专题01 平方根和立方根的综合7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题01 平方根和立方根的综合 目录 典例详解 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 类型二、算术平方根的非负性 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型四、与算术平方根有关的规律探究题 类型五、利用平方根、立方根解方程 类型六、平方根与立方根的综合应用 类型七、平方根与立方根的实际应用 压轴专练 类型一、一个数的平方根、算术平方根、立方根 算术平方根：一个正数的算数平方根用符号表示为， 平方根：一个非负数的平方根用符号表示为 立方根：一个数的立方根用符号表示为. 注意几个特殊值：0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有和1 【例1】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【例2】若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【变式1-1】已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【变式1-2】已知的算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 【变式1-3】已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 类型二、算术平方根的非负性 【例3】在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【例4】小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【变式2-1】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知非零实数a，b满足，则 ． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 处理方式： 求算术平方根的整数部分和小数部分时，先找到两个连续整数，使被开方数介于它们的平方之间，较小整数即为整数部分，再用该算术平方根减去整数部分得到小数部分， 【例5】若，且、为连续正整数，则= 【例6】估计的值在（    ） A．4 到5之间 B．5 到6之间 C．6  到7之间 D．7 到 8 之 间 【变式3-1】的整数部分是 ，小数部分是 ． 【变式3-2】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【变式3-3】根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 类型四、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 处理方式： 先从简单的特殊数值入手，计算出相应算术平方根，观察数值变化、运算结构等特征，对比不同算式间的异同，尝试用含字母的代数式归纳出通用规律，再代入新数值进行验证，确保规律的正确性。 【例7】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例8】【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【变式4-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【变式4-3】学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 类型五、利用平方根、立方根解方程 处理方式： 利用平方根、立方根解方程，先将方程变形为或的形式， 对于，根据平方根定义，解为； 对于，依据立方根定义，解为，求解后要检验所得的根是否符合原方程。 【例9】利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【例10】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【变式5-1】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式5-2】已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 类型六、平方根与立方根的综合应用 【例11】已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【例12】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【变式6-1】已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【变式6-2】（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【变式6-3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 类型七、平方根与立方根的实际应用 【例13】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【例14】综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【变式7-1】如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【变式7-2】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【变式7-3】阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 4．小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ． 7．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 8．阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 9．小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 三、解答题 10．求满足下列各式的未知数x的值： (1)； (2)； (3)． 11．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 12．【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 13．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根和立方根的综合 目录 典例详解 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 类型二、算术平方根的非负性 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型四、与算术平方根有关的规律探究题 类型五、利用平方根、立方根解方程 类型六、平方根与立方根的综合应用 类型七、平方根与立方根的实际应用 压轴专练 类型一、一个数的平方根、算术平方根、立方根 算术平方根：一个正数的算数平方根用符号表示为， 平方根：一个非负数的平方根用符号表示为 立方根：一个数的立方根用符号表示为. 注意几个特殊值：0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有和1 【例1】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 【例2】若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得． 由题意可知：， 解得：． （2）解：∵，， ∴， ∴其算术平方根为6． 【变式1-1】已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 【变式1-2】已知的算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【详解】解：因为的算术平方根为2， 所以， 解得． 因为的立方根是， 所以， 解得， 所以． 因为9的平方根是， 所以的平方根是． 【变式1-3】已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)49 (2)2 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 类型二、算术平方根的非负性 【例3】在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 【例4】小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 【变式2-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 【变式2-3】已知非零实数a，b满足，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 处理方式： 求算术平方根的整数部分和小数部分时，先找到两个连续整数，使被开方数介于它们的平方之间，较小整数即为整数部分，再用该算术平方根减去整数部分得到小数部分， 【例5】若，且、为连续正整数，则= 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 【例6】估计的值在（    ） A．4 到5之间 B．5 到6之间 C．6  到7之间 D．7 到 8 之 间 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即在7和8之间， 故选：D． 【变式3-1】的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是：． 故答案为：；． 【变式3-2】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 类型四、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 处理方式： 先从简单的特殊数值入手，计算出相应算术平方根，观察数值变化、运算结构等特征，对比不同算式间的异同，尝试用含字母的代数式归纳出通用规律，再代入新数值进行验证，确保规律的正确性。 【例7】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【例8】【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：① ； ② ； （3）解：由题意得 ， 答：这个长方形的面积为. 【变式4-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式4-2】如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 【变式4-3】学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 类型五、利用平方根、立方根解方程 处理方式： 利用平方根、立方根解方程，先将方程变形为或的形式， 对于，根据平方根定义，解为； 对于，依据立方根定义，解为，求解后要检验所得的根是否符合原方程。 【例9】利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【例10】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 【变式5-1】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 【变式5-2】已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数的值为9； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 类型六、平方根与立方根的综合应用 【例11】已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 【例12】请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 【变式6-1】已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算，理解题意及正确地计算能力是解决问题的关键． 【变式6-2】（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 【变式6-3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 类型七、平方根与立方根的实际应用 【例13】大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】C 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 【例14】综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 【变式7-1】如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)该长方形的长为，宽为 (2)4个 【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 答：该长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵一个圆的面积为， ∴该圆的半径为， ∴该圆的直径为， ∵， ∴最多能裁剪出4个面积为的圆． 【变式7-2】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【变式7-3】阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； 故答案为：2，； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； 故答案为：1，13，； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 2．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 3．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 4．小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 5．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一行                   第二行                       第三行                     第四行                                       由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第八行共有个数，末尾数为， ∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D． 二、填空题 6．当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为 ． 【答案】11.2 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：11.2． 7．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 分两种情况讨论： ①当时，， ； 且。符合题意； ②当时，， （不符合题意，舍去）； 综上，的值是， 故答案为：． 8．阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 9．小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵ ∴ ∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3； 故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出， 则 ∴得到的输出数是3； 故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1， ∴， ∴， ∴， ∵经过一次变换得到， 即不小于的最小整数是， ∵ ∴的取值范围是． 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 三、解答题 10．求满足下列各式的未知数x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)或0； (3)． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得或． （2）， ∴， 则， 解得或0． （3）， ， ， 解得． 11．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 12．【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见解析 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∵， ∴， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 13．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$