精品解析：四川省德阳市2024——2025学年下学期八年级期末学业水平检测数学试卷

2025年春期八年级期末学业水平监测 数学试卷 说明： 1，本试卷分第I卷和第Ⅱ卷．第1卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过一、二、三象限 C. 随增大而增大 D. 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到 4. 如果，那么下面各式正确的是（ ） A. B. C D. 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 11. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 12. 如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第II卷（非选择题 共114分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上．） 13. 已知函数是一次函数，则________． 14. 计算：的结果为___． 15. 已知一组数据：，，，…，的方差是3，则另一组数据：的方差是______． 16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________． 17. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 19. 计算： （1）. （2）. 20. 2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“”、“”的评分统计表 品牌 平均数 众数 A等级所占百分比 88 98 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a，b，c的值； （2）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有多少人？ 21. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 22. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 23. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 24. 已知，如图，和都等腰直角三角形，，为边上一点． （1）求证：≌； （2）求证：． 25. 如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． （1）点坐标为(________，________)． （2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期八年级期末学业水平监测 数学试卷 说明： 1，本试卷分第I卷和第Ⅱ卷．第1卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故不符合题意； B．与不是同类二次根式，故不符合题意； C．与不是同类二次根式，故不符合题意； D．与是同类二次根式，故符合题意． 故选D． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过一、二、三象限 C. 随的增大而增大 D. 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴图象不过点，故错误； ∵，， ∴图象经过一、二、四象限，故错误； ∵， ∴随的增大而减小，故错误； 一次函数的图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故正确； 故选：． 4. 如果，那么下面各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键． 由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可． 【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数． A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误； B、 ，故选项错误； C、 ，故选项正确； D、 ，故选项错误； 故选：C 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质、求算术平方根，根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】∵， 且， ∴， ， ∴， . 故选：B. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设折断处离地面的高度是尺， 由勾股定理得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 9. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选A． 10. 已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得的值． 【详解】解：∵函数，当时，函数有最大值为， ∴当时，，此时时，取得最大值，即，得(不合题意，舍去)； 当时，时，取得最大值，此时，得(不合题意，舍去)； 当时，，此时时，取得最大值，即，得； 由上可得，的值为1， 故选：A． 11. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，进一步求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ∵，，， ∴， 根据题意，可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得， 则有， 又∵， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 12. 如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故②正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故③正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故②正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故③正确； 综上分析可知，①②③正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第II卷（非选择题 共114分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上．） 13. 已知函数是一次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 14. 计算：的结果为___． 【答案】1 【解析】 【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键． 15. 已知一组数据：，，，…，的方差是3，则另一组数据：的方差是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．根据方差的计算方法进行即可求解． 【详解】解：数据的方差是3，设数据的平均数为， ∴， ∴， 设一组新数据，，…，的平均数为， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3 ． 16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________． 【答案】36° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝52°， 由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°， ∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°， ∴∠FED′＝108°－72°＝36°； 故答案36°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键． 17. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点纵坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 19. 计算： （1）. （2）. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数次幂、零次幂等： （1）先计算零次幂、乘方，二次根式除法，负整数次幂，再进行加减运算； （2）先计算二次根式的乘法，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“”、“”的评分统计表 品牌 平均数 众数 A等级所占百分比 88 98 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a，b，c的值； （2）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】（1）15；88；97 （2）239人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，利用样本估计总体，掌握平均数、众数的定义是解题的关键． （1）用1减去A，B，D所占百分数，即可得到；根据平均数定义可求b；根据众数的定义可求c； （2）用总人数乘以A等级所占百分比，然后相加即可． 【小问1详解】 解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：， ， ∴ 平均数为：， 抽取对“”的评分数据中，97出现了3次，出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：15；88；97； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人． 21. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， 又，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：， ， 是等边三角形， 菱形的边长为4，高为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质． 22. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 23. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）共有种满足条件的方案； （3）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，解不等式即可求解； （3）设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得：， ， ∴共有种满足条件的方案； 【小问3详解】 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 24. 已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点． （1）求证：≌； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由等腰直角三角形的性质得，，从而由即可证明两个三角形全等； （2）由全等三角形的性质可以证明是直角三角形，然后用勾股定理即可证得结论成立． 【小问1详解】 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌． 【小问2详解】 证明：∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴ 由（1）知，， ∴， ∵， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中证明两个三角形全等是解题的关键． 25. 如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． （1）点坐标为(________，________)． （2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 故答案：． 【小问2详解】 解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴， 解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：由上已得：，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$