精品解析：浙江省湖州市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

湖州市2024学年第二学期期末调研测试卷 高二数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 3. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决. 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 5. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积. 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 7. 若函数在定义域内存在两个不同的实数，满足，且曲线在点和点处的切线斜率相同，则称函数为“同切函数”． （1）证明：函数为“同切函数”； （2）若函数为“同切函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个实数为． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数求导，根据题意以及导数的几何意义，建立方程，可得答案； （2）由函数求导，根据题意以及导数的几何意义，建立方程并化简，（i）利用代入消元法，整理所求参数的函数表示，进而求证不等式，可得答案；（ii）由（i）所得等量关系，对不等式换元化简，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【小问1详解】 假设存在满足题意，意知． 由得，解得． 由得，化简得． 代入上式可解得，或， 因此为“同切函数”． 【小问2详解】 由题可知，因为为“同切函数”，故存在不同的，不妨设， 使得， 即，． （i）先证：，即证：， 令，则由，可知，要证上式，只需证： ，易知， 故在单调递减，所以，故有成立， 由上面（2）式可得得； 由上面（2）式可得：，代入到（1）式中可得： 即． 又，因此实数的取值范围． （ii）因为，所以， 故要证，只需证， 即证． 设，即证， ，令， ， 由，得，所以， 在单调递增，故， 下面证明在上恒成立， 令，则，所以当时，， 当时，，所以在处取得最小值，， 所以在上恒成立，所以当时，，即， 故在上单调递增，则， 所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖州市2024学年第二学期期末调研测试卷 高二数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 3. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 4. 毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A. 96 B. 84 C. 72 D. 48 5. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7. 若函数在定义域内存在两个不同的实数，满足，且曲线在点和点处的切线斜率相同，则称函数为“同切函数”． （1）证明：函数为“同切函数”； （2）若函数为“同切函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个实数为． ①求实数的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $