周测10 导数在研究函数的最大(小)值中的应用-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

③当a=1时，f(x)0在(0，十o)上恒成立， 所以函数「(x)在(0，十©)上单调遂增，凌有极小值，不 成主 ①当a>1时，若x变化，则f(r),f(x)的变化情况如 下表： x (0,1) 1 (1,a) d (a,十oo) (x) 0 0 + f(z) 极大佳 极小值 所以当r=1时，厂(x)取得极大值，所以a>1不成立. 综上所述，a<1. 15.解：(1)f'(x)=(x-1)e-2a(x-1)=(x-1)·(-2a). ①当a0时，由f(x)=0将，x=1. 当x∈(-0,1)时，f广(x)<0:当x∈(1，十o∞)时， (x)>0, 所以∫(x)在（一oo,1)上单调递减，在(1，十c)上单调 瑾增。 ②当a>0时，由(x)=0,得x=1或x=ln(2a). (1)当lh(2a)<1,甲0<a<号时，x∈(-0，ln(2a)和 (1,十oo),f'(x)>0,f(r)单谓递增：x∈(1n(2a),1), f'(x)<0,f(x)单调逆减. (I)当1n2a)=1,即a=号时，fr)=(红-10…(e- e)≥0恒成立，所以f(x)在（一o0,十∞）上单调递增， ()当ln(2a)>1.即a>乞时，x∈(-∞，1)和(n(2a). +oo),(x)>0,f(x)单调递增tr∈(1，ln(2a),f'(x)< 0,f(x)单调遁减. 综上可得， 当a≤0时，f(x)在（一o,1)上单调递减，在(1，十o)上单 调递增： 当0<a<受时，r)在(-m,lh(2a).,+o)上单调递 增，在(n(2a),1)上单调递减： 当a=三时x)在（一0，十o©）止单调递增： 当a>2时，f(r)在(-o,1D,(ln(2a),十oo)上单递增， 在(1，n(2a))上单调遥减. (2)①当a=0时，f(x)=(x一2)，所以f(x)只有一个零 点，不特合题意： ②当4>0时，由(1)知 (1)者a=受时，fx)在(-0，十o∞)上单调递增，f(r)不 存在两个零，点，不特合题意： （)当0<a<之，f(x)在(1，十∞)上单调造增，又当x≤1 时，f(x)<0,故f(x)不存在两个客点，不符合题意： ()当a>2时，f(x)在(-，1)上单调递增，在(1， ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),十oo)上单调遂增， f(x)tka■f(1)■一e<0, 故∫()不存在两个零，点，不特合题意： ③当a<0时，由(1)知，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在 (1,十)上单调递增， 又f(1)=一e<0,f(2)=一a>0.所以f(x》在(1,2)上存 在一个零点 取6满足6<0，且6<1n(-受） 则f(6)=(6-2)-a(6-1)>- 6-2) a6-1r=-ab-）>0, 所以f(r)在(b,1)上也存在一个零，点， 所以当a<0时，f(x)有两个零点. 棕上可得，的取值范围为（一∞，0）。 周测10导数在研究函数 的最大（小）值中的应用 1.B解析：由f(x)=6F-x'十6，x∈[0,4]得f(x)= -3x-31-xF) 3 由f'(r)=0可得，x-1,当x∈(0,1)时，f'(x)>0:当x∈ (1,4]时，f(x)<0, 所以f(x)的权大值为f(1)=11. 又国为f(0)=6,f(4)=一46，所以f(x)的最大值为11，最 小值为一46，所以最大值与最小值之和为一35，数速B. 2.C解析：函数f(x)=x+alnx(x>0),则f(1)=1+ aln 1=1, 且f红)=2+兰，所以广)=2+a, 所以f'1=D0-1=2+a,解得a=-1. 1-0 所gf)=-nr>0f✉)=2a-子 单调递增。 所以f(x）m=/ )-)---h-+ h2极选C 1 3,D解析：由e一asin r=0得，asin x=e, 因为xE0,,所以sn>0,因光a= 一只有一解。 令x(x)=C 0<r<0,则g'(r)=c（simr-c0s主 sin sin'r 由g'(工)=0得，x=工 4 当0<r<平时，g'(x)<0:当号<x<元时，g(x)>0,所以 gx)m=g(）=Ee 当x→0或x→π时，都有g(x)→十o, 图此a=厚e.故选D. 答案全解全析 4.C解析：当x∈[1，十∞)时，不等式f(x)≤0恒成立等价 于a≥n二在[1，十∞)上恒成立， 令g(x)=n三，别g'x)=1h工 T 当0<r<e时，g'(x)>0:当x>e时，g(x)<0, 有以g)一g0-所以≥载选C 5,B解析：由f(x)=x十bnx十a(x>0),得f'(x)= 2x+6(r>0). 因为f(x)有板小值点，记为x。, 则2x,+么=0，脚6=-2x(>0. 又f(r.)=0,所以x十blnr,+a=0 pa=-xi-6lnx=-xi+2xnxu≥0，所以x≥. 设a2-6=g(x)=x十2.rein o· 当x。≥√e时，g'(x,)=4r.十4xunx。>0, 所以g(x。)=x十2r1nx。在区间[Ve,十o)上单调递增， 又g(WE)=e+2clnE=2e 所以a-b的最小值为2e 6.ACD解析：画数的导数厂r)-一1a二(x>0. 令f'(x)=0,得x=e,则当0<x<e时，f(x)>0,函数为 增虽数： 当x>e时，'(x)<0,品数f(x)为减函数， 则当=时，通数取得框大值，板大值为f(®)=。，故A 正碱； 当x0时，f(x)→一9，x-十89时，f(x)-0,则f(x)的 因象如图 由f(x)=0,得x=1, 即面数f(x)只有一个零，点，故B错误： 因为12=2-24血2_4=4，f3>f4. 244 故f(2)<f(3)成立，故C正确： 若f(r)<k-上在(0，+©)上位成立，则k> x +1]. Lxxm 设Ax)=n兰+上（x>0,则()=血， T x 当0<x<1时，h'(r)>0,当x>1时，h'(x)<0, 甲当x=1时，函数：(x)取得极大值同时也是最大值，为 h(1)=1..k>1,故D正确.数选ACD. 7.ABD解析：由f(x)>0得，0<r<2,故A正确. f(x)=(2-x)e,令了(x)=0,得x=±E. 当x<一2或x>2时，f(x)<0:当一√2<r<√/2时， 周周测数学选择性必修第二册A版 ·4 f(x)>0: 当x=一√巨时，f(x)取得极小值. 当x=√2时，f(x)取丹极大值，故B正确. 当x-+一6o时，f(x)0, 当x-+十o时，f(x)+一6，且f(W2)>0, 结合函数的单调性可知，函数∫(x)有最大值，无最小值，故 C不正确，D正嘛 8,AB解析：当a=-1时，剩fx)=Os x f)地二，在区间[后号]上0 所以f)区问[后]上单满遂浅： 所以M■ 百35<B,故选项A正确 6 当a=2时，f(x)=cos x, f'(x)=xcos x(2-xtanr)>0, 所以)准区同[后号]上华精道塔，中M=后<号故 速项B正确。 当a=1时，若r∈(0，受）r<anx证成立， 所以f)=rcos<tan rcosr=如r<号，所以M3 号，故适须C特民 当a=3时，f(x)=x'cos, (r)=xcos (3-rtanr)>0, 所以八)在区网[晋号]上米锅递增，所以M-号 1 (侣）广>号故选境D错误，故选A出 9.万解析y_im1-2-e0s)0s上-1-2cos上 sin'r sin'r 国为0心<，所以当背<1<示时，y>0:直0<<号时， y'<0, 所以当=青时y=B 10,一20解折：由了)=宁十mr2十r十2，得了() x2+2mr十n, 又导高数(x)为偶函数，别m=0, 片以c)=号+a十2，=宁n+2=-号片以 =-3, 所以fx)=3-3a+2.fu)=x-3 所以g(x)=e(x2-3),g'(x)=e(x2-3十2r)=e(x 1)(x+3). 划函数g(x)在区问[0,1)上单调递减，在区何(1,2]上单调 递增， 所以高数g(x)的最小值为g(1)=e·(1一3)=一2e, 解析：设被切去的全等四边形的一边长 为，如图所示， 附正六棱柱的底面边长为1一2x,高为√3x 所以显六检程的体有V=6×1-2户，后： 是4-+0<<安）则V-号12-8x+ 1 1).令V=0,解得工=？（含去）成x=行当r∈ (,君)时v>0:音x∈（合》时v<0,就当=日 时，V有极大位，也是最大位，此时正六棱柱的底面边长 12[行，】解折：周为x)=寸n2x十2an, 所以f广(x)=1-30s2x+2ac0sx 由题麦可得f)=目一号ms2x十2a0s>0时于xER 饭成立。 令cosx=tE[-1,1], 弹0=1-号公-+2知=-合+2+号≥0对于 t∈[-1,1门恒成立只需要gu)m≥0 又)的因泉的对稀铅为1=积 当1号≤1，即4≤-言时8u)在[-1，门上单满 瑾减， 北时g0)=4D=-子+2a+号>≥0，可得a>-名 北时不成立 当1=兴>1.即a>言时g0)在[-1.上单调递地 北时g)=g(-=-子-2a+亨>≥0，可得a<名 4 此时不成立 4 =-+a+号0. 5 (-10=-2a+0 解得一日<a<行此时特合题意，片以口的取值龙因 为[] 13.解：(1)由已知得f'(x)=c一ax一1. 设g(x)=f(x),∴.g'(x)=e'-a, ①当a≤0时，g'(r)=e一a>0在R上恒成立， g(x)=(x)在（一o,十o)上单调递增. ②当a>0时，令g'(x)>0得，x>lna,令g'(x)<0得， r<In d. ·49 ∴g(x)=f(x)在(-o,na)上单调通减，在(lna,十o∞) 上单调递增： 缩上所迷，当“≤0时，y=广(x)是（一6∞，十∞）上的增 函数： 当a>0时，y='(x)在（一o,na)上是减函数，在 (lna,十oo)上是增虽数， (2)由(1)知，①当a≤0时，f《x)=e一ax一1在[一1， 十0)上单调遏增， 又f'《0)=0,六者-1≤x<0时，了(x)<0:当x>0时， f'(x)>0. 则f(x)在[一1,0)上单调逆减，在(0，十∞)上单调诡增， ∴f(x).=f(0)=1, ②当0<a<时，na≤-l1 由(1)如，f'(x)在[一1，十o0)上单调递增，又f'(0)=0, 则了(x)在[一1,0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， .f(x）n=f(o)■l. @当<a<1-时，由1)如f)在[-1.ha)上单 调适减，在(lna,十o∞)上单调递增， 县fo)=0,f-10=+a-1<0, ∴当-1≤r<0时，f'(x)<0:当x>0时，∫'(x)>0, .「(x)在[一1,0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，则 f(x)n=f(0)=1. 棕上所迷，函数f(x)在[一1，十o)上的最小值为1， 14.解：(1)f(x)的定义城为(0，十∞)， 当m=3时，x)=3+n 2 令f(x)=0,解得x=3. 当r∈(3，十o∞)时，f(x)>0,f(r)单调递增： 当x∈(0,3)时，f(x)<0.f(x)单调逆减， ∴.「(x)的械小值为f(3)=1+n3,无校大值 (2)g(x)=x1十x-x, ∴g'(x)=3x2+2x-1, 「1 当x∈[z2时，g'()>0, g(x)在 之，2上举调递增g(r)三g(2)=10 -1 序对任客x∈[合2])-空+nx≥1做成立 即m≥x一xlnx恒成立. 令h(x)=x-xlnx,则h'(x)-1-lhx-1--lnx: 1 六当1Kx≤2时，h')0,当2≤r<1时h'x)>0, .h(x) [侵）上毕洞遥培，在1,2上米洞递减， 「1。 .当xE 22时，x)的最大值为h(1)=1, m≥1，即实数m的取值范国是[1，十o©). 答案全解全析 15.解：)对任意0<玉，<，尉2-2 2x)(x十2-2x,十x).且41≤2(x+x)≤ x一r: 4r:,所以y=4红是函数y=2x(x>0)的一个控制画数. (2)证明：周为0<a<b,所以6）-a2 b-a Int-In a"a b-a 所以6)a)上n立上Ib)上a21 b-a a b-a a' b-a n点 a 1 b-a b' 设y=nr-+1.>0,别y=1-1,在(1，十四)上， y'=-1<0,在0,1D上y=-1>0,所以y=nx x十」在(1，十o)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以其最大值ym=n1一1十1=0 因为0<a<b,所以台>1,0<分<1，b-a>0,a-b<0, 所以n台-点+10，n号-号+1<0， 则n么-b二a<0. aa "a-I<0.#f(b)-f(a)<I 因为6-a>0,所以。-aa b-a 因为a-b<0,所以h台。之0中@行 b-a <f）@<又f)=子在区同ab 缩上方 b-a 上的值线为（合）： 则关于工的方粒/)@=广()在区间a,b)上有实 b-a 数解。 （3)f(x)=xn,刚)-f2_n-xln五 其中0<x1<x· r In x-x:In x: x1一x -h王4=hx-xhx i-T: In-falm-fn :trln xI-Y: 周为0<x<x,所以0<<1，x,-x1<0,所以h三< x z:In >0，脚a二血>nx, 0,一 周周测数学选择性必修第二册A版 ·5 同理n,n<1n,甲nx1< f()-f2< x1一x: 尉y=nx是y=f(x)的一个控制函数. 阶段检测二一元函数的导数及其应用 1.D解析：im c十△x)-fx=f(x,)=-2.故选D 2.A解析：曲题店得，y=血t'x+1)-（r+D'nr= (x+1) 1+-h a+1)一r>0):询线在点1,0)处的切线与直线x 2y十1=0套直2-，解释a=一之 4 3,B解析：y=e+cos(-x十x）, ∴.y'=(e+l)'cos(-x2+r)十e+[cos(-x2+x)] =-2e+lcos(-r+r)-[e+lsin(-f2十x门· (-2x+1) =-eb+1[2eos(-x2+x)+(-2r+1)sin(-x+x)] =-e+1[2c0s(x-x)十(2x-1)sin(x-x)].故逸B LC解析fx)三=，定义域为（一o∞，0）U(0,+) -= -=一f(x),f(x)为奇函数，圈象关于原 点对称，技排膝Bf)=专<1，故排膝A:当>0时。 f'(r)=(z-De 3,又当r>1时，f(r)>0.f(x)在 (1,十∞)上单调递增，故排涂D故速C 5.C解析：f'(x)=2x(3r-a),x∈(0，十o∞)， ①当a0时，f(x)=2x(3x一a)>0, 函数f(x)在(0，十6o)上单调道增，f(0)=1, f(x)在(0，十©)上没有零点，含去： ②当a>0时，由了x)=2x(3x-a)>0得，>号 ∴f(x)在(0，号)上单调递减，在（号，十）上单调递增， 又f(x)在(0，+∞)内只有一个零点， (份）=一劳十1=0，解得a=3 此时f(x)=2x3-3x+1,f(x)■6x(x-1),x∈[-1， 1]. 由于'(x)>0的解集为(-1.0)， 所以f(r)在（一1,0）上单调递增，在(0,1)上单调遂减， 所以f(x)=f(0)=1,即f(x)在[-1,1]上的装大值 为1， 6A解折：=eha子=aha<0, 二3=elnb→ =bin b<0. -3周测10导数在研究函数的最大（小）值中的应用 〔时间，0分钟分信，100分) 一，选择是本恩共5小题，每小题百分，共25分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合愿 日要求的》 L.雨数(x1=厅一x十6在，门上的最大值与量小植之和为 人.=6 C.6 D.5 2.已知函数f1一r'+n工的阁象在(1，/1)处的切线经过坐标原点，期函数y一f的最 小值为 In2 C. D.1 3.设a∈N.e为自然对数的底数，若雨数/（文）=e”一m在0，内有且仅有一个零点，期4一 A.e C D.e 4.已知希数fr)-nx一r,其中xE[1,十四》，若不等式f(x)运0恒成立，嫌实数a的斯值 再为 A[1,十o》 B(-l- c) D0,十+o) 5,若雨数f(r1=r十1n十(a6E量有极小值，且级小值为0，则年一本的最小催为() A.e B.2e 拟 二，选择题本题其3小整，每小题6分，共18分.在每小驱给出的四个选项中，有多项是杆合题日 要求的，全这对的得5分，建对但不全的得2分，有选情的不得分》 室瓦对下雨数=一，下列说法正确的有 人心在：=处取得板大植时 丝（有两个不同零点 C.ft2fa》 D,若代<k上在0，十@)上智成立，周>司 7.下列关干函数/：》一（径一了）e的列斯正0的是 板 A.(x>0的解集晶{z0<x2 B《一区)是极小值，(，区)是极大值 C.f(r)设有昼小值，虫没有量大简 D/(r有昼大算，无最小值 &设1-sE[层引的层大值为M.博 .当4=-1时，M<月 气。-2时M<号 C当4-1时Mg D当a一时，M<号 选择题答题栏 是号 4 5 芳案 三，填空赠（本题共4小题，每小整5分，共20分） 设0<了<期漏散y2二”二的最小值是 i由士 0,已知商数x)='十w'+1十2.其绿函数f(r为锅闲数，f1)=一行·期函数g)一 广(xe'在区可L0,21上的量小值为 1【,如图所示，将边长为1的正大边形候皮的★个角各切去一个全亨的围边形，再邢虚驾折母，量 成个无菱的正六棱柱客善，当这个正六棱住容酱的成面边长为 时，其容积最大， d"b 2.若橘数)-一京红十3面于在民上单腾递增，用。的取值意假为 国，解答题{本题共3小题，共3了分，解苦故写出文字说明，证阴过程成演复步潭) 江体小题消分2分E知风数=-吉-一 1)设了x1是/《x)的异函数，材论两数y一（的单调针： 2)当a运1一一时，承函数心)在-1，+)上的最小值 博测10导数在明充函数的量大（小】值中的应用 14.《本小题病分2分已知函整fG)-■+口gx)一+x一不， 1)若m=3,求f)的极值， 若对于任意的∈[侣，都有≥，求实数m的取值意照 州风测数学，及择性必餐二所A餐 15,「本小题黄分13分已知y=(x)与y=(r)环是定义在(0，十)上的函数，若对任意1： 长十o,当：<时，都有云1<)二型2G,期骄y=R)是y (x)的一个“控制函数” 1)判断y一4「星否为函数y一2x(x>0的一个控制函数，并说明理由： 设-的导数为'，<<，求证关于：的方程二@-x在区何 6一4 (d,b)上有实解： 8)设fx)-血r,雨数y一是香存在控制函数？若存在，请求出y-)的控制函等 数：若不存在，请说明理由， 姓