上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海外国语大学附属浦东外国语学校 2024学年度第二学期高一年级期末考试数学卷 考生注意； 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若，则_________． 2. 已知，则______． 3. 若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______． 4. 已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为___________. 5. 函数的单调区间为_________． 6. 已知，则的取值范围是_________． 7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为_________. 8. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 9. 在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 10. 空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 12. 设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为___________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 15. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 18. 如图，在直角梯形中，． （1）求； （2）若为边上一点，且，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小. 20. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将沿着折起，使点 到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明：平面； （2）当点 与点 重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为 ，二面角的平面角为 ，求的最大值． 上海外国语大学附属浦东外国语学校 2024学年度第二学期高一年级期末考试数学卷 考生注意； 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】6 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】72m 【8题答案】 【答案】或 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 【19题答案】 【答案】（1） 因为底面为菱形，所以， 因为平面，且平面， 所以平面； 因为平面，且平面平面， 所以； 因为平面，且平面， 所以平面. （2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）岛屿到补给站的距离 （3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面 ，平面 ，所以， 又 ，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $