13.2 课时1 勾股定理的实际应用-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 课时1 勾股定理的实际应用 基础巩固练 [答案 P33] 知识点①利用勾股定理解决实际问题 1((北京海淀区期末)如图，某公园的一块草坪旁 边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众， 沿AC修了一条近路，已知AB=40 m,BC = 30m,则走这条近路AC可以少走路 ( ) C B A 1题图 A.20m B.30m C.40m D.50m 2[传统文化](巴中中考)“今有方池一丈，葭生 其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水 深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问 题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( ) A.8 B.10 C.12 D.13 D C B 思 A -2m A B B ←1m- A 2题图 3题图 5题图 3(教材母题变式)一个门框的尺寸如图，下列长× 宽型号(单位：m)的长方形薄木板能从门框内通 过的是 ( ) A.2.6×2.5 B.2.7×2.4 C.2.8×2.3 D.3×2.2 4 校园内有两棵树，相距8m,一棵树高13m,另一 棵树高7m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一 棵树的顶端，则小鸟至少要飞 ( ) A.10m B.11m C.12 m D.13 m 5 如图，圆柱的底面周长是10cm,圆柱高为12 cm, 一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对 的点B,那么它飞行的最短路程为 ( ) A.10π cm B.13 cm C.13πcm D.15 cm 6 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂 直高度DE=1m,将它往前推送4m(水平距离 BC=4m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF= 2m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的 长度. A CP D- B 5 E F 6题图 知识点②利用勾股定理解决数学问题 7 如图，在数轴上找出表示3的点A,过点A作直 线l⊥OA,在l上取点B,使AB=2,以点0为圆 心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C,则点C 表示的数是 ( ) |L B A C 00 1 23 7题图 A.√13 B.-√13 C.-√10 D.-3 8新考法 如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC、EC.已知AB =5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的值； (2)当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小? (3)根据(1)(2)中的规律和结论，请构图求出 代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值. A Bh DC E 8题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 77 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P33] 《能力提升练 ① 如图是一扇高为2m,宽为1.5m的 门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如 下：①长3m,宽2.7m;②长2.8m, 宽2.8m;③长4m,宽2.4 m.可以 ←1.5m→ 通过的木板是 ( ) 1题图 A.② B.③ C.②③ D.都不能通过 2m ② 新情境 包装纸箱是我们生活中常见的物品.如 图①,创意DIY小组的同学将一个10cm×30 cm ×40cm的长方体纸箱裁去一部分(虚线为裁剪 线),得到如图②所示的简易书架.若一只蜘蛛 从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶 点B,则它爬行的最短距离为 ( ) B 40cm 40cm A 30cm 10cmL 30cm 10 cm 10cm 2题图① 2题图② A.50 cm B.55cm C.45 cm D.60 cm 3如图，在数轴上分别以长度1和2为直角边长作 Rt△OBC,然后以点B为圆心，线段BC的长为 半径画弧，交数轴于点A,那么点A所表示的数 为 ( ) C B A —3—-2-10(O)1 2 3 4 5 3题图 A.√5 B.1+√5 C.√5+2 D.3.2 4 [传统文化]我国古代有这样一道数 B 学题：枯木一根直立地上，高二丈周 三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而 达其顶，问葛藤之长几何?题意：如 图，把枯木看作一个圆柱体，圆柱的 4题图 高为20尺(一丈是十尺),底面周长为3尺，有 葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好 到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 ______尺. 5 如图①,跷跷板是常见的一种游戏.跷跷板一端 着地时如图②,支柱OM⊥地面MN,OA=OB, PC为把手，且PC⊥AB于点C,AC=40 cm,OM =70 cm.跷跷板可以绕点0转动，图③是跷跷板 水平即EF//MN时的示意图，此时点A、C、D、B 的对应点分别为点E、G、H、F,且恰有AE=AG. 则跷跷板AB的长为__________cm. 5题图① B B 0 D E G 0 DHF PA M N A M N 5题图② 5题图③ 6如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在 被开发，现有一C处需要爆破.已知点C与公路 上的停靠站A的距离为300 m,与公路上的另一 停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB,为了安全 起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进 入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险? 是否需要暂时封锁? 乙- B A 甲 C 6题图 7如图，是一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的 长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个 顶点A处，沿着长方体的外表面到长方体上的 另一个顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短 路径长. B 3 6 A 4 7题图 78 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 参考答案及解析 如答图②,当点E在DC的延长线上时，FP=√52-42=3, 所以FQ=FP+PQ=8. 设DE=x,则FE=x,QE=x-4. 在Rt△EQF中，(x-4)2+82=x2, 所以x=10. 综上所述，,DE=2或10. 13.2 勾股定理的应用 课时1 勾股定理的实际应用 【基础巩固练】 1.A 2.C 3.D [解析]如答图，连结AC,则△ABC是直角三角形，根据 勾股定理，得AC=√AB2+BC2=√12+22=√5≈2.236> 2.2, 只有3×2.2的薄木板能从门框内通过，故选D. D g 1 B +1m+ 2m A 4题答图 Eh C BL D C B A 3题答图 5题答图 4.A [解析]如答图，AB、CD为树，且AB=13m,CD=7m,BD =8m,过点C作CE⊥AB于点E,则CE=BD=8m,BE=CD =7m,∴AE=AB-BE=6(m),∴在直角三角形AEC中，由 勾股定理，得AC=√AE2+CE2=10(m),故小鸟至少要飞 10m.故选A. 5.B [解析]如答图，将圆柱侧面展开，则AB长即为蜜蜂从 圆柱内部点A飞到与之相对的点B的最短路程.∵圆柱的 底面周长是10cm,圆柱高为12cm,∴ BC=5cm,AC= 12cm,根据勾股定理得AB=√AC2+BC2=13(cm),∴蜜 蜂飞行的最短路程为13cm.故选B. 6.解：∵ CE=BF=2m, ∴CD=CE-DE=1m. 设AD=xm,则AD=AB=xm,AC=(x-1)m. 在Rt△ACB中，AB2=BC2+AC2, ∴x2=42+(x-1)2,解得x=8.5. 答：绳索AD的长度是8.5m. 7.B [解析]在Rt△OAB中，OB=√0A2+AB2=√32+22 =√13,0C=√13,.点C表示的数是-√13. 8.解：(1)AC + CE = √BC2+AB2+ √CD2+DE2= √(8-x)2+25+√x2+1. (2)当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小. (3)如答图，作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED1 BD,使AB=3,ED=2,设CD=x,连结AE交BD于点C. A F Bh C DE 8题答图 则AE的长即为代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最 小值. 过点A作AF⊥DE,交ED的延长线于点F,得到长方形 ABDF,则AB=DF=3,AF=BD=12, ∴EF=ED+DF=2+3=5. ∴AE=√122+52=13, 即√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13. 【能力提升练】 1.B 2.A [解析]如答图是书架的侧面展开图，连结AB,则AB的 长即爬行的最短距离.连结AC,交BD于点0.∵OA=30+ 10=40(cm),OB=40-10=30(cm),∴在Rt△AOB中，AB =√OA2+OB2=√402+302=50(cm),∴蜘蛛爬行的最 短距离为50cm. B 30cm At 0 C 10cm 10cm D 30cm 10cm 30cm 10cm 2题答图 3.B [解析]∵ Rt△OBC中，OC=2,OB=1,∴ BC = √OB2+0C2=√5.∵以点B为圆心，线段BC的长为半径 画弧，交数轴于点A,∴ BA=BC=√5,∴OA=1+√5,∴点A 所表示的数为1+√5.故选B. 4.25 [解析]如答图，一条直角边AC(即枯木的高)长为20尺， 另一条直角边BC长为5×3=15(尺),因此葛藤的最短长 度为√202+152=25(尺). C B A 4题答图 5.265 [解析]由题意，得 EG=AC =40 cm,OE=OA.如答图，过点 A作AQ⊥EG于点Q.∵AE=AG, B EQG 0 DHF M N QE=QG= —EG=20 cm 5题答图 ∵EF//MN,∴AQ=OM=70cm.在Rt△AQ0中，AQ2+QO2 =A02,∴702+(40-20)2=A022,:.A0=25cm,:AB= 20A=265cm.故答案为265. 6.解：如答图.过点C作CD⊥AB于点D. ∵BC=400m,AC=300 m,∠ACB=90°, ∴根据勾股定理，得AB=500 m. AB·CD= BC·AC, 乙- B D A甲 C ∴CD=240 m. 6题答图 ∵240m<250 m, ∴公路AB段有危险，需要暂时封锁. ·33· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 7.解：第一种情况：如答图①,把我们所看到的前面和上面组 成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4,所走的 最短路径长为√42+92=√97(cm); B 6 B 3 3 AL 4 A- 4 6 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 第二种情况：如答图②,把我们看到的左面与上面组成一个 长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6,所走的最短 路径长为√72+62=√85(cm); 第三种情况：如答图③,把我们所看到的前面和右面组成一 个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3,所走的最 短路径长为√32+102=√109(cm). ∵√85<√97<√109, ∴蚂蚁需要爬行的最短路径的长为√85cm. B 6 A 3 4 课时2 勾股定理及其逆定理的综合运用 【基础巩固练】 1.A 2.A [解析]由勾股定理，得OP?=√2,OP?=√3,OP?=2, OP?=√22+I2=√5,依此类推可得OP=√n+1,∴S2= 4,s2=2,s2=3,⋯,s3=9⋯s2+S2+5S3+⋯+53 =4+2+3+⋯+9=45 3.96 4.9 [解析]在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°,BC=17m,AC= 8m,∴AB=√BC2-AC2=√172-82=15(m).在 Rt△ACD中，∵ CD = 10 m,∴AD = √CD2-AC2= √100-64=6(m),∴BD=AB-AD=15-6=9(m),则船 向岸边移动了9m.故答案为9. 5.13 [解析]将题图展开，如答图，A'B′=10+2MN=10+2 =12(m),连结A'C′,则A'C′即为蚂蚁爬行的最短路径.易 知四边形A'B'C'D'是长方形.在Rt△A'B'C′中，A'B'=12m, B'C'=5m,∴A'C12=A'B12+B'C12=122+52=132,∴A'C' =13m,∴蚂蚁从点A爬到点C,至少要爬13m. D' C' A' MN B' 5题答图 6.解：线段AB、CD、EF如答图所示. A F D B] CE 6题答图 7.(1)证明：在△ABC中，已知AB=5,AC=4,BC=3. ∵42+32=52, ∴AC2+BC2=AB2,△ABC是直角三角形. (2)解：如答图，连结BE. ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=EB. 设AE=x,则BE=x,EC=4-x, ∴x2-32=(4-x)2, 解得：x=38,,即AE的长是-8 耿 C A D B 7题答图 8.解：(1)学校C会受噪声影响. 理由如下：如答图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC=200m,BC=150m,AB=250m, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°, SABC=—AC·BC=2cD·AB, ∴AC·BC=CD·AB, 即200×150=250×CD, CD=2025×150=120. ∵环卫车周围130m以内(不包括130m)为受噪声影响 区域，120<130, ∴学校C会受噪声影响. B C ∵ED=√EC2-CD2=√1302-1202=50(m), BD ∴EF=2ED=100(m). F A (2)如答图，当EC=130m,FC=130m时， ∵环卫车噪声影响该学校持续的时间为2min, ∴.环卫车的行驶速度为100÷2=50(m/min). 8题答图 【能力提升练】 1.B [解析]第一个三角形的斜边长=√12+12,第二个三 角形的斜边长=√12+(√2)2=√3,⋯⋯第九个三角形的 斜边长=√12+(√9)2=√10,则这个海螺图形周长=1+ 1×9+√10=10+√10.∵与√10最接近的整数是3,与 10+√10最接近的整数是13,故选B. 2.C 3.x2+22=(x+0.5)2 4.号 [解析]∵ ∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC= √AB2=BC2=3.∵CD⊥AB,∴SABC=2AC·BC= 2AB·CD,即×3×4=2×5CD,⋯.CD=号，⋯BD= √BC2=CD2=1.由折叠的性质可得 BC=B'C=4,S△BCE =SABCE,BE·CD= B′C·DE,即×号 BE= 4DE.E一DE DE+BE=ED-=1DE- SAsce=2B′C·DE=2×4×号=1号，,故答案为号 ·34·