第五讲：绝对值（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第五讲：绝对值 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作 | a |.（这里的数a可以是正数、负数和0.） 知识点02：代数符号意义 当a > 0时，| a | = a； 当a < 0时，| a | = a； 当a = 0时，| a | = 0. 总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 知识点03：绝对值的性质 1.性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数.即±a. 2.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 考点1：求一个数的绝对值 【典型例题】 的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【变式训练1】 下列化简正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式训练2】 已知，，则（　　） A． B． C．0 D．或 考点2：绝对值的几何意义 【典型例题】 如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【变式训练1】 已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点表示的数 B．点表示的数 C．点表示的数 D．点表示的数 【变式训练2】 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 考点3：绝对值的非负性 【典型例题】 若，则值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练1】 若与互为相反数，则的值是（　　） A．22 B．8 C． D． 【变式训练2】 若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 考点4：绝对值的其他应用 【典型例题】 一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】 设x为一个有理数，则必定是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．零 一、单选题 1．若，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 3．若a是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 4．计算：（   ） A． B． C．5 D． 5．如图，数轴上有两点，数轴的单位长度为1，若点表示的数的绝对值相等，那么点M表示的数为（   ） A．3 B． C．2 D． 6．如果，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（    ） A．4 B． C． D． 8．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 9．为了检测篮球是否合格，将其质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，在下面得到的四个检测结果中，质量最接近标准的一个是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若，则 ． 11．绝对值是2的数是 ． 12．如果，那么 ． 13．在数轴上，已知原点左边的某一点表示的数的绝对值为14，则这个点表示的数为 ． 14．若数轴上点A，B表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离是11，则该两点表示的数分别是 和 ． 15．若，则 ；若，则n 0（填“>”“<”或“=”）． 16．的绝对值是 ，数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是 ． 17．若点M在数轴上原点的右边，则点M表示的数是 数；数轴上表示的点在原点的 边，距离原点 个单位长度，数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是 ． 三、解答题 18．求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 19．在如图的数轴上先画出位于点A右边4个单位长度的点B，在原点左边画点C，使B，C两点到原点的距离相等，写出B，C两点所表示的数，并求A，C两点间的距离． 20．如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_______． (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是______．请写出此时点A，B，C，D，E表示的数，并指出哪一个点表示的数的绝对值最小． 21．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第五讲：绝对值 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作 | a |.（这里的数a可以是正数、负数和0.） 知识点02：代数符号意义 当a > 0时，| a | = a； 当a < 0时，| a | = a； 当a = 0时，| a | = 0. 总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 知识点03：绝对值的性质 1.性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数.即±a. 2.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 考点1：求一个数的绝对值 【典型例题】 的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义计算即可．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是2024， 故选：B． 【变式训练1】 下列化简正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值及化简多重符号．根据绝对值及化简多重符号进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练2】 已知，，则（　　） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据题意可得，然后求出b的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 考点2：绝对值的几何意义 【典型例题】 如果，那么是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 【变式训练1】 已知四个有理数在数轴上的对应点，，，的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点表示的数 B．点表示的数 C．点表示的数 D．点表示的数 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义结合实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置，即可求出结果，熟练掌握绝对值最大的数就是到原点距离最大的数是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得离原点最远的点是点， ∴这四个点表示的数中，绝对值最大的是点表示的数， 故选：A． 【变式训练2】 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的应用，哪个标记的数的绝对值最小，哪个最接近标准． 【详解】解：， 可知最接近标准的是， 故选C． 考点3：绝对值的非负性 【典型例题】 若，则值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求得，的值， 再代入代数式计算可得 ．本题考查的是非负数的性质， 熟知几个非负数的和为0时，每一项必为0是解答此题的关键 ． 【详解】解：， 且， 则，， 原式， 故选：A． 【变式训练1】 若与互为相反数，则的值是（　　） A．22 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义以及绝对值得定义，熟知任意数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键． 先根据互为相反数的两个数相加为0，求出x、y的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【变式训练2】 若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 考点4：绝对值的其他应用 【典型例题】 一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最接近标准的是选项D中的元件． 故选：D． 【变式训练1】 如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意数轴上的点A、B所表示数的绝对值相等可找到数轴的原点，从而解得的长度即可判断点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B所表示的数的绝对值相等， 可以确定原点O的位置，如图，    ∴C点表示的数是5， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴；熟练掌握数轴上点的特点，能够确定原点的位置是解题的关键． 【变式训练2】 设x为一个有理数，则必定是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．零 【答案】C 【分析】分三种情况：x=0，x＞0，x＜0进行分析即可． 【详解】解：当x=0时，|x|-x=0， 当x＞0时，|x|-x=0， 当x＜0时，|x|-x=-2x>0， 则|x|-x≥0， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 一、单选题 1．若，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：， ，为非正数． 故选：D． 2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 3．若a是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念，绝对值的性质，关键是要牢记正负数的定义和绝对值的性质． 根据正负数的概念及绝对值的性质即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； C．当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 4．计算：（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，负数的绝对值等于它的相反数，由此可得答案． 【详解】解：， 故选D． 5．如图，数轴上有两点，数轴的单位长度为1，若点表示的数的绝对值相等，那么点M表示的数为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离．根据题意可得点M，N的距离为6，再由点M，N表示的数的绝对值相等，可得点M，N表示的数互为相反数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点M，N的距离为6， ∵点M，N表示的数的绝对值相等， ∴点M，N表示的数互为相反数， ∴点M到原点的距离为3， ∴点M表示的数是． 故选：B． 6．如果，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 故选：C． 7．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 根据绝对值的意义得：到原点的距离为4的点有4或，即可得到A表示的数． 【详解】∵， 则点A所表示的数是． 故选：C． 8．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，根据正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0得出答案即可． 【详解】解：∵正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，即等于它本身， ∴一个数的绝对值是它本身的数是正数和0； 故选：C． 9．为了检测篮球是否合格，将其质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，在下面得到的四个检测结果中，质量最接近标准的一个是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数、绝对值的意义．计算各个数的绝对值，绝对值最小的篮球最接近标准质量． 【详解】解：， A选项的篮球最接近标准质量． 故选：A． 二、填空题 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据求一个数的绝对值进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．绝对值是2的数是 ． 【答案】2或 【分析】此题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质． 根据绝对值的定义即可求解． 【详解】解：绝对值是2的数是2或． 故答案为：2或． 12．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 利用绝对值的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．在数轴上，已知原点左边的某一点表示的数的绝对值为14，则这个点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数与数轴，根据绝对值为14和在原点左边即可求解． 【详解】∵这个点到原点的距离是14， ∴这个数是 ∵这个数在原点左边 ∴这个点表示的数为， 故答案为：． 14．若数轴上点A，B表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离是11，则该两点表示的数分别是 和 ． 【答案】 5.5 【分析】本题考查了相反数的几何意义，绝对值的几何意义，根据数轴上两个数互为相反数，可得这两个数表示的点到原点的距离相等，即可解答． 【详解】解：根据题意得：、两点到原点的距离相等 ， 、两点所表示的数分别为，． 故答案为：，． 15．若，则 ；若，则n 0（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 1 【分析】此题考查了绝对值的应用，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：若，则；若，则， 故答案为：1，． 16．的绝对值是 ，数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】 2或 【分析】此题考查了绝对值和用数轴上的点表示有理数．根据绝对值的定义和数轴上点的特征进行解答即可． 【详解】解：的绝对值是，数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2或， 故答案为：，2或 17．若点M在数轴上原点的右边，则点M表示的数是 数；数轴上表示的点在原点的 边，距离原点 个单位长度，数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】 正 左 5 5或 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，正方向向右的数轴上，在原点左边的数是负数，在原地右边的数是正数，数轴上一点到原点的距离即为这个数与0的差的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：若点M在数轴上原点的右边，则点M表示的数是正数；数轴上表示的点在原点的左边，距离原点5个单位长度，数轴上距离原点5个单位长度的点表示的数是5或． 故答案为：正；左；5；5或． 三、解答题 18．求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【答案】(1)6 (2)4.7 (3) (4)2024 (5)0 (6) 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 19．在如图的数轴上先画出位于点A右边4个单位长度的点B，在原点左边画点C，使B，C两点到原点的距离相等，写出B，C两点所表示的数，并求A，C两点间的距离． 【答案】点B表示，点C表示，A，C两点间的距离为1 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离等知识．根据题意在数轴上找到点B和点C，根据数轴进行解答即可． 【详解】解：如图所示， 由数轴可知，点B表示，点C表示， A，C两点间的距离为． 20．如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是_______． (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是______．请写出此时点A，B，C，D，E表示的数，并指出哪一个点表示的数的绝对值最小． 【答案】(1) (2)5，点A表示，点B表示4，点C表示0，点D表示，点E表示，点C表示的数的绝对值最小 【分析】此题考查数轴，利用相反数的意义确定出原点的位置是解决问题的关键． （1）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知的中点即为原点，据此即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知的中点即为原点，据此即可得出各点所表示的数，再根据绝对的定义即可得到绝对值最小的点所表示的数． 【详解】（1）解：根据题意得， 点A，B表示的数互为相反数，即点A，B到原点的距离相等，有， 点A表示，点B表示3， 点C表示， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 点B，E表示的数互为相反数，即点B，E到原点的距离相等，有， 点E表示，点B表示4， 点A表示，点C表示0，点D表示，点E表示， 点D表示的数的绝对值为， ， 点C表示的数的绝对值最小． 21．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)3 (3)7或 【分析】本题考查数轴上两点之间线段长度的求法，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，熟记运算公式是解决问题的关键． （1）根据点代表的数分别为和1，可得线段； （2）根据点代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 【详解】（1）解：∵点代表的数分别为和1， ∴线段， 故答案为：10； （2）解：∵点代表的数分别为和， ∴线段； 故答案为：3； （3）解：由题可得，则或，解得或， ∴值为7或． 学科网（北京）股份有限公司 $$