精品解析：广东省广州市越秀区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024学年第二学期期末诊断性调研 七年级数学学科 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时100分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程写成用含x的代数式表示y的形式为（ ） A. B. C. D. 3. 点到x轴的距离是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 4. 9平方根是（　　） A. 3 B. C. D. 81 5. 为了了解全校2500名学生参与家务劳动的情况，随机抽取200名学生进行了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查．在收集到的数据中，一周参与家务劳动时间不少于的学生人数为70人．占抽查学生人数的35%．这项调查的样本容量是（ ） A. 2500 B. 200 C. 70 D. 6. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有理数和数轴上的点是一一对应的 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 10. 若为方程的一组解，则点不可能在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，则______． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 13 比较大小： ___________2(填“>”或“=”或“<” )． 14. 为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出冷饮杯数与当天的最高气温的数据，为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的关系，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出各组数据对应的点，如图所示．利用趋势图可以估计当一天的最高气温为时，饮品店一天可卖出的冷饮杯数约为______杯． 15. 某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 16. 如图，在三角形中，，将三角形沿着方向向右平移个单位得到三角形，点在线段上，若，，与相交于点． （）线段的长为______； （）四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 利用数轴求不等式组的解集． 20. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形图和扇形图． （1）这次一共调查了多少名学生？ （2）请把条形统计图补充完整； （3）若这所学校共有1500名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于学生大约有多少人． 21. 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（______）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴______（______）， 即______， ∴______（等式的基本事实）， ∴（______）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 23. 某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． （1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 24. 如图，已知，F，E分别为，上的点，的角平分线交于点G，，垂足为H，的角平分线交于点P． （1）求证：； （2）设，求的度数， 25. 一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． （1）求a，b，c满足的等量关系； （2）若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； （3）若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期末诊断性调研 七年级数学学科 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时100分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2．用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、整数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、，结果为整数，属于有理数，不符合题意； D、π是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选：D． 2. 将方程写成用含x的代数式表示y的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，掌握代入消元法是解题关键．将含的项移到等式右边即可． 【详解】解：将方程写成用含x的代数式表示y的形式为， 故选：A． 3. 点到x轴的距离是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到x轴的距离为纵坐标的绝对值是解题关键． 【详解】解：点的纵坐标为2，因此到x轴的距离为， 故选：C． 4. 9的平方根是（　　） A. 3 B. C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的求解方法是解题关键．根据平方根的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：B． 5. 为了了解全校2500名学生参与家务劳动的情况，随机抽取200名学生进行了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查．在收集到的数据中，一周参与家务劳动时间不少于的学生人数为70人．占抽查学生人数的35%．这项调查的样本容量是（ ） A. 2500 B. 200 C. 70 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了样本容量， 解题关键是掌握样本容量的定义：样本容量是指从总体中抽取的样本中包含的个体数量． 【详解】解：题目中，全校2500名学生是总体，随机抽取的200名学生构成样本，样本容量即为样本中的个体数目，即200， 故选：B． 6. 如图，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行．由可得，而A、B、D无法证明，即可得到答案． 【详解】解：由可得，C选项正确；而A、B、D无法证明， 故选：C． 7. 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 8. 若，则下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A、由两边同时除以正数2，不等式方向不变，即，选项正确，符合题意； B、由两边同时乘以，不等式方向改变，即，选项错误，不符合题意； C、由两边同时减1，不等式方向不变，即，选项错误，不符合题意； D、当时，；当时，；当时，，选项错误，不符合题意； 故选：A． 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有理数和数轴上的点是一一对应的 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题，解题的关键是：明白正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，需要结合所学的定理进行判断． 根据实数与数轴，平行线的性质与基本事实，进行判断． 【详解】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 若为方程的一组解，则点不可能在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，象限内点的坐标特征，不等式的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据方程的解的条件得到，再结合各象限坐标符号特征，分析点的可能位置即可． 【详解】解：为方程的一组解， ， A、若点在第一象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； B、若点在第二象限，则，，由可得，无法满足，符合题意； C、若点在第三象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； D、若点在第四象限，则，，例如，，满足条件，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征．由点A，B的横坐标相等，则根据计算即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握从直线外一点作直线的垂线，这点到垂足间的垂线段长度叫点到直线的距离． 根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点P到直线l的距离是3， 故答案为：3． 13. 比较大小： ___________2(填“>”或“=”或“<” )． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键．利用平方法比较大小，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出冷饮杯数与当天的最高气温的数据，为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的关系，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出各组数据对应的点，如图所示．利用趋势图可以估计当一天的最高气温为时，饮品店一天可卖出的冷饮杯数约为______杯． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，认真观察折线统计图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键． 根据统计图，分析变化趋势，即可求出答案． 【详解】解：由图可知：当气温从开始，卖出的冷饮杯数随着气温的升高而增加， 当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为90杯， 当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为110杯， 当最高气温时，卖出的冷饮杯数约为120杯， ∴当最高气温为时，饮品店一天可卖出的冷饮杯数约为130杯． 故答案为：130． 15. 某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照运算程序列出不等式组求解即可． 【详解】第一次运行：，解得； 第二次运行：，解得； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组．按照运算程序列出不等式组是本题的关键，注意第二次运行时输入的应是第一次运行后的结果． 16. 如图，在三角形中，，将三角形沿着方向向右平移个单位得到三角形，点在线段上，若，，与相交于点． （）线段的长为______； （）四边形面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据平移的性质即可求解； （）由平移的性质可得，，，，进而得到四边形是平行四边形，，再根据计算即可求解； 本题考查了图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：（）由平移得，， 故答案为：； （）由平移得，，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 分析】本题考查实数混合运算，先求立方根，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法代入法和加减法是解题的关键．用加减法求解即可． 【详解】解：， 得： 解得：， 把代入，得， ∴． 19. 利用数轴求不等式组的解集． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，然后根据数轴写出不等式组的解集即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 20. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为（），（），（），（）四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的条形图和扇形图． （1）这次一共调查了多少名学生？ （2）请把条形统计图补充完整； （3）若这所学校共有1500名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有多少人． 【答案】（1）这次一共调查了200名学生 （2）补全条形统计图见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及求样本容量、补全条形统计图、由样本估计总体等知识，熟练掌握相关统计量定义及计算方法是解决问题的关键． （1）由条形统计图与扇形统计图的信息关联求解即可得到答案； （2）由条形统计图与扇形统计图的信息关联求出人数即可补全条形统计图； （3）由总人数乘以人数所占比，计算即可估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知有70人，由扇形统计图可知占比为， 人， 故这次一共调查了200名学生； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知占比为，则人数为人， 人数为人， 补全条形统计图如下： ； 【小问3详解】 解：估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有人． 21. 完成下面的证明并填上推理根据． 如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：． 证明：∵（______）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴（______）． ∵（已知）， ∴______（______）， 即______， ∴______（等式的基本事实）， ∴（______）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据以及可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（等式的基本事实）， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． （1）点D的坐标是______； （2）若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点， ，点A与点C是对应点． ∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∵， ∴点D的坐标是，即； 故答案为： 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 23. 某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元． （1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？ 【答案】（1）每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元 （2）该校最多可购买型机器人9台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元，根据购买1台型机器人和2台型机器人共需11万元，购买2台型机器人和3台型机器人共需19万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该校可购买型机器人台，则购买型机器人台，根据购买型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每台型机器人的售价为万元，每台型机器人的售价为万元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元； 【小问2详解】 解：该校可购买型机器人台，则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为9， 答：该校最多可购买型机器人9台． 24. 如图，已知，F，E分别为，上的点，的角平分线交于点G，，垂足为H，的角平分线交于点P． （1）求证：； （2）设，求的度数， 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）运用平行线性质，角平分线定义即可证得结论； （2）根据角平分线定义得，由（1）得，则，由得，根据角平分线的定义以及角的和差即可证得结论． 【小问1详解】 证明：， ， 的角平分线交于点， ， ； 【小问2详解】 解：的角平分线交于点，， ， 由（1）得， ， ， ， ， 平分， ， ． 25. 一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． （1）求a，b，c满足的等量关系； （2）若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； （3）若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 【答案】（1） （2）3 （3）6或4天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，即可求解； （2）用甲、乙两队同时施工4天的工作量加上丙队施工1天的工作量等于1，即可求解； （3）根据题意，确定，然后分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验： 是原方程有解，且符合题意， 即c的值为3； 【小问3详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵a，b，c均为正整数，， ∴，且， ∴， 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 此时， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴b能去6， 此时，不符合题意； 综上所述，乙、丙两队同时施工需要完成该项工程天数6或4天 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$