江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学期末试卷 审题人：曹玉璋 命题人：唐宇力 一、单项选择题 1. 复数是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 二、多项选择题 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 11. 已知关于 的方程:有两个正根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________． 14. 已知等比数列满足且，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前12项和. 16. 已知函数，. （1）求证：； （2）任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面BDE； （3）求二面角的正切值. 18. 已知曲线和曲线. （1）若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； （2）若直线与曲线相切，求证：； （3）若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：对任意不等式恒成立； （参考数值：，，） （3）无穷数列，，，请探究是否存在，使得？ 南昌二中2024-2025学年度下学期高二数学期末试卷 审题人：曹玉璋 命题人：唐宇力 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2）4095 【16题答案】 【答案】（1） 因为，所以， 因为，， 所以， 所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）证明：在正三棱柱中，且， 又，，可得正方形，故， 因为D，E分别是AC，的中点，所以，故得； 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面BDE，故平面； （3） 【18题答案】 【答案】（1） 设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2） 将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3） 设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 【19题答案】 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是：. （2） 证明不等式恒成立 本题可构造函数，结合（1）中函数单调性进行证明. 令，， 将其变形为. 对求导：， 当时，，令，求导得， 所以在上单调递增，，则，在上单调递增，. 由参考数值，，可得. ·当时，，，， 单调递增，，所以， 在上单调递减，， 又. 综上，对任意，不等式恒成立. （3）存在 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $