13.2 课时2 勾股定理及其逆定理的综合运用&专题10 勾股定理与最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 7.解：第一种情况：如答图①,把我们所看到的前面和上面组 成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4,所走的 最短路径长为√42+92=√97(cm); B 6 B 3 3 AL 4 A- 4 6 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 第二种情况：如答图②,把我们看到的左面与上面组成一个 长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6,所走的最短 路径长为√72+62=√85(cm); 第三种情况：如答图③,把我们所看到的前面和右面组成一 个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3,所走的最 短路径长为√32+102=√109(cm). ∵√85<√97<√109, ∴蚂蚁需要爬行的最短路径的长为√85cm. B 6 A 3 4 课时2 勾股定理及其逆定理的综合运用 【基础巩固练】 1.A 2.A [解析]由勾股定理，得OP?=√2,OP?=√3,OP?=2, OP?=√22+I2=√5,依此类推可得OP=√n+1,∴S2= 4,s2=2,s2=3,⋯,s3=9⋯s2+S2+5S3+⋯+53 =4+2+3+⋯+9=45 3.96 4.9 [解析]在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°,BC=17m,AC= 8m,∴AB=√BC2-AC2=√172-82=15(m).在 Rt△ACD中，∵ CD = 10 m,∴AD = √CD2-AC2= √100-64=6(m),∴BD=AB-AD=15-6=9(m),则船 向岸边移动了9m.故答案为9. 5.13 [解析]将题图展开，如答图，A'B′=10+2MN=10+2 =12(m),连结A'C′,则A'C′即为蚂蚁爬行的最短路径.易 知四边形A'B'C'D'是长方形.在Rt△A'B'C′中，A'B'=12m, B'C'=5m,∴A'C12=A'B12+B'C12=122+52=132,∴A'C' =13m,∴蚂蚁从点A爬到点C,至少要爬13m. D' C' A' MN B' 5题答图 6.解：线段AB、CD、EF如答图所示. A F D B] CE 6题答图 7.(1)证明：在△ABC中，已知AB=5,AC=4,BC=3. ∵42+32=52, ∴AC2+BC2=AB2,△ABC是直角三角形. (2)解：如答图，连结BE. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=EB. 设AE=x,则BE=x,EC=4-x, ∴x2-32=(4-x)2, 解得：x=38,,即AE的长是-8 耿 C A D B 7题答图 8.解：(1)学校C会受噪声影响. 理由如下：如答图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC=200m,BC=150m,AB=250m, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°, SABC=—AC·BC=2cD·AB, ∴AC·BC=CD·AB, 即200×150=250×CD, CD=2025×150=120. ∵环卫车周围130m以内(不包括130m)为受噪声影响 区域，120<130, ∴学校C会受噪声影响. B C ∵ED=√EC2-CD2=√1302-1202=50(m), BD ∴EF=2ED=100(m). F A (2)如答图，当EC=130m,FC=130m时， ∵环卫车噪声影响该学校持续的时间为2min, ∴.环卫车的行驶速度为100÷2=50(m/min). 8题答图 【能力提升练】 1.B [解析]第一个三角形的斜边长=√12+12,第二个三 角形的斜边长=√12+(√2)2=√3,⋯⋯第九个三角形的 斜边长=√12+(√9)2=√10,则这个海螺图形周长=1+ 1×9+√10=10+√10.∵与√10最接近的整数是3,与 10+√10最接近的整数是13,故选B. 2.C 3.x2+22=(x+0.5)2 4.号 [解析]∵ ∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC= √AB2=BC2=3.∵CD⊥AB,∴SABC=2AC·BC= 2AB·CD,即×3×4=2×5CD,⋯.CD=号，⋯BD= √BC2=CD2=1.由折叠的性质可得 BC=B'C=4,S△BCE =SABCE,BE·CD= B′C·DE,即×号 BE= 4DE.E一DE DE+BE=ED-=1DE- SAsce=2B′C·DE=2×4×号=1号，,故答案为号 ·34· 参考答案及解析 6.解：AF⊥EF.理由如下： 连结AE,设正方形的边长为4a, 则DF=CF=2a,CE=a,BE=3a. ∵在正方形ABCD中，∴∠B=∠C=∠D=90°. 在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=20a2, 在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=5a2, 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=25a2. ∴在△AEF中，AE2=AF2+EF2, ∴△AEF为直角三角形，且∠AFE=90°, ∴AF⊥EF. 7.解：如答图，设河岸为MN,作点A关于MN的 .A' 对称点A′,连结A'B交MN于点P,连结AP, 此时AP+PB最短. M- P N 由作图可得最短路线长为A'B的长. AY 在Rt△A'DB中，A'D=4+4+7=15(km), D2 B BD=8km, 由勾股定理，得A'B=√152+82=17(km). 故他要完成这件事情所走的最短路程是17km. 7题答图 8.解：AB和BC相等且垂直.理由如下： C 如答图，连结AC,由勾股定理可得 AB2=12+22=5, A BC2=12+22=5, AC2=12+32=10, B 所以AB2+BC2=AC2,且AB=BC, 8题答图 所以△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形， 即AB⊥BC,且AB=BC, 所以AB和BC的关系是相等且垂直. 专题10 勾股定理与最短路径问题 1.D 2.B [解析]如答图，台阶面的展开图为长方形，宽为8 dm, 长为(2+3)×3=15(dm),连结AB,则蚂蚁从点A沿台阶 面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线AB的长.由 勾股定理，得AB2=82+152=172,∴AB=17 dm.即蚂蚁沿 着台阶面爬行到点B的最短路程为17 dm. B3 2323 A 2 8 (单位：dm) 2题答图 CE B D- A 3题答图 3.解：把“半圆柱”侧面展开后，连结AE,如答图. 由题意可知AD=8π=8×3=24(m), DE=CD-CE=20-2=18(m). 在Rt△ADE中，AE2=DE2+AD2=182+242=900, ∴AE=30m,∴他滑行的最短距离约是30m. 4.解：(1)在Rt△MNB中， BN=√BM2-MN2=√152-122=9(m), ∴AN=AB-BN=25-9=16(m). 在Rt△AMN中， AM=√AN2+MN2=√162+122=20(m), ∴供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为： 35(m). 20+15= (2)∵AB=25m,AM=20m,BM=15m, ∴AB2=BM2+AM2, ∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC, ∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=15m. 5.解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平 面形成一个长方形，如答图①. ∵长方体的宽为2,高为4,点B与点C的距离是1, ∴AB=√42+32=5. BC 5题答图① A BC A BC A 5题答图② 5题答图③ ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形 成一个长方形，如答图②. ∵长方体的宽为2,高为4,点B与点C的距离是1, ∴AB=√22+52=√29. ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成 一个长方形，如答图③. ∵长方体的宽为2,高为4,点B与点C的距离是1, ∴AB=√62+12=√37. ∵5<√29<√37,∴蚂蚁爬行的最短路程为5. 易错疑难集训四 1.C 2.25或7 3.D [解析]由题意知，分两种情况求解： I.如答图①,高AD在△ABC内部. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=5, 在Rt△ABD中，由勾股定理，得DB=16, ∴CB=CD+DB=5+16=21, SAB? =—·BC·AD=2×21×12=126; A cZ D B 3题答图① A B C dD 3题答图② Ⅱ.如答图②,高AD在△ABC外部. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=5, 在Rt△ABD中，由勾股定理，得DB=16, ∴CB=BD-CD=16-5=11, SABC=·BC·AD= —×11×12=66. 综上所述，△ABC的面积为66或126. 4.3.6或4.32或4.8 [解析]在Rt△ABC中，∠ABC=90°, AB=3,BC=4, AC=√AB2+BC2=5,SAB=—AB·BC=6. 过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一 个是等腰三角形的情况有三种： ·35· 第13章 勾股定理 课时2 勾股定理及其逆定理的综合运用 基础巩固练 [答案 P34] 知识点○勾股定理及其逆定理的综合运用 1 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m,梯, 子顶端距离地面2.4 m若梯子底端的位置保持保持 不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面地面 1.5m,则小巷的宽度为 ( ) ) A.2.7m B.2.5m C.2m D.1.8m -2.4m D C →A B 0.7m 1.5m P. P P?S? S?.S?9⋯ P? SI 0 p 1题图 2题图 2 如图，0P=1,过点P作PP?⊥OP于点P,且PP? =1,得OP?=√2;再过点P?作P?P?⊥OP?于点于点 P?,且P?P?=1,得OP?=√3;又过点P?作P?P??P? ⊥0P?于点P?,且P?P?=1,得OP?=2;⋯⋯依 此方法继续作下去，S,S?,S?,⋯分别表示各个各个 三角形的面积，那么S2+S2+S2+⋯+S?的值 是 ( ) ) A4 B.5 c5 D.55 ③ 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°,AD== 12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,则这块地块地 的面积为____m2. C C 8m D B 1 D B A A 3题图 4题图 4如图，在离水面高度为8m的岸上，有人用绳子绳子 拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,几分钟分钟 后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为 10m,则船向岸边移动了_____m. 5 如图，四边形ABCD是一块长方形土地，AB== 10m,AD=5m,中间竖有一堵高1m的砖墙(MN =1m).一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过翻过 中间那堵墙，则它至少要爬_____m. D- C N A M B 5题图 6 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1. 请在图中作出AB=√2,CD=√10和 EF=√20 这样的线段. 6题图 7(北京平谷区期末)如图，在△ABC中，AB=5, AC=4,BC=3,DE是AB的垂直平分线，DE分 别交AC、AB于点E、D. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求AE的长. C A D B 7题图 8 (浙江杭州期末)如图，有一辆环卫车沿公路AB 由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点 C与公路AB上两点A、B的距离分别为200 m和 150m,AB=250m,环卫车周围130m以内(不包 括130 m)为受噪声影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗?为什么? (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间为 2 min,求环卫车的行驶速度为多少. B C A 8题图 79见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P34] 能力提升练 ①(淮安中考)如图，用9个直角三角形纸片拼成 一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形 都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实 线部分)为l,则下列整数与l最接近的是 ( ) 1 1 1 /1 1题图 A.14 B.13 C.12 D.11 2在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1, △ABC的顶点A、B、C均在正方形格点上，则下 列结论错误的是 ( ) B A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.SABC=10 A D.点A到直线 BC的距离是2 2题图 3(吉林中考)图①中有一首古算诗，根据诗中的 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其 示意图如图②,其中AB=AB′,AB⊥B'C于点C, BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可 列方程为_____ G 诗文：波平如镜一湖面， B B' 半尺高处生红莲。亭亭多 C ① 姿湖中立，突遭狂风吹一 边。离开原处二尺远，花 贴湖面象睡莲。 A 3题图① 3题图② 4如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, E为线段BD上一点，连结CE,将边BC沿CE折 叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上.若 AB=5,BC=4,则△B'CE的面积为_____. C A- D E ÷B B′ 4题图 5 如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和 50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操 作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和 50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角 形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后 的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的 图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中 的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形 中所有正方形的面积和为_____. 5题图① 5题图② 5题图③ 6 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为 BC上一点，且iEC=△BC,,猜想AF与EF的位置 关系，并说明理由. D┌ F C E A B 6题图 7如图，一个牧童在离小河4km的正南方向的A 处牧马，此时他正位于他家B的西8km、北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回 家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 小河 北 A 东 口. .B 7题图 8如图，在由6个大小相同的小正方形(小正方形 的边长为1)组成的方格中，A、B、C是三个格点 (即小正方形的顶点),判断AB与BC的关系， 并说明理由. C A B 8题图 80 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第13章 勾股定理 [答案 P35]专题10 勾股定理与最短路径问题 1如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不略不 计)的高为16cm,在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在与在与 之相对的容器外壁，位于离容器上沿4 cm的点的点 A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径长为长为 20 cm,则该圆柱的底面周长为 ( ) ) A.12 cm B.14 cm C.20 cm D.24cmm A B 32A B (单位：dm) 8 1题图 2题图 2如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别分别 为8dm、3 dm、2 dm.A和B是这个台阶上两个相个相 对的点，点A处有一只蚂蚁，它想到点B处去吃去吃 可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的 最短路程为 ( ) ) A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dmm 3 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池.该 U型池可以看作是一个长方体去掉了一个“半“半 圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为径为 8m的半圆，其边缘AB=CD=20m,点E在CD 上，CE=2m.一滑板爱好者从A点滑到E点，求，求 他滑行的最短距离.(边缘部分的厚度忽略不略不 计，π取3) EC B D A 3题图 见此 图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 4(四川成都期末)如图，某小区的两个喷泉A、B 位于小路AC的同侧，两个喷泉间的距离AB的 长为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM、BM, 供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离 MN的长为12m,BM的长为15m. (1)求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长； (2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离. □AC A ML □B C Np. M ◎ 凸 B C 4题图 5 如图，长方体的长为3,宽为2,高为4,点B与点 C之间的距离为1,一只蚂蚁如果要沿着长方体 的表面从点A爬到点B,求该蚂蚁需要爬行的最 短路程. B1C 4 A 3 2 5题图 81