精品解析：河南省驻马店市上蔡县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级期末检测试卷 数 学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（ ） A. B. 8 C. D. 7 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为，则方程组的解为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 3 8. 在平面直角坐标系中，、，将点绕点顺时针旋转得到点，则过点的反比例函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（　　） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校距离与所用时间之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 10. 如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算______． 12. 在评选活动中，6位评委打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 13. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 14. 如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点A、C分别在轴、轴上，顶点．将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为______． 15. 如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则菱形ABCD的周长为______厘米． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 18. “出门看星（级），消费看评（价）”俨然成了新时代消费态度．近期，小明一家计划自驾到许昌游玩，为了选择一个最合适的饭店，小明对某平台推荐的A、B两个饭店进行了调查与评估，他依据网友对饭店从“味道赞、服务好、装修精美、停车方便”四个方面的评分（10分制），制成下表： 饭店 项目 味道赞 服务好 装修精美 停车方便 A 7 8 8 6 B 9 7 7 7 （1）根据表格得出A饭店各方面评分的中位数是______，B饭店各方面评分的众数是______． （2）小明想选一个综合得分高的饭店，若四个方面的评分的权重如图所示，请通过计算回答小明会选择哪个饭店？ 19. 如图，矩形四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）画出反比例函数的图象； （3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 20 如图，矩形对角线交于，延长到，使，延长到，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ， ，求菱形的面积． 21. 综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 23. 如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且，PE交CD于F，连结CE． （1）求证：； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当时，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期八年级期末检测试卷 数 学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围的判断， 根据题意可知，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：B． 2. 研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（ ） A. B. 8 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数，据此即可解答． 【详解】解：， 为． 故选：C． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和积乘方，先计算积的乘方，再计算负整数指数幂即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 不等式的解集为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了一次函数与方程和不等式，根据不等式的解集为，得出一次函数与的交点横坐标为3，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴一次函数与的交点横坐标为3， ∴交点纵坐标为， 则方程组的解为， 故选：A． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为正数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 7. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点．则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果．本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出点位置是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点与关于对称， ， ∴最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，，，， ∴． 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，、，将点绕点顺时针旋转得到点，则过点的反比例函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作BD⊥轴于D，CE⊥轴于E，证得Rt△ABDRt△CAE，求得点C的坐标为(6，2)，即可求得过点C的反比例函数关系式． 【详解】作BD⊥轴于D，CE⊥轴于E， ∵A(3，0)、B(1，3)， ∴AO=3，DO=1，BD=3，则AD=2， 根据旋转的性质得：∠BAC=90，AB=AC， ∴∠B+∠BAD=90，∠CAE+∠BAD=90， ∴∠B=∠CAE， 在Rt△ABD和Rt△CAE中， ， ∴Rt△ABDRt△CAE， ∴AD=CE=2，BD=AE=3，则EO=AE+AO=6， ∴点C的坐标为(6，2)， 设过点的反比例函数关系式为， ∴， 反比例函数关系式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，作出辅助线、利用旋转的性质和全等三角形的性质求出旋转后的点的坐标是解题的关键． 9. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（　　） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】考查函数图像的问题，充分理解两个量之间的函数关系是解题关键 先理解函数图像的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图像 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系； ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系． 故选：A． 10. 如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和菱形的综合，旋转的性质，菱形的性质以及求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和菱形的性质．根据周期性确定点的最终位置，通过菱形的性质和中心对称得出，最后利用全等三角形的性质得出． 【详解】解：由题意得菱形旋转4次为一个周期， ∴ 如图所示，此时点落在了处，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 根据旋转的性质可得，， ， ∵，根据菱形的性质，对角线互相平分， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减． 直接同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：原式= ． 12. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为， ； ∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为， ， ， 故答案为：． 13. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点A、C分别在轴、轴上，顶点．将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形平移，熟练掌握正方形性质，平移性质，一次函数性质，是解题的关键．当平移到上时，，求出x值，可得移动的距离，根据即得的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点与原点重合，顶点A、分别在轴、轴上，顶点． ∴， ∵将正方形向左平移，点恰好落在的图象上， ∴把代入中， 得， ∴． ∴平移的距离为， ∴的对应点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则菱形ABCD的周长为______厘米． 【答案】8 【解析】 【分析】结合图像当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC=cm，同理求出BD=2cm，利用菱形性质即可求出AD=AB=BC=DC=2cm，从而可得答案． 【详解】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大， 当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图像知此时y=PQ=cm， ∴AC=cm， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC= AC=cm， 当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图像，可得此时，y=BD=2cm， ∴OD=OB=BD=1cm， 在Rt△ADO中，cm， ∴AD=AB=BC=DC=2cm， 所以菱形ABCD的周长为8 故答案为：8． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图像分析出菱形的两条对角线长是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、0指数与负整数指数幂的运算，也考查了分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 （1）先化简绝对值、计算立方根、0指数与负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质得，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 如图直线、线段为所求 【小问2详解】 四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ，． 为的垂直平分线， ． ． ． 又． ． 四边形是平行四边形 为的垂直平分线， ． 四边形是菱形． 18. “出门看星（级），消费看评（价）”俨然成了新时代消费态度．近期，小明一家计划自驾到许昌游玩，为了选择一个最合适的饭店，小明对某平台推荐的A、B两个饭店进行了调查与评估，他依据网友对饭店从“味道赞、服务好、装修精美、停车方便”四个方面的评分（10分制），制成下表： 饭店 项目 味道赞 服务好 装修精美 停车方便 A 7 8 8 6 B 9 7 7 7 （1）根据表格得出A饭店各方面评分的中位数是______，B饭店各方面评分的众数是______． （2）小明想选一个综合得分高的饭店，若四个方面的评分的权重如图所示，请通过计算回答小明会选择哪个饭店？ 【答案】（1）7.5，7 （2）B饭店 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，加权平均数的应用，解题的关键是： （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据加权平均数求解即可． 小问1详解】 解：A饭店的得分从低到高排序为6、7、8、8， ∴中位数为， B饭店的得分从低到高排序为7、7、7、9，其中7出现次数最多， ∴众数位数为， 故答案：7.5，7； 【小问2详解】 解：A饭店的得分为 B饭店的得分为 因为， 所以小明会选择B饭店． 19. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）画出反比例函数的图象； （3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】（1） （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：三个整数点，如图所示： 【小问3详解】 解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数图象上时，平移的距离为． 20. 如图，矩形对角线交于，延长到，使，延长到，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ， ，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理求出，则，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 证明：矩形 ，， 又， ， 四边形为平行四边形 又 ， 平行四边形为菱形 【小问2详解】 由（1）知四边形为菱形， ， 在中，， , 21. 综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 【答案】问题一、甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． 问题一、设甲规格每套元，则乙规格每套元，根据用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列方程：，解方程求出两种规格的单价； 问题二、设甲规格购买了套，则乙规格购买了套，列不等式求出，购买费用为，所以随着的增大而减小，购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【详解】问题一、解：设甲规格每套元，则乙规格每套元， 根据题意可得：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ， 答：甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、解：设甲规格购买了套，则乙规格购买了套， 根据题意可得：， 解不等式得：， 则购买的总费用是， ， 随着的增大而减小， 当时，才能使购买总费用最少， 最少费用是(元)， 此时(套)， 答：购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先结合点，可求得的值，即可确定反比例函数解析式；再确定点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）首先确定点坐标，结合易得，即可获得答案； （3）结合一次函数与反比例函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 把，代入（）， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 由图像可知，当时，自变量x取值范围是或． 23. 如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且，PE交CD于F，连结CE． （1）求证：； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在正方形ABCD中，根据P为对角线BD上的一点可得：，，即可得出； （2）根据（1）中的全等三角形，得：，，由得出：，推出，又，得出，即可得是等腰直角三角形； （3）根据（1）中的全等三角形，得：，，由得出：，，由得，由，得，∠EPC=60°，由，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴，， 在和中， ∴ (SAS) （2）∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 （3）解：如图2，是等边三角形 理由：∵四边形ABCD是菱形 ∴，， 在和中， ∴ (SAS) ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理与性质定理，与特殊的四边形相结合，通过等腰三角形的性质得到角的关系，由正方形到菱形，是属于类比的题型，方法与前面相似，是中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$