精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二下学期6月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量服从正态分布，已知，则（ ） A. 0.08 B. 0.16 C. 0.84 D. 0.92 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性易求得答案. 【详解】由，可得，因，则， 故. 故选：C. 2. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】等差数列的公差，由，得，解得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，最后求中的系数即可求解. 【详解】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 4. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由求得，再由即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 故选：C 5. 下列结论不正确的是（ ） A. 若、两组成对数据样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的概念可判断A选项；利用方差的性质可判断B选项；利用残差分析可判断C选项；利用独立性检验可判断D选项. 【详解】对于A选项，样本相关系数的绝对值越接近，相关性越强，故A正确 对于B选项，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故 B正确 对于C选项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故 C错误 对于D选项，因为， 所以，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过，故D正确. 故选：C. 6. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，，∴在上单调递增，故充分性成立， 当在单调递增，∴，即，∴，故必要性不成立， 所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可. 【详解】，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确 故选：D 8. 若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于，令，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求． 【详解】原不等式等价于，设，， 则，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，时，， 因此与的图象如图， 当时，显然不满足题意； 当时，当且仅当，或. 由第一个不等式组，得，即， 由第二个不等式组，得，该不等式组无解. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】方法点睛：先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，则下列正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. D. 事件A与事件B相互独立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据计算即可判断A；根据求出，即可判断B；根据求出，再根据计算即可判断C；分别求出，验证是否成立即可判断D. 【详解】因为，故A错误； 因为， 所以， 所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，所以， ，， ，所以事件A与事件B相互独立，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个极大值点 B. 函数的对称中心为 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用求导分析函数单调性，求得极值点，可判断A；求出即可判断B；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切点同时满足直线和曲线方程代入求出切点，即可判断C；令，结合函数图像，根据方程的根的个数判断复合函数的零点个数，可判断D. 【详解】由函数，则. 对于A，令，解得 所以，或时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 所以，是函数的一个极小值点，故A错误； 对于B， ， 所以，函数关于成中心对称，故B正确； 对于C，设过点的切线与函数的切点为，则切线方程为， 则有，整理得， 解得，所以过点只能作一条直线与相切，故C错误； 对于D，因为，令，则有三个根，如图所示， 所以方程有3个不同的根，方程和均有1个根， 故方程有5个根，即函数有5个零点，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二项式定理的逆用，可得答案. 【详解】． 故答案为：. 13. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 【答案】30 【解析】 【分析】先分类排，再排，根据分步和分类计数原理得到结果. 【详解】当时，，，或，，共2种情况， 当时，，，或，，共2种情况， 当时，，，共1种情况， 所以的排列方法有5种方法，再排，有种方法， 所以不同的排列方法种数为种. 故答案为：30 【点睛】本题考查分步和分类计数原理，对于复杂一些的应用习题，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决问题，属于中档题型. 14. 若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分和并结合图象讨论即可． 【详解】解：令，则有， 原命题等价于函数与在上有交点， 又因为在上单调递减，且当时，， 在上单调递增， 当时，作出两函数的图像， 则两函数在上必有交点，满足题意； 当时，如图所示，只需， 解得，即， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； （2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由条件概率与全概率公式，可得答案； （2）由离散型随机变量的分布列与数学期望，可得答案. 【小问1详解】 设事件：抽取的产品是第一批，事件：抽取的产品为第二批，事件：抽取的产品为合格品， 由题意可得，，，， 则. 【小问2详解】 由题意可得可能取值为，则 ， ， ， 所以的分布列如下： 故数学期望 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/百人 7 12 13 19 24 （1）求该学校招生人数与年份序号的相关系数（精确到），并判断它们是否具有较强线性相关程度（，则认为与的线性相关程度较强；，则认为与的线性相关程度较弱）； （2）求y关于x回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】（1）0.98，两个变量具有很强的线性相关程度． （2），31.4百人． 【解析】 【分析】（1）首先求，再代入相关系数公式，即可求解； （2）代入公式求和，再根据回归直线方程计算时的预测值. 【小问1详解】 由题知：，， ， ， ， 所以相关系数， 因此，两个变量具有很强的线性相关程度． 【小问2详解】 ，， 所以y关于x的回归直线方程为． 当x＝7时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人． 17. 已知椭圆过点. （1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围； （2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围； （2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值. 【小问1详解】 ∵在椭圆，∴，有，所以， 又∵，所以，∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可知，又， 所以，椭圆. 因为直线与相切，故. 若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段. 若直线的斜率存在，可设直线的方程为：. 由直线与相切，故，可得：. 联立得，所以， 线段. 又因为，所以. 当且仅当，故当时，的最大值为2. 综上所述：当时，线段的最大值2. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的值； （3）已知数列满足，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由恒成立，通过，两类情况讨论即可； （3）由（2）得到，再结合，得到，累加求和即可求证； 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程：； 即； 【小问2详解】 在上单调递增， 等价于恒成立， 令， 当时，易知在上单调递增， 当时，，故时，， 不符合题意，舍去； 当时，，由，可得， 易知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 由题意得最小值， 即， 构造函数， ，易知时，，，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值， 也即要使得成立，需满足，即； 【小问3详解】 由（2）知，当时， 在上单调递增， 又，所以当时，， 由，又，易知 可得：， 所以，即 累加求和可得：， 即， 即，又， 所以，又， 所以. 19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件确定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （2）由（1）中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解. 【小问1详解】 由题意得，的可能取值为， 在第一轮中，试验者每次抽到白球概率为， ， 依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，， 易知， 的分布列为： 1 2 3 的数学期望. 【小问2详解】 证明：当时，不难知道， ， ， 由（1）可知，又， ， . 即. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是得到，再利用裂项求和即可证明出不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量服从正态分布，已知，则（ ） A. 0.08 B. 0.16 C. 0.84 D. 0.92 2. 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 4. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 下列结论不正确是（ ） A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过 6. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，则下列正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. D. 事件A与事件B相互独立 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个极大值点 B. 函数的对称中心为 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数有5个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为__________． 13. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 14. 若函数 在 上存在零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某厂家生产两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的乒乓球中任取1个，求这个乒乓球是合格品的概率； （2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/百人 7 12 13 19 24 （1）求该学校招生人数与年份序号的相关系数（精确到），并判断它们是否具有较强线性相关程度（，则认为与的线性相关程度较强；，则认为与的线性相关程度较弱）； （2）求y关于x回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 17. 已知椭圆过点. （1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围； （2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数值； （3）已知数列满足，，证明：． 19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$