精品解析：江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在正方体中，与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即或其补角， 是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：B 2. 记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可 【详解】，得， 因为是的两条边，所以不共线， 所以 故选：D 4. 设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判断定理和性质定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】甲：没有说明平面内的两条直线相交，所以甲推不出乙， 反过来，若乙成立，则与平面内的任意直线垂直，则乙能推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5. 复数与复平面内的点对应，则（ ） A. B. C. 2 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入计算即可. 【详解】由题意复数与复平面内的点对应， 所以， 所以，所以. 故选：. 6. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断. 【详解】由题意可知，，所以， 则，所以数据的平均数是， ， ， 与的分子相同，比较分母，可知，， 故选：C 7. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 8. 在中，，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 即， 则， 即，其中，， 其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立， ，， 设，由， 则，所以的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，方程的两个根为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据求根公式求出方程的两个根，再根据选项依次计算即可. 【详解】由求根公式可知，方程的两个根分别为、， 两根互为共轭复数，即互为共轭复数，故正确； 两根的模长相等且均为，故正确； ，， 即，故正确； ， ， 所以或，而， 所以，故错误. 故选：ABC. 10. 已知事件满足，则（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若互斥，则，则，故B正确； 对于C，若独立，则，故C正确； 对于D，若独立，则 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积小于三棱锥的体积 D. 三棱柱的体积的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据等腰三角形的性质得到，然后利用线面垂直的性质和判定定理得到；B选项，先假设成立，然后根据和得到平面，然后结合A选项的结论即可得到平面不成立，即可说明不成立；C选项，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，然后结合为中点，即可得到体积相等；D选项，将三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后设，计算体积，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】 连接，，，， 因为，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 若，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，，所以平面， 由A选项可知，不可能垂直平面，故B错； 由题意得，所以， 因为为四边形的交点，所以为的中点， 又为中点，所以点到底面的距离相等， 所以，故C错； 由题意得， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 设，则， ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题CD选项解题关键在于进行体积的转化，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后去计算即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷两颗质地均匀骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，且， 根据相互独立事件的概率乘法公式，可得. 故答案为：. 13. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示条件求出m的值，进而求出，向量在向量上的投影向量为计算可得. 【详解】由，又， 所以，得， ， 则向量在向量上的投影向量的坐标为， 故答案为： 14. 如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为__________米：猎人行走至点的最短路程是__________米. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可. 【详解】过作的平行线，且， 因为，所以为的平面角，， 由， 在中，由余弦定理可得： 所以，， 因为，所以四边形平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面, 所以平面平面,所以， 在中，,所以， 把二面角展开成一个平面，, 在中， 所以. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求出的值，再利用正弦余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可； （2）利用两角差的正切公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因此， ； 【小问2详解】 16. 某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数； （2）为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率. 【答案】（1）70，84 （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数和平均数的求法即可求解； （2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 百分位数为， 设心跳次数， 则， 所以这批志愿者的心跳数的平均数为； 【小问2详解】 由从高于次的检测者中分层抽样6人得 抽4人，记为，，，， 抽2人，记为，， 记“抽中的2人心跳数高于”为事件， 从6人中任取2人有，，，，，，，，，， ，，，，，共15种，2人心跳数高于有，1种， 则，即抽中的2人心跳数高于的概率为. 17. 在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，由余弦定理化简可得，再根据正弦定理化简计算即可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可； （2）由余弦定理可得，根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根据求解即可. 【小问1详解】 若选①，根据余弦定理得， 由正弦定理可得，即. 因为，所以. 又，所以，又，所以. 若选②，因为，所以由正弦定理， 可得， 即，整理得， 因为，所以，可得，即， 因为，所以. 若选③，因为， 所以由正弦定理可得：， 因为，所以； 可得,无法得出A，该条件不合题意； 【小问2详解】 由（1）得，因，由正弦定理，， 则， ， 因为且， 所以，所以，所以的取值范围为. 18. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析 （2）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【小问1详解】 （i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； 【小问2详解】 取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 19. 在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. （1）若是所在平面内的任意一点，求的最小值； （2）（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或 【解析】 【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得 （2）（i）首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出，然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出即可 【小问1详解】 如图， 由题意得，又， 所以， 所以在中，， ， 所以， ； 取的中点为，的中点，则， 则， 即当为中点时，取最小值； 【小问2详解】 以A为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系， 设，，则，， 由题意得， ， （i）因为是的重心，所以， 即，所以，； （ii）由得： ，即 所以， 因此，由得， 当时，，此时，， ， 由，得； 当时，，此时，， ， 由，得. 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在正方体中，与所成的角为（ ） A. B. C. D. 2. 记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 复数与复平面内的点对应，则（ ） A. B. C. 2 D. 25 6. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 7. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 24 D. 32 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，方程的两个根为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件满足，则（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 11. 如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积小于三棱锥的体积 D. 三棱柱的体积的最大值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则__________. 13. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 14. 如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为__________米：猎人行走至点的最短路程是__________米. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数； （2）为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率. 17. 在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③ （1）求； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 19. 在中，，过点A分别作垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为. （1）若是所在平面内的任意一点，求的最小值； （2）（i）若是的重心，求的值； （ii）若为实数，为正整数，求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$