精品解析：湖北省武汉市新洲区第一中学阳逻校区2024-2025学年高二下学期期末数学试卷

新洲一中阳逻校区高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知条件，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义可得结果. 【详解】由，可推出，故充分性成立； 由，可得，即，解得：或，故必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 为了研究某市高二学生脚长（单位：）和身高（单位：）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为，身高，则该样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归方程必过点求出，即可得到回归方程，再根据残差的定义计算即可. 【详解】因为，，又经验回归方程必过点， 所以，解得，所以， 当时， 所以该样本点的残差为. 故选：B. 4. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 5. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数性质结合大小关系可判断选项正误. 【详解】是偶函数，. ，，． 又，结合在上为增函数， ， 即． 故选：A 6. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可. 【详解】易知对称轴为，故，易知，， 可得，而，故在上单调递增， 且， ，故， 故是的子集， 可得，解得，故B正确. 故选：B 7. 设函数，若关于的方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，及直线，由图象知，，求出，代入后利用函数单调性可得结论． 【详解】如图，作出函数有图象，再作直线，时，满足题意， 由图知，，∴，即， 由得，因此， ，易知函数在时是增函数， 所以， 故选：D． 8. 连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 是增函数 C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线及其对称性依次判断各项的正误. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，根据正态分布曲线，当x增大时减少，所以是减函数，错误； 对于C，，显然的图象不关于轴对称，错误； 对于D，因为X服从正态分布，正态曲线关于对称， 所以，则，正确． 故选：D 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B.  图象关于点成中心对称 C.  的最大值为 D. 幂函数在上为减函数，则的值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值. 【详解】对于A，函数的定义域为，由得， 则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象， 则函数的图象的对称中心为，B正确； 对于C，函数在R上单调递减，且， 则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误； 对于D，因为函数为幂函数， 所以， 解得，D正确. 故选：BD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断各选项． 【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立，A正确； ，当且仅当，即时等号成立，B正确； 时，，但，C错误； ，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数对称性定义判断A，利用周期性的定义判断B，利用给定区间的函数解析式求解未知解析式判断C，利用周期性对函数求和判断D即可. 【详解】由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确. 由可得又, 所以可知的图象关于对称， 所以， 所以是周期为4的周期函数， 则故B错误. 当时, 又因为 所以 即在区间上的解析式为故C错误. 因为，， 所以， 所以， 所以.故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解. 三、填空题 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知当时，有解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的范围，再分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性，求出的范围，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为当时，， 当时，在上单调递增，且， 显然无解，故舍去； 当时，在上单调递减，且， 要使当时，有解，只需，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 14. 函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】设，结合函数图象可得有两个根，且一个在上，一个在上，设，①当有一个根为1时，由，求得的值，检验符合题；②当没有根为1时，由，求得的范围，综合可得结论. 【详解】根据函数的图象，设， 关于的方程有三个不同的实数解， 即为有两个根，且一个在上，一个在上， 设， ①当有一个根为1时，，此时另一个根为，符合题意；②当没有根为1时，则，解得， 综上可得，的取值范围是，故答案为. 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 四、解答题 15. 某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 （1）请完成列联表； （2）根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 001 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 【答案】（1）答案见解析； （2）能． 【解析】 【分析】（1）利用已知数据求和即可得到列联表； （2）利用卡方公式计算，再与参考数据对照，即可得出判断． 【小问1详解】 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 5 二班 15 25 40 合计 50 40 90 【小问2详解】零假设为：推广新课改与总成绩是否优秀无关． 根据列联表中的数据，得到 故根据的独立性检验，可以认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系． 16. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2），或 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质结合题意列方程可求参数的值； （2）利用对数的运算性质转化题设不等式，结合换元法可求不等式的解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 因为是偶函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则 恒成立，因此； 【小问2详解】 若，则 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以，或. 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见详解， （3）0.3 【解析】 【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可； （2）根据分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据题意分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 因为，解得. 【小问2详解】 由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 可知可取0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的期望为. 【小问3详解】 因为高度在的频率为0.1， 用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1， 由题意可知：，所以. 18. 已知函数（且）. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，均有，求最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法可求的最大值； （2）参变分离可得，均有，变形利用基本不等式可求得的最小值，从而可得的最大值； （3）令，令，对分类讨论求得值域，可得所满足的条件，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最大值为1 【小问2详解】 因为，所以， 由题“”即：“，均有” 当且仅当时等号成立，故，即的最大值为4 【小问3详解】 令，则，令， ①当时，由，则，则在上单调递减， 又， 所以，依题意，故； ②当时，由，则， 1）当时，在上单调递减， 所以恒成立，符合题意； 2）当时，在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，故， 综上可得，的取值范围是. 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 【答案】（1），；，； （2）； （3）为上的“4阶收缩函数”. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合的单调性分析求解即可； （2）分析可知在内单调递增，，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意求的解析式，分、和三种情况，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为在内单调递增， 所以，；，. 【小问2详解】 因为与恰好为同一函数， 可知在内单调递增， 令，可设， 因为的图象开口向下，对称轴为， 若，则在内单调递减，且， 可知在内单调递减，则，解得，不合题意； 若，则在内单调递增，且， 可知在内单调递增，则，解得； 综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 因为在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：，， 可得， （i）当时，则，可得， ①若，则，符合题意，可知； ②若，则， 且在内的值域为，可得； 综上所述：； （ⅱ）若，则，即， 且在内的值域为，可得； （ⅲ）若，则，可得， 可知对任意恒成立， 令，则在内单调递增， 可知，可得； 综上所述：， 且为最小正整数，可得，所以为上的“4阶收缩函数”. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中阳逻校区高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知条件，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了研究某市高二学生脚长（单位：）和身高（单位：）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为，身高，则该样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若关于方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 是增函数 C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数定义域为，则函数的定义域为 B.  图象关于点成中心对称 C.  的最大值为 D. 幂函数在上为减函数，则的值为 10. 设正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若在区间上解析式为，则在区间上的解析式为 D. 三、填空题 12. _____. 13. 已知当时，有解，则实数的取值范围是________． 14. 函数的图象如图所示，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________ 四、解答题 15. 某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 （1）请完成列联表； （2）根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 010 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 16. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 18. 已知函数（且）. （1）当时，求最大值； （2）若对任意，均有，求的最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围. 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $