12.4.1 互逆命题和互逆定理 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.4.1 互逆命题和互逆定理 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：60分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 4．命题“锐角小于”的逆命题是（   ） A．小于 的角是锐角 B．不是锐角的角不小于 C．不小于的角不是锐角 D．如果一个角是锐角，那么这个角小于 5．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．在同一个三角形中，等边对等角 D．如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 6．已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 7．下列命题中，其逆命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等 C．若，则 D．如果，那么 8．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 9．对于命题：“如果，那么．”下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题而其逆命题是假命题 C．该命题及其逆命题都是假命题 D．该命题是假命题而其逆命题是真命题 10．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．钝角三角形中有两个锐角 11．下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．是3的平方根 C．无理数是无限小数 D．若，则 12．已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 14．把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 15．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 16．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题是 ． 三、解答题（共72分） 17．（12分）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 18．（12分）请写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果，那么，； (2)若两个角互补，则这两个角的和为； (3)若，则． 19．（12分）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 20．（10分）写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题． 21．（12分）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 22．（14分）如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 12.4.1 互逆命题和互逆定理 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A A C C B C 题号 11 12 答案 D A 1．D 【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案． 【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 2．B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为内错角相等，两直线平行； 故选C 4．A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度较小．交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题． 【详解】解：命题“锐角小于”的逆命题是小于的角是锐角， 故选：A 5．A 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答． 交换命题的题设与结论，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了互逆定理，互逆定理是通过交换原定理的条件和结论而形成的．原定理的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于”，因此互逆定理应为“如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形”． 【详解】解：∵原定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于， ∴互逆定理：如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， 故选：A． 7．C 【分析】考查了命题与定理的知识，全等三角形的判定与性质，求一个数的立方根等知识点，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后，再判断真假命题即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果，那么，是假命题，应该为，故不符合题意； B、逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C、逆命题为：若，则，正确，是真命题，符合题意； D、逆命题为：如果，那么，错误，是假命题，应该为，不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 9．B 【分析】根据命题，逆命题，真假命题，结合关联知识解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：“如果，那么是真命题，其逆命题为： “如果，那么，是一个假命题，如，就不成立． A、故此选项错误； B、故此选项正确； C、故此选项错误； D、此选项错误； 故选：B． 10．C 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假． 逆命题是将原命题的条件和结论互换． 【详解】解：A选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，a可为2或， ∴ 逆命题为假命题． B选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 该条件符合（两边及其其中一边的对角），但不能保证三角形全等（如可能存在两个不全等的三角形满足条件）， ∴ 逆命题为假命题． C选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵ 立方运算具有唯一性，由 可以推出， ∴ 逆命题为真命题． D选项：原命题“钝角三角形中有两个锐角”的逆命题为“有两个锐角的三角形是钝角三角形”． ∵ 有两个锐角的三角形可能是锐角三角形或直角三角形，不一定是钝角三角形， ∴ 逆命题为假命题． 综上，逆命题是真命题的只有C选项． 故选：C． 11．D 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再根据相关数学概念判断逆命题的真假． 先写出每个选项中原命题的逆命题，再结合全等三角形、平方根、无理数、立方根的性质，逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的新命题，依次分析个选项： A、原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”．对应角相等的三角形仅相似，不一定全等，故逆命题为假命题； B、原命题“是3的平方根”的逆命题是“3的平方根是”． 3的平方根是，并非只有，故逆命题为假命题； C、原命题“无理数是无限小数”的逆命题是“无限小数是无理数”．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故逆命题为假命题； D、原命题“若，则“”的逆命题是“若，则”．故逆命题为真命题． 故选：D． 12．A 【分析】本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题． 【详解】解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题； 逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题； 故命题①不符合题意； 原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题； 逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题； 故命题②不符合题意； 原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题； 逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题； 故命题③不符合题意； 原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题； 逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题； 故命题④符合题意． 原命题与逆命题均为真命题的个数是． 故选：A． 13． 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 14．如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 15．假 【分析】本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 16．③ 【分析】本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数、命题与定理等知识点，根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可． 【详解】解：①当时，如果，那么，故①不符合题意； ②若，则正确，但是若，则不一定正确，故②不符合题意； ③等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，故③符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形不一定全等，故④不符合题意； 故答案为：③． 17．(1)条件为：；结论为： (2)如果，那么 (3)假命题，反例不唯一 【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的条件为：， 结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而． 【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）写出原命题的逆命题，根据有理数的加法法则计算，判断即可； （2）写出原命题的逆命题，根据补角的概念判断； （3）写出原命题的逆命题，根据不等式的基本性质判断． 【详解】（1）如果，那么，的逆命题是如果，，那么，是真命题； （2）若两个角互补，则这两个角的和为的逆命题是若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题； （3）若，则的逆命题是若，则， 当c=0时不成立，所以是假命题． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，解决本题的关键是：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 19．（1）见详解（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 20．一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，见解析 【分析】将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，进而根据逆命题写出已知，求证，证明即可． 【详解】解：逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形， 已知：如图，中，于点D，于点E，且， 求证：是等腰三角形． 证明：∵，． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形 【点睛】本题考查了命题与证明，等腰三角形的性质与判定，证明三角形全等，掌握以上知识是解题的关键． 21．(1)逆命题是：如果两个两个图形是全等图形，那么这两个图形能够完全重合，此命题是真命题 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题的定义、真假命题的判断以及全等图形的性质，解题的关键是掌握逆命题“题设与结论互换”的改写规则和全等图形“完全重合”的本质特征． （1）将原命题的题设和结论互换得到逆命题，结合全等图形的定义判断真假； （2）根据矩形的对称性和全等图形的面积、形状特征，沿虚线分割出两个能完全重合的图形． 【详解】（1）解：原命题的逆命题为“全等图形是能够完全重合的两个图形”； ∵ 全等图形的定义就是能够完全重合的两个图形，逆命题的题设与结论均符合定义， ∴ 该逆命题是真命题． （2）如图所示：（答案不唯一）． 22．(1)见解析 (2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题 【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分． （2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题． 本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴直线平分． （2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形． 证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵直线平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴与的面积相等． 故逆命题是真命题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $