精品解析：江苏省泰州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期末调研测试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：范继荣 李玉莲 舒结高 顾建军 审题人：吴春胜 凌舜明 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 2. 某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（ ） A 1200 B. 1440 C. 1800 D. 2400 3. 已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆锥型容器底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是实数 D. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（ ） A. 三点共线 B. C. 直线与平面所成角小于 D. 三棱锥体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 13. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为__________. 14. 连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： （1）这一组的频率和频数分别为多少？ （2）估计该次环保知识竞赛及格率（60分以上为及格）； （3）估计这组数据80百分位数. 16. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 17. 如图，已知的夹角为. （1）求的值； （2）若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 18. 如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 19. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期末调研测试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：范继荣 李玉莲 舒结高 顾建军 审题人：吴春胜 凌舜明 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求. 【详解】，. 故选：B. 2. 某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（ ） A. 1200 B. 1440 C. 1800 D. 2400 【答案】B 【解析】 分析】利用各层数量比可得答案. 【详解】，解得. 故选：B. 3. 已知复数在复平面内所对应点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可得，然后利用复数的乘法、除法运算可求. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点分别为和， 所以， 则. 故选：A. 4. 已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误. 【详解】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得. 【详解】函数，由，得， 由，得，则，， 所以 . 故选：A 7. 已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底面半径、球的半径和表示相关参数，利用相似三角形建立关系，根据球体积公式计算球的半径，代入圆锥底面半径和母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面半径为，圆锥高为，底面直径与母线长相等，则母线长， 再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为， 根据勾股定理，， 画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得： ，即，，， 已知球的体积为，则，解得，， 所以，， 根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为. 故选：C. 8. 已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是实数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】复数，则，再利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可. 【详解】设复数，则， 所以，当时，实数，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得，继而可判断各项. 【详解】，，故A正确； ， ，即， 相加得， 解得， ， ，故BC错误； , 在上的投影向量为,故D正确； 故选：AD. 11. 半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（ ） A. 三点共线 B. C. 直线与平面所成角小于 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题易知两球有唯一公切线即可判断A选项，根据确定的平面与球相切，可得平面，，接着可得到外接圆半径为，利用正弦定理可求得到B选项，就是直线与平面所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由外接圆半径为及，可计算，再得到，然后利用体积公式可算体积. 【详解】 因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案. 【详解】这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案：2. 13. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得平面，即，然后即可得的值. 【详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即平面， 所以， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 即，所以. 故答案为：. 14. 连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 【答案】 ①. 8 ②. 7 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生， 所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1， 所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以， 当时，第一次点数不可能为1，此时， 当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为， 所以的值为7. 故答案为：8，7. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： （1）这一组的频率和频数分别为多少？ （2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； （3）估计这组数据的80百分位数. 【答案】（1）频率为，频数为； （2） （3）83.5. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解， （2）根据图中数据即可求解频率得解， （3）根据百分位数的计算即可求解. 【小问1详解】 频率为，频数为； 【小问2详解】 及格率为； 【小问3详解】 因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. 16. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可； （2）方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可；方法二：根据正切值，结合同角三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 方法一： 因为， 分母不能为0，故， 所以， 即. 方法二： 由得角的终边在第一象限或第三象限， （）当角的终边在第一象限时， 全由得， 所以， 所以； （）当角的终边在第三象限时， 由得， 所以， 所以. 综上所述，. 17. 如图，已知的夹角为. （1）求的值； （2）若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 【答案】（1）-28 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律求解 （2）（i）方法一：根据，即可根据相反向量化简求解；方法二：连接，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 由得， 所以 . 【小问2详解】 （i）方法一： 因为， 因为的中点分别为， 所以，即， 由不共线得. 方法二： 连结，取的中点， 则， 由不共线得. （ii）因为 ， 所以. 18. 如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定可证平面； （2）根据线面垂直的判定可证平面，继而可得； （3）由（2）知就是二面角的平面角，过作，垂足为，连结，继而可证为二面角的平面角，即，再利用四棱锥的体积为，可得的长. 【小问1详解】 在长方体中， 所以四边形为矩形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问3详解】 因为二面角的大小为， 由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以， 过作，垂足为，连结，因为为的中点， 所以，因为平面平面， 所以，因为相交，且平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 所以，因为平面，点在平面内， 所以为平面与平面的距离，故， 所以. 19. 在中，，设分别. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）（i）0；（ii）3 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【小问1详解】 （i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； 【小问2详解】 设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$