7.期末复习（7）——相似-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

当x=4时，y=m=m 点B的坐标为4，婴)】 “点4的坐标为4-，翠+小 :点A在反比例函数在y=m的 :BD是⊙O的切线， 图象上 ..OD⊥BD .AC⊥BD (4-)(朵+=m,化简， .OD∥AC. 得1=4-婴 .∠2=∠3. OA =OD. .∠1=∠3 “点D的纵坐标为？+21= .∠1=∠2 即AD平分∠BAC. 4+2(4-翠）)=8-婴 (2)解：OD∥AC .△BOD∽△BAC 点D的坐标为4,8-军} 0D_B0 AC BA 4×(8-婴）=，整理，得 4 6 m+n=32. AC-10' 即当四边形ABCD是正方形时， 解得AC=9 m+n=32 期未复习(7)一相似 15.解：(1)AB=+2=5, AC=/2+6=2√/10， 1.C2.1.5 3 3.1:44.D BC=5,DE=1, 548m6.167.3 3 EF=√/22+22=22，DF= 8.- 4 T+2=5, 9.C10.1511.C 12.(1)证明：：在矩形ABCD中， 提胀5 DE⊥AM于点E. ∴.△ABC∽△EDF .∠B=90°.∠BAD=90°. (2)如图，取AC的中点O,连接 ∠DEA=90° B0O,则△AB0是等腰直角三 .∠BAM+∠EAD=90°， 角形， ∠EDA+∠EAD=90° ∴.∠BAM=∠EDA. 在△ADE和△MAB中， 「∠AED=∠B, L∠EDA=∠BAM, ∴.△ADE∽△MAB. ∴.∠A=45° (2)解：：在矩形ABCD中， 16.817.210 AB=4,BC=6,M是BC的中点， 18.(8.4)或(-8，-4)19.18 .BM=3.AM=√4+3=5. 20.(1)证明：四边形ABCD为正 由(1)知，△ADE∽△MAB. 方形， AMAB .AD =AB DC BC, ∴.DADE ∠A=∠D=90. AE=ED, 名解得0E= 5 AE I 13.解：(1)如图， ·AB2 △OA,B,即为所求. DF-C. AEDF ABDE ∴.△ABE∽△DEF. (2)解：四边形ABCD为正 方形， (2)如图. ∴ED∥BG △OA,B,即为所求， A(-6,-2), 器器 B2(-4,2). 14.(1)证明：如图，连接OD 又：DF=号DC,正方形的边长 为4， ∴ED=2,CG=6 ∴.BG=BC+CG=10. 阅盟学是数学九年级全一册RJ版93参考答案 21.(1)解：：△ABC为等边三角形， .∠A=60. :四边形ABPC为圆内接四 边形， .∠BPC=180°-∠A=120°. (2)证明：由(1)知， ∠BPC=120° ·.·∠DBC=180°-∠ABC=120°. ∠PCB=∠BCD ∴.△PCB∽△BCD -品即cB=p.m 又，CB=AC .AC2=CP·CD. 22.(1)证明：.EF⊥BC, FG⊥EF,GH∥EF, ∴.口EFGH为矩形. ·.FG∥BC 指光 ∠BAC=∠FAG ,.△AFG∽△ABC (2)解：EF⊥BC,GH∥EF. .∠FEH=90°，GH⊥BC. ∴.∠GHE=90 又：FG⊥EF,AD⊥BC, ∴.∠EFG=∠ADB=90°. .四边形EFGH,EFND都是 矩形 .ND=EF,AN⊥FG .EF=x,AD=3, ∴ND=EF=x, ∴.AN=AD-ND=3-x. 由(I)得△AFG∽△ABC 品即 91 .FG=9-3x S网边形EM=EF·FG, .y=x(9-3x)=-3x2+9x 312 22(0< =-3(x-2)+ 4 x<3). 当x=弓时y取得最大值，最 大值为孕 23.(1)解：·△BDE由△BAC绕点 B逆时针旋转90°得到， .△BDE≌△BAC. ∠CBE=90. ∴.BE=BC=4,AC=DE=2, ∠BEC=∠C ∴.∠C=∠BEC=45 .∠BED=45, EC=2BC=4√2. ∴.∠DEA=45°+45°=90°， EA=EC-AC=42-2. Sam=2×(4万-2)×2=4 2-2. (2)证明：BA=BD, ∠ABD=90°， .∠ADB=∠BAD=45. ∠BAC=∠AEB+∠ABE= 45°+∠ABE,∠AFE=∠BAF+ ∠ABE=45°+∠ABE, ∴.∠BAC=∠AFE. :∠C=∠AEF, ①如图1，当∠BEF为锐角时， .△ABC△FAE. AC BC ·E示AE ∴EF·BC=AE·AC .·BC=BE B .EF·BE=AE·AC 24.A 图，F 25.(1)证明：：△ABC是等腰直角 以B,E,F为顶点的三角形与 三角形， △BED相似， .∠B=∠C=45°，4B=AC ∠EBF=∠DBE,∠BEF<∠BED AP=AQ,∴.BP=CQ. ∴.∠BEF=∠BDE. E是BC的中点，∴.BE=CE. 如图1，过点D作DM⊥BA于点 在△BPE和△CQE中， M,过点E作EH⊥BC于点H. BE =CE, 根据等角的余角相等，可证得 ∠B=∠C, ∠MDE=∠HDE, BP CQ, ∴EM=EH. ∴.△BPE≌△CQE(SAS). (2)①证明：如图，连接PQ, x,由 又：EM=MB-BE=I6 )知m=, 16 3 -=，解得x=2 D 台2 5 ②如图2，当∠BEF为钝角时， 图2 :△ABC和△DEF是两个全等 的等腰直角三角形， ∴.∠B=∠C=∠DEF=45 :∠BEQ=∠EQC+∠C, D 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C, 图2 .∠BEP+45°=∠EQC+45°. 同理可得x 16_-3 ∴.∠BEP=EQC. 55*, ·△BPE∽△CEQ 解得x=8. ②解：，△BPE∽△CEQ, cEg风 BP BE y=号x8号 .BP=2,CQ=9,BE =CE, 综上所述，△BED的面积是2 2 CE “C-9 或警 .BE CE=32. 期未复习(8)—一锐角三角函数 .BC=62. 1.A2.A3.C4.B5.D 26.解：(1)在△ABC中， 6.57.45 ∠C=90°，AC=6,BC=8, 8.解：BC=√AB-AC .AB =AC +BC =√6+8=10. =√(23)2-32=3. 又：D是边BC的中点， .tan A=BC=3 .CD =DB=4. AC3 如图，过点E作EH⊥CB于点 .∠A=30°∠B=60° 易求m=寻 9.C10.1011.C12.2 13.解：(1)在Rt△ABC中，AC=8, sin B=AC=4 ΓAB5 .AB=10 ..BC =AB AC=10-82 B =6. D IF ∴.BD=BC-CD=6-2=4. 3 6 y=24×= (2)在Rt△ACD中， AD=√AC2+CD=√82+22 (0<x≤或5<≤10 =27, 即=号(0<x≤或5<≤10 .cOs∠DAC= AC 8 =2m (2)依题意，得∠BEF≠90°，故 、4I7 可以分两种情况 17 S 阕盟学基数学九年级全一册RJ版94参考答案 14.解：在Rt△ABC中， :∠ABC=75°，BC=2米， .AB=2 c0s750≈7.722（米）， AC=BC·tan75°≈7.464（米）. AB-AC=7.722-7.464= 0.3(米)， 即竹子比楼房高出约0.3米。 15.解：如图，过点B,C分别作AD 的垂线，垂足分别为E,F 则BE=CF=2米， EF=BC=3米， AB的坡度为5：1， 品 米 ∠ADC=30° .FD = CF CF tan LADCtan 30 =23(米). .AD =AE EF FD -23 3 +3+25 =3+8 3(米). 之坝底0的长度为3+8，米 16.解：如图，延长CD交过点A的水 平线于点M,则∠AMC=90°， B AM=BC =40 m, 在RI△ADM中， tan a DAM AM' ∴.DM=AM·ana=40·an45o =40(m). 在R△ACM中，lanB= AM' ∴.CM=AM·tanB =40×tan609 =403(m). .AB=CM=403(m), CD=CM-DM=(403-40)m, 即建筑物AB的高度为40√3m, 建筑物CD的高度为(40√5- 40)m. 17.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB,期末复习( 考点过关 考点①》相似的概念及性质 1.下列两个图形一定相似的是 A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个正方形 D.两个等腰梯形 2.如图，在△ABC中，点D,E分别 在边AB,BC上，DE∥AC,若 BD =4,DA =2,BE =3,EC B ,△ABC与△BED的相 似比为 考点②》相似三角形的周长与面积 3.两个相似三角形的周长比是1：4，那么这两个三 角形的相似比是 4.(2023·海珠区校级开学)如图，在平行四边形 ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3.连接 AE,BD交于点F,则SADER:SARA等于 A.2:5 B.2:25 C.4:5 D.4:25 考点③》相似三角形的应用 5.如图，身高1.6m的小华站在距 路灯杆5m的C点处，测得他 在灯光下的影长CD为2.5m, 则路灯的高度AB为 考点④》位似 6.(2023·荔湾区期中)如图， △ABC与△A'B'C'是位似图 形，点0是位似中心，若 0A=AM',则SAARC=4,则 S△ArgC= 考点⑤》平行线分线段成比例定理 7如图，直线AB∥D∥即，能=子，则架 阀盟学墓数学九年级全一册RJ版2 相似 8已知子=4则， 9.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成 比例的是 () A.2,5,10,25 B.4,7,4,7 c2774 D.2,5,25,52 考点⑥》相似的判定 10如图，已知∠B=∠ABD,且2=号，E=10,则 BC= 第10题 第11题 11.如图，已知△ABC,P是边AB上一点，连接CP 使△ACP∽△ABC成立的条件是 () A能-光 架光 C.AC2=AP·AB D.AB2=AP·AC 曰核心考题、》 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,M是BC 的中点，DE⊥AM于点E. (1)求证：△ADE∽△MAB; (2)求DE的长. 7 期末复习(7) 13.如图，已知0是坐标原点，A,B的坐标分别为 (3,1),(2,-1) (1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到 的△OAB1; (2)以点0为位似中心，相似比为2，在y轴左 侧将△OAB放大，得到△OA2B2,在网格中 画出△OAB2并直接写出A2,B2两点的 坐标 14.如图，⊙0的半径为4，B是⊙0外一点，连接 OB,且OB=6,过点B作⊙O的切线BD,切点为 D,延长B0交⊙O于点A,过点A作切线BD的 垂线，垂足为C,连接AD. (1)求证：AD平分∠BAC: (2)求AC的长. 阀盟学墓数学九年级全一册RJ版？ 15.如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF. (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)求∠A的度数 16.如图，点P处放一水平的平面镜，小明站在点B 处恰好能从镜子里看到古城墙CD的顶端C,已 知小明的眼睛距离地面的高度AB=1.2米， BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度 是 米 TEH B P 17.如图，CD是Rt△ABC边上的高，AD=6,BD=4, 则BC= D B 18.(2023·海珠区校级开学)△AOB的顶点坐标分 别为A(4,2),B(3,0),0(0,0).若以原点0为 位似中心将图形放大2倍，则点A的对应点的 坐标为 19.(2023·仁化县二模)如图，以点0为位似中 心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已 知8-号，若四边形ABCD的面积是2，则因边 形A'B'CD'的面积是 D B B 8期末复习(7) 提升考题9 20.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD 上的点，AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交 BC的延长线于点G (1)求证：△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4，求BG的长 E D B G 阀盟学墓数学九年级全一册RJ版？ 21.(2023·金湾区一模)如图，⊙0为等边△ABC 的外接圆，P为劣弧BC上任一点，CP的延长线 和AB的延长线相交于点D. (1)求∠BPC的度数； (2)求证：AC2=CP·CD. D 9期末复习(7) 22.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为BD上 一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F,过点F 作FG⊥EF分别交AD,AC于点N,G,过点G作 GH∥EF交BC于点H. (1)求证：△AFG△ABC; (2)若AD=3,BC=9,设EF的长度为x,四边形 EFGH的面积为y,求y与x之间的函数表 达式，并求y的最大值， 阀盟学墓数学九年级全一册RJ版 23.(2023·东莞模拟)如图，△BDE由△BAC绕点 B逆时针旋转90°得到，且点E恰好落在AC所 在直线上，AD,BE相交于点F (1)若BC=4,AC=2,求△ADE的面积； (2)求证：EF·BE=AE·AC 24.(2023·越秀区二模)如图，在等边三角形ABC中， P,Q分别是边AC,BC上的动点（都不与线段端点 重合)，且AP=CQ,AQ,BP相交于点O.下列四个 结论：①若PC=2AP,则B0=6OP;②若BC=8, BP=7,则PC=5:③AP2=OP·AQ;④若AB= 3,则0C的最小值为3，其中正确的是( A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③ 0期末复习(7) 25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角 形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与 △ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点 E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交 于点P,线段EF与射线CA相交于点Q (1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE; (2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时， 求证：△BPE∽△CEQ;并求出当BP=2, CQ=9时，BC的长 F E E 图1 图2 阀盟学墓数学九年级全一册RJ版 26.(2023·海珠区校级开学)如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC=8,D是边BC的中点，E 为边AB上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交 射线BC于点F,设BE=x,△BED的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)若以B,E,F为顶点的三角形与△BED相 似，求△BED的面积 D 1期末复习(7)