第18章 数学活动-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）

[答案　P31] 探究比例的性质　　 (山西吕梁期末)综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式＝成立(即a，b，c，d成比例).由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和(a≠b，c≠d). 【探究问题】小明同学就和(a≠b，c≠d)进行了探究． (1)写出一组能使分式＝成立的数：a＝2，b＝5，c＝4，d＝10(a，b，c，d的值均不唯一)； (2)在(1)的条件下，计算：＝－，＝－[答案不唯一，与(1)对应即可]； (3)猜想：和(a≠b，c≠d)之间的关系； (4)证明(3)中的猜想． (3)解：猜想：若＝，则＝(a≠b，c≠d). (4)证明：∵＝， ∴ad＝bc. ∵a≠b，c≠d， ∴－ ＝－ ＝ ＝＝0， ∴＝. 探究x2＋取值的规律　　 【提出问题】当x>0时，如何求代数式x2＋的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以当x＝－3时，此多项式有最小值1. 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … x2＋ … 2 … (2)观察猜想：当x＝1时，x2＋(x>0)有最小值(填“大”或“小”)，是2； (3)推理论证：利用配方法求x2＋(x>0)的最大(或最小)值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式x2－6x＋＋10(x>3)的最大(或最小)值，并求出此时x的值． 解：(3)x2＋＝x2－2＋＋2＝＋2. ∵≥0， ∴当x＝1时，x2＋(x>0)有最小值，是2. (4)x2－6x＋＋10 ＝x2－6x＋9＋＋1 ＝(x－3)2＋＋1 ＝(x－3)2－2＋＋1＋2 ＝＋3. ∵≥0， ∴＋3(x>3)有最小值，是3，此时x－3＝1，即x＝4， ∴x2－6x＋＋10(x>3)有最小值，是3，此时x＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$