A在数轴上表示﹣3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点所表示的数是（　　） A. 0 B. ﹣6 C. 8 D. 6 例 6 . 如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，下列说法正确的是（　　） A. a＞0 B. b＞c C. b＞a D. a＞c 例7 . 如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为______． 例8 . 已知数轴上两点A，B表示的数分别是是2和—7，则A，B两点间的距离是____ . 例9 . 如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是_________．(结果保留π) 例10. 点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的 “ 和谐点 ” ．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题： （1）当a＝ ﹣ 1，b＝5时，线段AB的 “ 和谐点 ” 所表示的数为 　 　 ； （2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的 “ 和谐点 ” ，此时a的值为 　 　 ． ) ( 四．强化练习 （时间：45分钟 满分：100分） 一．选择题（30分） 1 . 下列结论正确的个数是（　　） ①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；②同一数轴上的单位长度都必须一致； ③有理数都可以表示在数轴上；④数轴上的点都表示有理数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 . 如图，在数轴上点 M 表示的数可能是（　　） A. 1.5 B. ﹣ 1.5 C. ﹣ 2.4 D. 2.4 3 . 在数轴上，点 B 表示﹣ 2 ，点 C 表示 4 ，若点 A 到点 B 和点 C 的距离相等，则点 A 表示的数是（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 3 4 . 已知点 A、B、C 分别是数轴上的三个点，点 A 表示的数是﹣ 1 ，点 B 表示的数是 2 ，且 B、C 两点间的距离是 A、B 两点间距离的 3 倍，则点 C 表示的数是（　　） A. 11 B. 9 C. ﹣7 D. ﹣7 或 11 5. 在数轴上点A表示的数是2，到A点的距离是4个单位长度的点表示的数是（　　） A．6 B． ﹣ 2 C．6或 ﹣ 2 D．4或 ﹣ 4 6 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 ﹣ 1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示202 5 的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7 、 如图所示，在数轴上将表示 ﹣ 1的点A向右移动3个单位后，对应点表示的数是（　　） A． ﹣ 4 B． ﹣ 3 C．2 D．3 8 、 点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　） A． ﹣ 2或1 B． ﹣ 2或2 C． ﹣ 2 D．1 9 、 在数轴上点A表示数 ﹣ 3，如果把原点O向负方向移动1个单位，那么此时点A表示的数是（　　） A． ﹣ 4 B． ﹣ 3 C． ﹣ 2 D． ﹣ 1 10. 如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ① B对应的数是2； ② 点P到达点B时，t＝3； ③ BP＝2时，t＝2； ④ 在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A． ①③④ B． ②③④ C． ②③ D． ②④ 二．填空题（30分） 11 . 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数是___． ) ( 12 . 一只小蚂蚁停在数轴上表示﹣3的点上，后来它沿数轴爬行5个单位长度，则此时小蚂蚁所处的点表示的数为_____． 13. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上 “ 0cm ” 和 “ 3cm ” 分别对应数轴上的4和1，那么刻度尺上 “ 5.6cm ” 对应数轴上的数为 __________. 14 、 如图，把一个三角形沿数轴向右平移，则点P平移的距离PP ′ 为 __________. 15 、 在数轴上点A表示数 ﹣ 3，如果把原点O向负方向移动1个单位，那么此时点A表示的数是 __________. 16. 一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　 　 ． 17. 一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是 ﹣ 16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A ′ 落在点B的右边，并且A ′ B＝3，则C点表示的数是 　 　 ． 18. 一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度 …… 移动2 0 25 次后，该点所对应的数是__________ 。 19 ．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是 ﹣ 4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 　 　 ． 20 ．已知数轴上点A，B分别对应数a，b．若线段AB的中点M对应着数15，则a+b的值为 　 　 ． 三．解答题（40分） 21. 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：﹣5，2.5， ，0， . 22 ． 如图 所示，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题． (1)将点B向左移动3个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是________； (2)将点A向右移动4个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是__ ______ ； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B与点C中，点________表示的数大，大________； (4)要使三个点表示相同的数，应如何移动其中两点？有几种移法？ ) ( 23 ．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ﹣ 5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （ 1） 在图1的数轴上，AC＝ 　 个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 　　 cm； （2）求数轴上点B所对应的数b； （3）在图1的数轴上，点Q是线段AB上一点，满足AQ＝2QB，求点Q所表示的数． 2 4 、 如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 ﹣ 20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 25 、如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30； 若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6， 由此可得这根木棒的长为 　 　 cm； （2）图中点A所表示的数是 　 　 ，点B所表示的数是 　 　 ； （3）由（1）（2）的启发，请借助 “ 数轴 ” 这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说： “ 我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！ ” 请问奶奶现在多少岁了？ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$