12.4.1 互逆命题和互逆定理&12.4.2 线段垂直平分线-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P24] 12.4 逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 基础巩固练 知识点①命题与逆命题 1 (教材母题变式)已知命题“直角三角形的两个 锐角互余”,则该命题的逆命题为 ( ) A.如果一个三角形不是直角三角形，那么它的 两个锐角不互余 B.如果一个三角形中两个锐角不互余，那么这 个三角形不是直角三角形 C.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两 个锐角不互余 D.如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个 三角形是直角三角形 2 (教材母题变式)下列命题中原命题和逆命题都 是真命题的是 ( ) A.如果一个整数的个位数是5,那么这个整数能 被5整除 B.如果lal>Ibl,那么a>b C.如果一个三角形被一条线平分成两个面积相 等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 3 把命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题改 写成“如果⋯⋯,那么⋯⋯”的形式为_ 4命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 5 已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这 个数是负数”,则关于该命题和它的逆命题，给 出下列说法：①该命题和它的逆命题都是真命 题；②该命题是真命题，它的逆命题是假命题； ③该命题是假命题，它的逆命题是真命题；④该 命题和它的逆命题都是假命题.其中正确的是 _______.(填序号) 6已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的 平分线重合.证明这个命题，并写出它的逆命 题，逆命题成立吗? 60 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 知识点②定理与逆定理 7 (河北邯郸期中)下列命题中，与“同旁内角互 补，两直线平行”成为互逆定理的是 ( ) A.同旁内角不互补，两直线平行 B.同旁内角不互补，两直线不平行 C.两直线平行，同旁内角互补 D.两直线不平行，同旁内角不互补 8 下列有逆定理的是 ( ) A.直角都相等 B.两直线平行，同旁内角互补 C.对顶角相等 D.全等三角形的对应角相等 9 下列定理中，有逆定理的有_______.(填序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等. 10 按要求解答下列各小题. (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果a+b>0,那么ab>0; (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆 定理. 写出定理“三个角都相等的三角形是等边三角 形”的逆定理，并给予证明. 第12章 全等三角形 2.线段垂直平分线 基础巩固练 [答案 P25] 知识点③线段垂直平分线的性质 1(凉山州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的 周长为50 cm,则AC+BC= ( ) ) A.25 cm B.45 cm(C.50 cm D.55 cm A E A E 长E D c D B B D F C B C 1题图 2题图 3题图 2如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分平分 BD,垂足为点E,下列结论不一定成立的是 ( ) ) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 3如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以别以 点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，弧， 两弧交于点E、F,过点E、F作直线交AC于点于点 D,连结BD,则△BCD的周长为 ( ) ) A.7 B.8 C.10 D.12 4 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别分别 交BC于点E、F.若BC=10,则△AEF的周长是长是 _· A C B E F C A- B 4题图 5题图 5 如图，线段AC、AB的垂直平分线分别过点B、C,、C, 则∠A=_____. 6 如图，点D在BC上，DE垂直平分AC,垂足为点为点 E,DF垂直平分BA,垂足为点F.求证：DB=DC. A E E B D C 6题图 知识点②线段垂直平分线的判定 7(教材母题变式)如图，AC=AD,BC=BD,则一 定有 ( ) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB C A B D A B D C 7题图 8题图 8 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC=BD+ AD,则点D在线段_________的垂直平分线上. 9(云南昆明期末)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB交AB于点E. (1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数； (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线. A B D C 9题图 见此 图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 61 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P25] 能力提升练 ① 如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线， 则下列说法不正确的是( ) A A.AD垂直平分BC B.直线AD是△ABC的对称轴 C.点B和点C关于直线AD 对称 B D C D.BC垂直平分AD 1题图 2(重庆南川区期末)如图，△ABC是等腰三角形， 底边BC的长为6,面积是30,腰AC的垂直平分 线EF分别交AC、AB于点E、F.若D为BC边的 中点，M为线段EF上一动 C 点，则△CDM周长的最小 E D 值是 ( ) MA- A.11 B.13 F B C.18 D.24 2题图 3(教材母题变式)如图，AD⊥BC,BD=CD,点C 在AE的垂直平分线上.若AB=5,BD=3,则DE 的长为_______ 4 A D BE C B D C E F 3题图 4题图 4 (山西太原期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°,∠BAC=50°,AC的垂直平分线交BC于点 E.垂足为点D.若点F在射线 DE上，且CF= CA,则∠EAF的度数为____ 5(山东烟台期末)如图，在四边形ABCD中，∠A =∠B=90°,AB= 25 cm,DA= 15cm,CB= 10 cm.动点E从A点出发，以2cm/s的速度向B 点移动，设移动的时间为x s. (1)当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分 线上? (2)在(1)的条件下，判断 DE与CE的位置关 系，并说明理由. D C A E B 5题图 62 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 如图，在四边形ABCD中，AD//BC,E为CD的中 点，连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长 线于点F.求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD. A D E B C F 6题图 7[核心素养]在△ABC中，AB、AC的垂直平分线 分别交BC于点E、F. (1)如图①,当∠B=∠C=20°时，求∠EAF的 度数； (2)如图②,AB≠AC,且90°<∠BAC<180°. ①若∠BAC=130°,则∠EAF=____°; 若∠BAC=n°,则∠EAF=_______; ②当∠BAC=_____时，AE⊥AF; ③若BC=a,求△AEF的周长.(用含a的式 子表示) A AD JG D G B E F C B E\ IF C 7题图① 7题图② 同步练测·八年级数学·上册·华师版 (2)如答图，过点D作DG//BC, A 交AB于点G. 同(1)可以证明△ADG是等边三 Gf D 角形， 则AG=AD=GD. B E C F ∵△ABC是等边三角形， 4题答图 ∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠CDF+∠DFB=60°,BG=CD. ∵FD=BD,∠DBF=∠DFB. 又∵∠DBF+∠GBD=∠ABC=60°, ∴∠CDF=∠GBD. 在comrnAcm+ ∴△CDF≌△GBD(SAS),∴CF=GD,∴. AD=CF. 5.证明：(1)如答图，延长AB、DE交于点F. ∵AB//CD,∴∠F=∠2. D 1 2 C ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F,∴. AD=AF. ∵AD=AB+CD,AF=AB+BF,∴DC=FB. E 又∵∠DEC=∠FEB, ∴△DCE≌△FBE,∴BE=CE. A“ B F 5题答图(2)由(1)知△DCE≌△FBE,AD=AF, ∴DE=EF,∴AE⊥DE. (3)∵DE=EF,AD=AF,∴AE平分∠DAB. 6.证明：如答图，延长AD到点G,使DG=AD,连结CG. A ∵AD为中线，∴ BD=CD. 又∵∠ADB=∠CDG,AD=DG, E ∴△ADB≌△GDC(SAS), F ∴AB=CG,∠EAF=∠G. B- D C ∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA. ∵∠EFA=∠CFG,∴∠G=∠CFG, G ∴CF=CG,∴. AB=CF. 6题答图 7.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连结AE. ∵AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中，AD=AD,∠ADB=∠ADE,DB=DE, ∴△ABD≌△AED,∴AB=AE,∴∠B=∠AEB. 又∵AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, ∴AB+DE=DE+EC,∴.AB=EC,∴AE=EC. 设∠EAC=∠C=x, ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°, 即2x+120°+x=180°,解得x=20°, ∴∠C=20°. A B D E C 7题答图 8.解：小敏的证明思路： 如题图②,在AC上截取AE=AB,连结DE. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中，2n,6b ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴BD=DE,∠ABD=∠AED. ∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, ∴∠EDC=∠C,∴DE=EC, ∴AB+BD=AE+DE=AE+CE=AC. 小洁的证明思路： 如题图③,延长CB至点E,使BE=AB,连结AE,则∠E= ∠BAE. ∵∠ABC=∠E+∠BAE,∴∠ABC=2∠E. ∵∠ABC=2∠C,∴∠E=∠C,∴AE=AC. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC. ∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠BAE =∠E=∠C, ∴∠ADE=∠DAE,∴ AE=DE=AC, ∴AB+BD=BE+BD=DE=AC. 9.证明：如答图，过点A作AF//BC,交BD的延长线于点F, ∴∠F=∠DBC,∠FAD=∠C. ∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=∠C, ∴∠F=∠FAD=∠ABD,BD=CD, ∴AD=DF,AB=AF. ∵AE⊥BD,∴BE=EF=—BF. ∵AC=AD+CD=DF+BD=BF,∴AC=2BE. A -F D. E B C 9题答图 12.4 逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 【基础巩固练】 1.D 2.C 3.如果两直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截得的 内错角相等 4.同位角相等，两直线平行 5.① 6.解：已知：如答图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 中线. A BL D C 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS), 6题答图 ∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC, ∴等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合. 它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合 的三角形是等腰三角形”,逆命题成立. ·24· 参考答案及解析 7.C 8.B 9.①③ 10.解：(1)①相等的角是内错角的逆命题：如果两个角是内 错角，那么这两个角相等. ②如果a+b>0,那么ab>0的逆命题：如果ab>0,那么 a+b>0. (2)因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命 题都是假命题，故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆 定理. 11.解：逆定理为“等边三角形的三个角都相等”. 已知：△ABC是等边三角形. 求证：∠A=∠B=∠C. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC. 由AB=BC,得∠C=∠A; 由BC=AC,得∠A=∠B,∴∠A=∠B=∠C. 2.线段垂直平分线 【基础巩固练】 1.C 2.C 3.C 4.10 5.60 6.证明：∵DE垂直平分AC,DF垂直平分BA, 7.A 8.AC 9.(1)解：∵AD平分∠BAC,∠BAC=50°, (2)证明：∵DE⊥AB,∴ ∠AED=90°=∠ACB. 【能力提升练】 ∴DC=DA,DB=DA,∴DB=DC. ∠EAD=一—∠BAC=25° 又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC. ∵DE⊥AB,∴ ∠DEA=90°, ∵AD=AD,∴△AED≌△ACD, ∴∠EDA=180°-90°-25°=65°. ∴AE=AC,DE=DC, ∴直线AD是线段CE的垂直平分线. 1.D 2.B [解析]连结AD、AM,如答图. C E D M A- F B 2题答图 ∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=6,∴AD⊥ BC,CD=3,∴SABC= BC·AD= —×6×AD=30,,解得 AD=10.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴CM=AM,∴CD+ CM+DM=CD+AM+DM.∵AM+DM≥AD,∴AD的长为 CM+DM的最小值，∴△CDM周长的最小值为AD+CD= 10+3=13.故选B. 3.8 4.20° 5.解：(1)当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上.理由： 当x=5时，AE=2×5=10(cm)=BC. ∵AB=25cm,DA=15cm. 在△ADE和△BEC中， ∴△ADE≌△BEC(SAS),∴DE=CE, ∴点E在线段CD的垂直平分线上.故当x=5时，点E在线 段CD的垂直平分线上. (2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE.理由： ∵△ADE≌△BEC,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠A=90°,∴∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED+∠BEC=90°, ∴∠DEC=180°-(∠AED+∠BEC)=90°, ∴DE⊥CE. 6.证明：(1)∵AD//BC,∴∠ADE=∠FCE, ∵E为CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD. (2)∵△ADE≌△FCE, ∴AE=FE,AD=FC. ∵BE⊥AE,.BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+FC=BC+AD, 即AB=BC+AD. 7.解：(1)∵DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∴ BE=AE,AF=CF, ∴∠B=∠BAE=20°,∠C=∠CAF=20°, ∴∠BAE+∠CAF=40°. ∵∠B=∠C=20°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=140°, ∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=140°-40°=100°. (2)①80 2n°-180° ②135 ③由(1)知BE=AE,AF=CF. ∵BC=BE+EF+CF=a,∴AE+EF+AF=a, ∴△AEF的周长为a. 3.角平分线 【基础巩固练】 1.B 2.C 3.6cm [解析]如答图，过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB,垂足分 别为点N、Q.∵BP、CP分别是∠HBC与∠BCM的平分线， ∴PQ=PN,PN=PM,∴PQ=PM.∵PM=6cm,∴ PQ= 6cm,即点P到AB的距离为6cm.故答案为6cm. A B NT C Q H M P 3题答图 4.证明：∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∴∠DOF=∠EOF(角平分线的定义),PD=PE(角平分线 的性质定理). 在Rt△OPD和Rt△OPE中，PD=PB(已证力) ∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL), ∴OD=0E(全等三角形的对应边相等). ·25·