12.3.2 等腰三角形的判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P22] 2.等腰三角形的判定 《基础巩固练 知识点③等腰三角形的判定 1 (上海普陀区期中)下列三角形中，等腰三角形 的个数是 ( ) 5 5 90° 100° 35°5 50° 4 45°% 40° ① ② ③ ④ 1题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2(教材母题变式)如图，在△ABC中，∠A=36°, ∠C=72°,BD平分∠ABC,ED//BC,则图中等腰 三角形的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A E_ D B C C D A- B B 2题图 3题图 4题图 3 (重庆中考 B卷)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC= 2,则AD的长度为_____. 4 如图，在正方形网格中，A、B两点都在方格的顶 点上，若点C也在方格的顶点上，且△ABC是等 腰三角形，则这样的点C共有____个. 5(上海奉贤区期中)如图，已知在△ABC中，D是 BC上的一点，∠BAC=90°,∠BAD=2∠C. 求证：AD=AB. A B D C 5题图 56 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 知识点②等边三角形的判定 6 如图，D、E、F分别是等边三角形ABC各边上的 点，且AD=BE=CF,则△DEF的形状是( ) A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 A F DK B E C A 池塘 B- C 6题图 7题图 7如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B、C为 小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的 相关数据为∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC = 48m,则AC= ( ) A.45m B.48m C.50m D.52m 8 在△ABC中，∠A=60°,AB=AC=3,则△ABC的 周长为_____ 9 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,点D在边 AB上，连结CD.给出下列四种说法： ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 腰三角形. 其中正确的说法是____.(填序号) 10如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点， DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E、F,且DE= DF.求证：△ABC是等边三角形. A E D B F C 10题图 第12章 全等三角形 能力提升练 [答案 P23] ①如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长 BC至点E,使CE=CD,则下列结论错误的是 ( ) ) A.∠CED=30° B.∠BDE=120° C.DE=BD D.DE=AB A A, D Q/ B C E C P0 B 1题图 2题图 2如图，∠AOB=60°,OC=6 cm,点P从点C出发出发 沿射线CB以2 cm/s的速度运动，点Q从点0点0 出发沿射线OA以1 cm/s的速度运动.若点P、QP、Q 同时出发，当△POQ是等边三角形时，运动时间时间 t(s)的值为 ( ) ) A.3 B.4 C.6 D.8 3 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过点过点 F作DE//BC交AB于点D,交AC于点E.下列下列 结论：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE =BD+CE;③△ADE的周长等于AB+AC.其中其中 正确的是 ( ) ) A D F E B4 C 3题图 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ④ 已知△ABC中，AB=AC,∠A=60°,若 BC== 5 cm,则AC=_______cm. 5(河北秦皇岛期末)如图所示的五个三角形中，中， AB=AC,则经过三角形一个顶点的一条直线不线不 能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是的是 _______.(填序号) A A A 36° 45° 90° CBL C B- C B ① ② ③ A△ 60 108° B C B C ④ ⑤ 5题图 6如图①,在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上 一点，且DE⊥BC交AB于点F. (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)如图②,在(1)的条件下，F为AB的中点.求 证：DF=2FE. D、 D A A F F B E C B E C 6题图① 6题图② 7(1)如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点 P,过点P作AC的平行线PQ,过点C作AB 的平行线CQ,两线交于点Q.求证：AP=BQ; (2)在上面的条件下，点P在BC边上任意运动， 延长AP交BQ于点D,请作出图形.问AD 与BD+CD之间是否存在确定关系?若存 在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不 存在，请说明理由. 4 P B C 7题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 57 同步练测·八年级数学·上册·华师版 6.解：小军的作法正确.证明如下： 如答图，连结PM、PN.根据作图过程可知， OM=ON,PM=PN. 又∵PO=PO,:△PMO≌△PNO, ∴∠POM=∠PON. A ∵∠POM+∠PON=180°, 本 B ∴∠POM=∠PON=90°,∴PO⊥AB. 6题答图 7.解：如答图.∵AB=BC, ∴∠C=∠BAC. C ∵I?//L2, B.2D∴∠1+∠BAC=∠BDC, -L ∴∠1+∠C=∠BDC. 1 ∵∠C=25°,∠1=60°, A L? ∴∠BDC=60°+25°=85°, 7题答图 ∴∠2=180°-∠BDC-∠C=180°-85°-25°=70°. 8.(1)解：42° (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°, ∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠BAC=40°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70°. ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= —∠ABC=35. (4)解：①15° ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE, ∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等边三角形的性质 【基础巩固练】 1.A [解析]过点A作AD//L?,如答图，则∠BAD=∠β. ∵L?//L2,∴ AD//L2,∴∠DAC=∠α=40°.∵△ABC是等边 三角形，∴∠BAC=60°,∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC= 60°-40°=20°.故选A. B β A D -I? α -L2 C 1题答图 2.B 3.A 4.75°[解析]∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC,∴∠DAC= ∠BC=30°AD=AE,∠ADE=2(180°-=∠LDAE)= 2(180°-30°)=75° 5.3 6.证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC. 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. 7.B 8.15° [解析]∵AD是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠CAD=—∠BAC=30°.∵以AD为斜边作等腰直角三 角形ADE,∴∠EAD=45°,∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=15°. 9.解：DB=DE.理由：如答图，过点D作 A D ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30° B GC E DG⊥BE于点G. ∵△ABC是等边三角形，BD是中线， (等腰三角形“三线合一”). 又∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED. 9题答图 又∵∠ACB=∠CDE+∠CED, ∠CDE=∠CED=—∠BCD=30°, ∴∠DBC=∠DEC. 在△BDG和△EDG中， ∴△BDG≌△EDG(AAS),∴DB=DE. 10.解：(1)90° (2)AF//CE.理由如下： ∵△ABC是等边三角形，AF平分∠BAC, ∴AF⊥BC,∠ACB=60°. ∵EA=EC,∠AEC=120°, ∴∠CAE=∠ACE=30°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, ∴EC⊥BC,∴AF//CE. 2.等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D [解析]∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°-72°- 36°=72°,∴∠ABC=∠C,∴ AB=AC,∴△ABC是等腰三角 形.∵DE//BC,∠AED= ∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED =∠ADE,∴△AED是等腰三角形.∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A= ∠ABD=36°,∠EDB= ∠EBD=36°,∴△ABD,△BDE都是等腰三角形.∵∠BDC =180°-72°-36°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴△BDC是 等腰三角形.综上，等腰三角形有5个. 3.2 4.3 5.证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°. 又∵∠BAD=2∠C, ∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C, 即∠B=∠C+∠DAC. ∵∠ADB=∠C+∠DAC, ∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB. 6.A 7.B 8.9 ·22· 参考答案及解析 9.①②④ [解析]∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°. ①当DC=DB时，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形”可判定△BCD为等边三角形；②当AD=CD时， ∠ACD= ∠A = 30°, ∠BCD = ∠B= ∠BDC =60°, ∴△BCD为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形，且∠A 为顶角时，△BCD不是等边三角形；④当△BCD是等腰三 角形时，∵∠B=60°,∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD= 60°,∴∠ACD=30°,∴△ACD为等腰三角形.综上，正确的 说法是①②④. 10.证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD,∠AED=∠CFD=90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CD,DE=DF, ∴ Rt△AED≌Rt△CFD,∴ ∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 【能力提升练】 1.D 2.C [解析]由题意，得t=2t-6,解得t=6,∴当P、Q运动 的时间是6s时，△POQ是等边三角形. 3.D 4.5 [解析]∵在△ABC中，AB=AC,∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=5cm. 5.②⑤ 6.证明：(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵ED⊥BC,∴∠D+∠C=90°,∠B+∠BFE=90°, ∴∠D=∠BFE. ∵∠AFD=∠BFE,∴∠D=∠AFD, ∴AD=AF,∴△ADF是等腰三角形. (2)过点A作AG⊥DE于点G. ∵AD=AF,∴.GF=—DF ∵AG⊥DE,BE⊥DE,∴∠AGF=∠BEF. ∵F为AB的中点，∴AF=BF. 在△AGF和△BEF中， ∴△AGF≌△BEF(AAS),∴EF=FG, ∴DF=2FE. 7.(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°. ∵CQ//AB,PQ//AC, ∴∠PCQ=∠ABC=60°,∠QPC=∠ACB=60°, ∴△PQC为等边三角形，∴PC=QC, ∴△APC≌△BQC,∴AP=BQ. 4 (2)解：存在确定关系，关系为AD=BD+CD. 证明如下： ∴∠PAC=∠QBC. 如答图，在AD上截取DE=BD,连结BE. E B P C D Q 由(1)得△APC≌BQC, ∵∠APC=∠BPD, ∴∠ACP=∠BDP=60°. 7题答图 ∵DE=BD,∴ △BDE为等边三角形， ∴BE=BD,∠DBE=60°. ∵∠ABC=60°,∴∠ABE=∠CBD, ∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD. ∵AD=DE+AE,∴ AD=BD+CD. 专题7 等腰三角形的常用作辅助线的方法 1.证明：(1)如答图，连结AD. ∵AB=AC,D为BC的中点， ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°, ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°, ∴AD=BD. A6 在△BED和△AFD中，n ∴△BED≌△AFD(SAS), F E B D C 1题答图 ∴ED=DF. (2)∵△BED≌△AFD, ∴∠BDE=∠ADF, ∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°, ∴∠EDF=90°,∴ED⊥DF. 2.证明：连结AD,过点D作DM⊥AB交AB于点M,再作DN1 AC交AC于点N. ∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC=∠B=∠C=60°, ∴∠MDN=120°. 又∵∠EDF=120°,∴∠MDN=∠EDF, ∴∠MDE=∠NDF. 在△ADM和△ADN中，2 ∴△ADM≌△ADN(AAS),∴DM=DN. 在△MDE与△NDF中， ∴△MDE≌△NDF(ASA),∴DE=DF. 3.证明：如答图，过点D作DM//AB,交BC的延长线于点M, ∴∠MDC=∠A,∠M=∠B. M- D ∵AC=BC,∴∠A=∠B, C ∴∠M=∠MDC. E ∵CD=CE, ∴∠CDE=∠CED. A B ∵∠M+∠MDE+∠CED=180°, 3题答图 ∴∠M+∠MDC+∠CDE+∠CED=180°, ∴∠MDC+∠CDE=90°, 即∠MDE=90°,DE⊥DM. ∵MD//AB,∴DE⊥AB. 4.证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∵DE//AB,∴∠CDE=∠A=60°,∠DEC=∠ABC=60°, ∴∠CDE=∠DEC=∠DCE=60°, ∴△CDE是等边三角形. ·23·