阶段检测2 一元函数的导数及其应用-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

15.解：)对任意0<玉，<，尉2-2 2x)(x十2-2x,十x).且41≤2(x+x)≤ x一r: 4r:,所以y=4红是函数y=2x(x>0)的一个控制画数. (2)证明：周为0<a<b,所以6）-a2 b-a Int-In a"a b-a 所以6)a)上n立上Ib)上a21 b-a a b-a a' b-a n点 a 1 b-a b' 设y=nr-+1.>0,别y=1-1,在(1，十四)上， y'=-1<0,在0,1D上y=-1>0,所以y=nx x十」在(1，十o)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以其最大值ym=n1一1十1=0 因为0<a<b,所以台>1,0<分<1，b-a>0,a-b<0, 所以n台-点+10，n号-号+1<0， 则n么-b二a<0. aa "a-I<0.#f(b)-f(a)<I 因为6-a>0,所以。-aa b-a 因为a-b<0,所以h台。之0中@行 b-a <f）@<又f)=子在区同ab 缩上方 b-a 上的值线为（合）： 则关于工的方粒/)@=广()在区间a,b)上有实 b-a 数解。 （3)f(x)=xn,刚)-f2_n-xln五 其中0<x1<x· r In x-x:In x: x1一x -h王4=hx-xhx i-T: In-falm-fn :trln xI-Y: 周为0<x<x,所以0<<1，x,-x1<0,所以h三< x z:In >0，脚a二血>nx, 0,一 周周测数学选择性必修第二册A版 ·5 同理n,n<1n,甲nx1< f()-f2< x1一x: 尉y=nx是y=f(x)的一个控制函数. 阶段检测二一元函数的导数及其应用 1.D解析：im c十△x)-fx=f(x,)=-2.故选D 2.A解析：曲题店得，y=血t'x+1)-（r+D'nr= (x+1) 1+-h a+1)一r>0):询线在点1,0)处的切线与直线x 2y十1=0套直2-，解释a=一之 4 3,B解析：y=e+cos(-x十x）, ∴.y'=(e+l)'cos(-x2+r)十e+[cos(-x2+x)] =-2e+lcos(-r+r)-[e+lsin(-f2十x门· (-2x+1) =-eb+1[2eos(-x2+x)+(-2r+1)sin(-x+x)] =-e+1[2c0s(x-x)十(2x-1)sin(x-x)].故逸B LC解析fx)三=，定义域为（一o∞，0）U(0,+) -= -=一f(x),f(x)为奇函数，圈象关于原 点对称，技排膝Bf)=专<1，故排膝A:当>0时。 f'(r)=(z-De 3,又当r>1时，f(r)>0.f(x)在 (1,十∞)上单调递增，故排涂D故速C 5.C解析：f'(x)=2x(3r-a),x∈(0，十o∞)， ①当a0时，f(x)=2x(3x一a)>0, 函数f(x)在(0，十6o)上单调道增，f(0)=1, f(x)在(0，十©)上没有零点，含去： ②当a>0时，由了x)=2x(3x-a)>0得，>号 ∴f(x)在(0，号)上单调递减，在（号，十）上单调递增， 又f(x)在(0，+∞)内只有一个零点， (份）=一劳十1=0，解得a=3 此时f(x)=2x3-3x+1,f(x)■6x(x-1),x∈[-1， 1]. 由于'(x)>0的解集为(-1.0)， 所以f(r)在（一1,0）上单调递增，在(0,1)上单调遂减， 所以f(x)=f(0)=1,即f(x)在[-1,1]上的装大值 为1， 6A解折：=eha子=aha<0, 二3=elnb→ =bin b<0. -3 构造通教fx)=nx(>）小则f(x)=lnx十1，当 >时fx)>0x)单调递地： 当<x<时，(x)<0,f)单调递减，又f(1)=0, 白）=<0付）=-<0， fa)=aha=子f6)=6h6= 如图所示 ab 图为alna<blnb<0,所以f(a)<f(b)<0, 6子<周有<a<b<1 7.C解析：因为画数f(x)=e-2ax+1有两个不同的城 值点， 所以f'(x)■e'一ax有2个变号零点，即c'■4ar有两个 不等的实根， 因为x=0尉显然不成立，所以x0,可得a=行 令5)=云则y=a与g)=二因象有小不同的 交点 由于g'(x)=红c-4=红-1De 16x2 所以g=名在(-四，0)和(0.1》*调适减：在1，十m) 单调说增， 故发)=二的大致图泉如因所南 y -3 当工=1时g1)=号，由因知，当a>号时，两个画数图象 有2个不同的交点，可得原函数有两个板值点， 所以实数a的取值范国是a>宁故选C 8B解折：个g)-侣利)=但 x(In r) 当x>1时，由f(x)<xlnx·f(x)得，g'(x)>0, ·5 所以画数g(x)=在1，十四)上是蜡画数， Inr 于是xe<0<8.中侣得侣 f(4)f(8) 21n23ln2 化得6f(2)<3f(4)<2f(8),故选B. 9,ABC解析：A中，f(x)=cosx-sinx, 广(x)=-nx-cosx=-Ein(x+）<0在区间 (0.2）上恒成立 B中.广x)=士-2：>0)，f(x)=-<0在&同 (0,受)上恤成立： C中f'(x)=-3x+2f(x)=-6x<0在区间(0，受)上 做成立； D中，f'(r)=e+xe,f(x)=2e+xe'=e'(x+2)>0在 区网(0，受)上恒成立，故D中画数不是凸画数，故选ABC 10,ACD解析：对于A.周为r)=心+，别f= 3ax+2x十a-ar2-x-ar=ax'+(3-1r+(2-a)r十a 由题意可得了(0)=a=5,故A正确：对于B,C,当a=0 时)-号，共交又线为风且了)2子，由 f'(x)<0,可得x<0或x>2,由f(x)>0,可得0<x< 2,所以西数f(x)的单调递减区间为（一∞，0），(2，十∞)， 单调递增区阿为(0,2)，函数f(x)有2个极值，点，故B错 误，C正确：对于D,当x∈(0，十o©)时，x十1≥f(x)恒成 立，故a≤r十1De-rcx x2十x 无中有超成立，令《()= Fx+中x>0,故a≤g(x)a·而g(x)= x2 +1D=(r-1)「g (r-1)1 侣+品]海 的>0号+>0.当601》时)0： 十1 g(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递 1 增，故g(x)m=g(1)=e-豆，所以a≤e一2，故D正确. 故达ACD, lACD解析：对于AB:f(x)=anr+=x alnx十】的定艾城为0，十o, x1-是-子= 令fx)=0,即x-ar-1=0,解得1=a二 2 a十/a十4 x:= 2 答案全解全析 因为x1x:=一1<0，所以x:<0<x:: 故'(x)=0在(0，十oo)有一个根x: 当x∈(0，x:)时，(x)<0,此时f(x)单调递减： 当x∈(x·十∞)时，f(x)>0,此时f(x)单调造增： 所以面纸f(x)在（十a中.十回）上单调造培，在 2 (0,a十十)上单调适减，故A正确，B错误， 2 对于Cg)=+-hr+ )++ 十x十 In x rlnx=g(x),放C正确： 对于D,若2f(x)+3n2>5,将x=2代入得(3-2a)m2> 3 0,解得u< 持7代入得(3+2ah2少0，解得a>一号 ◆ma)=-alnr+r+ae(←2 ⑩若0<<1，则-b>0,故m(a)在（名，）单调 递增， 令h(x》= 2nrt+0<1, )-号×+1-- 3 2x2 (2x-10(x+2) 2x2 线当0<x<号时，A)<0,A)单消造减： 当<<1时，6>0，hx)羊满超特 故h(e≥h(分）-号一-是n2,中ma)=-alhr+r+ 53 ②若x=1,剥ma)=2>豆立1n2: ③若>1，则-n<0,故ma)在（子，）单调造浅， ma)>m(）=-nx++ 令n(x)= 财n'(x)=一 ×+1- =23x-2 2x2 (2x+1)(x-2) 故当1<r<2时，n'(x)<0,n(x)单调道减： 当r>2时，n'(x)>0,#(x)单调递增： 故m≥n(2=号-h2,中ma)=-ah:ts+- 1、53 F>z-2h2. 周周测数学选择性必修第二册A版 ·5 #上将选ma)=-an++>受一名h2 年e>音-受n2,甲21u+面2>5 即得证a∈（是）特合条件，故D正璃. 12.f(x)=x3十x(答案不唯一)解析：可设f(x)=ax2十 bx十cx十d(at0), 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)十f(x)=0,即 a(-x)°十b(-x)十e(-x)十d十ax3十bx十cx+d=0 但成立，解得6=0，d=0 所以f(x)=ar'+cx. 由②在x=1处的切线计单为4，得(1)=3a十c=4,不妨 取a■1，c=1,别f(x)=x十x. 13,4一4ln2解析：曲线C:y= -2r,0<x<1·则 2lnx.r≥1， 2 ,0<x<1, x y = 12 设P,(x1y1),P,(红y:),两切找斜率分别为k,k 由1⊥1：得，k,k,=一1，则不坊设0<x,<1,x≥1： P,(x,-21n,k,=-三，则4：y+2n自 2(x一x 令x=0,得A(0,2-2lnr1),又P:(x:,2lnx:), 6=2则v-h子-以 x 令x=0,得B(0,-2+21nx:). 由=1中是·是1将= 别AB|=4-2n(x1x:)=4-4n2. 42[分十o）解折：f(x)=2r-1+nx,由 f'(1)=2a-1=3,得a=2. 由西数/)在[仁+)上华调选增，得了)-2 1+lhx0>0在[片+)上位底 事2a>少在[片+上成立 所以在区间（日）上，g'《x)>0,g(x)单调递增：在区同 (1,十∞)上，g'(x)<0,g(x)单调逆减，所以g(x)在区间 [片，+)上的机大位也是最大值，为)=1， 所以2如≥1，解祥0≥子，即实餐。的取值花国 [}+) 15,解：(1)易知函数「(x)的定义域为R, 由a-1得，f(x)=(z+1)c.f'(x)■(x+2)c, 令(x)>0,得x>-2: 令f'(r)<0,得x<-2. 所以「(x)的单调遁增区间为（一2，十∞），单调递减区间为 (-∞，-2). (2)f(x)=(x十a)e≥e-xe在[0,1]上恒成立，等价于 a≥e-2x在[0,1门上但成主. 令g(x)=e-2x,则a≥g(x)na 因为g'(r)=一e-2<0, 所以g(x)在区间[0,1门上单调递减， 所以g(x).=g(0)=e 所以a≥e◆ 即实数的取值范围是[e,十o). 16.解：(1)因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入 为6x万元， 由题意可得，当0<x<7时，P(r)=6x一C(x)一2=6x -2-2=-+-2 当r≥7时，P(x)=6r-C（x)-2=6x (6x+lnr+g-17）-2=15-nx- e -号x+4r-2.0<x<7, 所以P(x)= e 15-hx-≥7. (2)由(1)可得，当0<x<7,P(x)= 3x2+4x-2= -4-6+10≤10， 当且仅当工=6时，等号成立： 当x≥7时，PE)=15-nx-g,则p'(r)=-1 所以当7≤x≤e时.P'(x)>0,即函数P(r)=15-lnx 二单调说增：当x>e时，p'(x)<0,甲画数P(x)=15- 加工一二单调递戒 所以当x=e时P()=15-hx一兰取样接大值，为 pe-5-he-号-n 综上，当x=e=20时，P(x)取得最大值11万元： 即当年产量的为x==20万件时，孩网学的这一产品所 被年利润最大，最大年利涧是11万元， 17.解：1)由题意，得了)=e-兰≥0在(0.+)上0 成立 唧a≤xe1在(0，十o四)上领成立. 令g(x)=xe,则g'(x)=(x十1De>0, 所以(x)=xe在(0，十oo)上单调递增， 于是g(x)>g(0)=0,所以a0. (2)送明：当a>0时，广(x)=e4-4=e-@ r 由(1)知，画数g(x)-xc在(0，十o∞)上单调适增，且 g(x)∈(0，十co). ·53 因光，存在唯一的工>0满足上c=4, 且当0<r<x。时，xe-a<0,即f'(x)<0: 当x>xw时，xe1-a>0,甲f'(x)>0. 因此f(x。)为f(x)在(0，十o)上的极小值，也是最小值. 下证：f(x,)≥a-alna. 图为x,el=a,所以e0-只，-1=na-nx, 无 于是fr)≥fx)≥e-alnx -4-a(Ina-2v+1)-4tars-a-aln a ·ar。一a一alna=a一alha,不等式得证， ≥2N工 18.解：1)当a=1时，(x)=二，定义城为R, e 所以f了(x)=e 1x 当x<1时，f(r)>0,函数f(x)单调造增： 当x>1时，f'(x)<0,函数f(x)单调造减. 综上所迷，当a=1时，函数f(x)在区间（一o0,1)上单调递 增：在区间(1，十∞》上单调递减。 （2)调为4>0，品袋gx)=芒+宁-， 1 所以g'(x)=a0-2+x-1=x-1)二a e 当g(x)=0时，得x=1或r=ln4, ①若lna=1,即a=e,则g'(x)≥0恒成主，虽数g(x)在R 上单调递增， 因为g(0)=0,所以函数g(x)只有1个零点 ②若lna<1,即0a<e, 当x<lna时g'(x)>0,函数g(x)单调造增： 当lna<x<1时，g(x)<0,函数g(x)单调造减： 当x>1时，g'(x)>0,函数g(x》单调递增 (1)当lna<0,即0<a<1时g(lna)>g(0)=0>g1): 又国为g(2》= 0>0,所以面数g(x)在区间1,2)上有1 e 个家点， 故函数g(x)在R上至少有2个零点，不符合题意， (1)当lna=0,即a=1时，g(lna)=g(0)=0>g(1), 又调为g(2)=二≥0，所以函数g()在区网(1,2)上有1 个零点， 故函数g(x)在R上至少有2个零，点，不符合题意： (Π)当lna>0,即1<a<e时，g(lna)>g(0)=0>g(1), 若画数g红)只有1个家点，需g1)=。一>0，解得 号<a<e ③若lna>1,pa>e, 当x<1时，g(r)>0,函数g(x)单调造增： 当1<r<na时，g'(x)<0,函效g(x)单调递减： 事x>ln4时，g'(r)>0,函数g(x)单调递增. 所以g1>go)=-0aa）-号o>0, 所以画数g(x)在R上只有1个零，点， 综上所述，当函数g(士)只有1个零点时，实数：的取值范 图是（分，十∞ 答案全解全析 19.解：1)易知单位圈上圆心角为60的圈孩△9=3，△= 晋×1=号， (2)由fx)=1(x>0)可得，f'x)=- 1 又x)=f(x)可择，(x)=昌 所以K= 'x) 1+[(xF) [+(2灯 2 r(+)+)(+) 时等号成立； 所以K 22=2 2222 申曲线y=)的曲单的菜大值为号 (3)证明：由g(x)=6x1nx-2ax-9x2可得，g'(r)= 12rIn x-6ar-12+. 记g:(x)=g'(x),则g(x)=12lnx-12ax: 同理由h(x)=2xe一4e+ar2可得，h'(x)=2(x+1)e 4e'+2ar, 记h,(x)=h'(x),则h(x)=2xe十2a,当g(x),h(x)曲 奉为0时，即g'(x)=0,h'(x)=0,可得lnx一ar=xe十 a=0, 化简可得= ,d=一xe。 令(x)=血二，x>0,别px)=1h上，由x)=0可 得，x=e, 则当x∈(0，c)时，g(x)>0,此时p(x)单调道增，且 s(r)<p(e)= e 当x∈(e,十∞)时，g(x)<0,此时9(x)单调递减，且0< 所以如(x)的图象如图所示。 又a∈(0，），结合gx)的围象可得a=gx)有两解。 设这两解分别为x1,工1，且1<x1<c<x· 周周测数学选择性必修第二册A版 5 又a-_-c心he 因为工1x:最小，所以工1=e Inxi-axi=0 nx=,te(01, lInr,-ar=0 可设t一nx1 In z In(tr,) In r =t,In t+in =tin) In t 化药可得1n工二则n工，一气 要运>，啤证,>， 中如+h>营色野+ F= (2:+1)nt、8 1-1 ->3 8(-1) 即证ht一32+元<0. 令m)=h1品1e0D,则m')= 8(1-1) 8 (2t+1)2-8t(21-1)1 21+1)t2+1)-2+1720, 所以m()在区间(0,1)上单调递增， 故mt)<m小)=0，故<e克 模块综合检测一 1.D解析：令f(x)=ax-ln(x十10f(x)=a市 .f(0)=2,解得a=3. 2,B将折：由a,=a=,得对-兰=又>0，片以 1 g=2 3.C解析：：f(x)=sinx+2的导数为f'(x)=cosx, ∴f'(0)=1. :f(0)=2,∴.曲线f(x)=sinx+2在点(0，f(0)处的切 线方程为y一2=r,即y=x+2,故这C, 4.B解析：公差d=a2一a1=一4， .a.=a1+(m-1)d=84+(n-1)(-4)=88-4n. 令≥0，中 88-4n≥0， la1<0, 88-4(n+1)<0 →21<n≤22.又：n∈ N,.n=22. 5,D解析：因为(x)=3x-12=3(x+2)(x-2),令 f(x)<0→-2<x<2,所以函数f(x)=r1一12x的单调 违诚区间为（一2,2），要使f(x)在区间(2m,m十1)上单调递 减，别区间(2m,m十1)是区间（一2,2）的子区间，所以 2m≥一2， m十1≤2，解得一1≤m<1,故透D. m十1>2m, 1 5 6.C解桥：因为S=3-2t+1,所以S”=1-5十4 令2一5t十4=0.解得=1或t=4, 所以追度为零的时刻是1秒术或4秒末，故选C,阶段检测二 一元函数的导数及其应用 〔时同：20分钟分债：15册分7 一、选择整‘本题共书小题，每小粗5分，共0分.在每小赠给出的西个选项中，只有一项是符合题 日要求的》 L这f.)是可导两数，且m fx8+s)-》-2,则f(x1 △r A.2 C.1 D.-2 又投我线y一片在红)必的切线与直线一十1-0蚕直，图。弯干 C6一g D.2 3.商数y=g'*(一于十r)的导数为 A.y'me"[2in(x'-r)+(2x-Deosr-r)] ky--e[2cos-r)+(2r-1)sin(-r C.y'--e[2sin(-r)+(2x-1)cor)] D.'e'2ow(a-)+2-1.)] 4.函数f(r1= 的部分测象大致为 兴兴新 5.若雨数/1一2x一x十1《aEk)在(0.十∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[一1,1门上的 最人值为 A.-I 0 C.1 D.t 已知u,6e片十o小且是-ea,景-em则 3 ,若函数/：1一心一2：十1有两个不同的极组点，侧实数：的取值范围是 A- C.o n0<a< 8,已知fx)是可导函数.且/4x)Cxmr·广(r》时于0恒成立，期 八.2f(8)3jf4)<6f2) k6f《2)<3f(4)2f(8 板 C.3f40-<6f422f(0) D.2f81<6f2)3f44 二，选择器《本幕共3小罩，每小丽6分，共1书分.在每小题给出的选项中，有多项蒋合置日要术 全邵选的得6分，部分是对的得部分分，有选睡的得0分) 9.给出定义，若函数/x1在D上可异，甲了（工1存在，且导函数'(x)在D上也可导，爵称《1） 在D上存在二偷导函数，记(x)=((:))',若(r0在D上恒成立，则称(x1在D上 为凸雨数.以下四个函数在0，}上是凸希数的是 A,fr)=nI十w 且fr)=nr-2r Cfr)=-才'+2r-1 DfeJ-文e 0.已知雨数红-4十产r,图 e A若由线y一fx)在(0.(0))处的每线与x十5y=0相互建直，煤日■5 长若g=0,阑函数/(x1的单调诸减区间为（一，0）日g,+) C若4-，期函数(x)有2个极值点 卫.若关于上的不零式2小1≥在0，小)上国线立，别。的植他图为-一e司 山.已知两数fr》-一a十aER,下列误法正确的是 A函数x在++ ,十✉】上单国递增 且雨数：在，十百上单稠选减 n,若2十h2>5:网c的k值藏用是一4<是 选择题箐屬栏 6 11 答常 三，填空题本题共3小题，每小盟5分，共15分) 12.写出一个满足下列条作的三水多项式函数：①R上的套希数：②在了一1处的桥线斜常为，， (x)可以为 3.已知P,P:是由线C:y一8nr上的群点，分别以P,P:为切点作#线C的切线，：，且 ⊥，切线：交y轴于A点：切烧：交y轴于B点，则线段AB的长度为 14,已知函数了(c》ur一rn,若(1=3，期a= 者稀数在侣。+上单 递增，则实数山的取值范用是 四，解答■《本题共5小最，共7分，解答应写出文字说阴，证用试程或演算步骤》 15,(木小题满分13分》已知函数「「)m(r十a▣，其中a为常数， 1)若a=1,求函数(x1的单调区间： 2)若了(x2e一re在0，小门上相成立，求实数g的直枪. 确贝校测二…元函数的导数及其成用 16,《本小满分1面分)某同学大学毕业后，决定利用所学专业连行自主创业，经过市场闻查.生产 一小显电子产品需授人两定我本2万无，每生产1万件，需另投人德诗成本C(万元)，当年 产量小千万件时，C(x)=宁+2：当年产量不小干7万件时，C(:1=6:+a上+号一7. 已知句件产品售价为后元，里设宽学生产的商品考年建拿部售完。 《1写出年利润Px(方元1关于年产址F(万件)的函数解析式：（生，年利润=年销售收人 定成本一流动成木」 (2)当年产量的为多少万件时，孩同学的这一严品所我年利润量大？最大年利阖是多少？取 2=201 17,4木小题清分15分)己知函数1口)=一. 《若函数/：)在定义城上甲调湿蜡，求实数▣的取雀范用： (1当4>0时，证明：fr)g一4n4, 州风周数了及择性必修第二贡A餐 8(本小题瑞分1？分)已知函数八x三 (1)当g一1时，判断希数f:)的单要性 (2)若>，函数红小一)十2一只有】个零点求实数：的取植他用. 四.（本小题满分7分）青岛较东国乐机场的显著特点之一是弯仙作线的运用，商量面设考周程度 的重要指标是曲率.考察下图所示的光帝由线C:y一f(:)上的由线段AB,其罪长为，当动 点从4眉由馒段A形运动到B点时，A点的切线(，血随奢转动到B点的到线，记这两条切 线之间的夹角为△它等于，的领斜角与，的倾斜角之看.显然，当弧长偶定时，夹角遂大·您 角线的车角型度黄落大：当夹角闲定时，据长临小影海角塑度猫大，两比可以定文反一岩为 我线段AB的平均由序：是然当B越核近A,围3越小，K就越能桥编刻商曲线C在点A处 韵寄衡型度，两此定义角线》一1在放，》处的自米计章公式为K一一兰- 0rF中-. U(o (1)求单位到上圆心角为60'的图汇的平均由深： (2)已知雨数了（红）-(z>),求韩线y-了(x>的轨率的最大值： (3已知商数er=n一-五)=2r心-4w+ue0,,若当e: A山南华为0到士的最小植分精为求正，产>之