12.3.1 等腰三角形的性质-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

第12章 全等三角形 12.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 课时1 等腰三角形的性质 《基础巩固练》 [答案 P21] 知识点①等腰三角形的有关概念 ①已知一个等腰三角形的顶角为36°,则底角为 ( ) A.36° B.60° C.72° D.75° 2(贵州中考)如图，在△ABC中，以点A为圆心， 线段AB的长为半径作弧，交BC于点D,连结 AD.若AB=5,则AD的长为_____. A B D C 2题图 知识点②等腰三角形的性质：等边对等角 3(甘肃兰州中考)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB的度数为( ) A.100° B.115° C.130° D.145° A D- C B D C A B 3题图 4题图 4 如图，在△ABC与△ACD中，∠B=85°,∠ACB= 45°,AC=AD,AB//CD,则∠D的度数为( ) A.40° B.50° C.55° D.65° 5 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AC=CD. 且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数. A B D C 5题图 知识点③等腰三角形的性质：三线合一 6(云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上 的高，若点F到直线AB的距离为3,则点F到直 线AC的距离为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.72 7 (教材母题变式)如图，AD是等腰三角形ABC的 顶角平分线，BD=5,则CD等于 ( ) 4 B D C 7题图 A.10 B.5 C.4 D.3 8 如图，在△ABC中，∠B=∠C,过BC的中点D 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F. (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=38°,求∠BAC的度数. A E F B D C 8题图 知识点④尺规作图：线段的垂直平分线 9(哈尔滨中考)如图，在△ABC AM 中，AB=AC,分别以点A和点 B为圆心，大于一AB的长为半 2 B D C 径作弧，两弧相交于M、N两 9题图 点，作直线MN交BC于点D, 连结AD,若∠B=50°,则∠DAC= ( ) A.20° B.50° C.30° D.80° 10如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,作斜边AB 的垂直平分线PQ,垂足为点Q.(要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法)c A B 10题图 知识点⑤尺规作图：过一点作已知直线的垂线 11如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线 l的垂线，图中的点C是 __的交点. kC l A P B 11题图 12如图，作△ABC的高CD.(要求：尺规作图，保留 作图痕迹，不写作法) C A B 12题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 53 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P21] 能力提升练 1(湖南长沙期末)如图，在△ABC中，AB= AC, AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点 F,DE=4,则BF的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A F E C D B A P B D C 1题图 2题图 2如图，在△ABC中，BA=BD,BD=2DC,∠ABC 的平分线与AD相交于点P,连结PC.若△ABC 的面积为9,则△BPC的面积为 ( ) A.1.5 B.3 C.4.5 D.6 3如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°,根 C 据尺规作图的痕迹判断以下结论错 误的是 ( ) A.DB=DE E B.AB=AE 水 D C.∠EDC=∠BAC A B D.∠DAC=∠C 3题图 4(山东临沂期中)如图，在四边形ABCD中，AB= BC=BD.设∠ABC=α,则∠ADC =______. (用含α的代数式表示) D B A< C BB? B? ⋯ B A A? A? A? A. C 4题图 5题图 5 新考法 如图，已知∠BAC=80°,A?、B?分别是射 线AC、线段A?B上的点，且A?B=AB;A?、B?分 别是射线A?C、线段A?B?上的点，且A?A?= A?B?;A?、B?分别是射线A?C、线段A?B?上的点， 且A?A?=A?B?;⋯⋯以此类推，则∠A?A?B?的度 数为_____. 6 小军是这样完成“过直线AB上的点0作直线 AB的垂线OP”这项任务的.如图，①以点0为 圆心、任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点 M、N;②分别以点M、N为圆心，大于OM的长为 半径在直线AB同侧作弧，两弧交于点P;③作直 线OP,则OP⊥AB.你认为小军的作法正确吗? 如果正确，请你给出证明；如果不正确，请指出 错在哪里. P A M O N B 6题图 7如图，l?//L?,点A在直线l?上，点B在直线l?上， AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,求∠2的度数. C B?2 -L 1 A -l 7题图 8[核心素养]如图，在△ABC中，AB=AC,D、E分 别是边BC、AC上的点，连结AD、BE. (1)若BE⊥AC,∠ACB=66°,则∠ABE的度数 为____; (2)若D是BC的中点，∠CBE=∠CAD,求证： BE⊥AC; (3)若AD、BE分别是△ABC的中线和角平分 线，∠CAD=20°,求∠CBE的度数； (4)连结DE,若AD=AE, ①当AD是边BC上的高，且∠BAD=30°时， 则∠EDC的度数为_________; ②当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD 与∠EDC之间的数量关系，并加以证明. A E B D C 8题图 54 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第12章 全等三角形 课时2 等边三角形的性质 基础巩固练 [答案 P22] 知识点①等边三角形的性质 细识点②等边三角形性质的应用 1 (山东威海期末)已知直线l?//l?,将等边三角形角形 按如图的方式放置，若∠α=40°,则∠β等于 ( ) ) A.20° B.30° C.40° D.50° β L? α -L A D B C 1题图 2题图 2 (吉林长春期末)如图，△ABC是等边三角形，CBCB =CD,∠ABD=12°,则∠ACD的度数为( ) A.36° B.24° C.34° D.48° 3 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，线， △ADE是等边三角形，有下列结论：①AD⊥BC;BC; ②EF=FD;③BE=BD.其中正确结论的个数为为 ( ) ) A.3 B.2 C.1 D.0 A E F B D C 4 E B D C A B P C 3题图 4题图 5题图 4如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D,AEA =AD,则∠ADE=____. 5 如图，在等边三角形ABC中，AB=6,点P在BC 边上，当线段AP的值最小时，BP的长为—_. 6 如图，D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上 的点，且BD=CE,BE与AD交于点F.求证：AD =BE. A E E B D C 6题图 7 (河南平顶山期中)如图，△ABC是等边三角形， DE//BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为 ( ) A.2 B.6 C.9 D.15 A D E B C A >E B D C 7题图 8题图 8 如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，以AD 为斜边作等腰直角三角形ADE,则∠EAC的度 数为_____ 9如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长 BC到点E,使CE=CD,连结DE,则DB和DE是 否相等?为什么? A D B C E 9题图 10如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角 形，∠AEC=120°,AE=CE,AF平分∠BAC. (1)∠BAE的度数为______; (2)判断AF与CE的位置关系，并说明理由. A E B F C 10题图 55见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 参考答案及解析 6.证明：如答图，在AC上取点F,使AF=AE,连结OF. ∴△AEO≌△AFO(SAS), ∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO. A FE 0 B D C 在△AEO和△AFO中， 5- ∴∠AOE=∠AOF. 6题答图 ∵CE平分∠ACB,∴∠ECA=∠ECB, ∠OAC+∠OCA=—(∠BAC+∠ACB) =—(180°=∠B)=60°. ∵∠AOE是△AOC的外角， ∴∠AOE=∠OAC+∠OCA, ∴∠AOE=∠AOF=60°. ∵∠AOE=∠COD,∴∠COF=∠COD=60°. 在△CFO和△CDO中，- ∴△CFO≌△CDO(ASA),∴CF=CD. ∵AF+CF=AC,∴.AE+CD=AC. 《点拨--------------------- 解题的关键是采用截长的方法构造全等三角形. 利用“SAS”直接证明两个三角形全等，由∠B=60°和 两条内角平分线的条件可以得到∠AOE =∠AOF= ∠COF=∠COD=60°,再证明△CFO≌△CDO,然后等 量代换可得结论. 12.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 课时1 等腰三角形的性质 【基础巩固练】 1.C 2.5 3.B 4.B 5.解：设∠B=x.∵AB=AC,∴∠C=x. ∵AC=CD,∴ ∠CAD=∠CDA. ∵AD=BD,∴ ∠BAD=∠B=x. 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD=2x, ∴∠CAD=2x. 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°, ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.C 7.B 8.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连结AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴ AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=38°, ∴∠BAC=2∠BAD=76°. 9.C [解析]∵AB=AC,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵分别以点A和点B为 圆心,大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点， 作直线MN交BC于点D,连结AD,∴DM是线段AB的垂直 平分线，∴DA= DB,∴∠BAD= ∠B=50°,∴∠DAC= ∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°.故选C. 10.解：如答图，第一步：分别以点A和点B为圆心，大于-AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于D、E两点. 第二步：过D、E两点作直线PQ交AB于点Q. PQ就是所要求作的斜边AB的垂直平分线. P| C DX A Q B E个 10题答图 11.分别以点A、B为圆心，以大于2ABI的长为半径所画两弧 12.解：如答图，线段CD即所求. C A D B 12题答图 【能力提升练】 1.D 2.C [解析]∵ BD=BA,BP是∠ABC的平分线，∴ AP=PD, ∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP 是等底同高的三角形，∴S△ABP=S△DBP,S△ACp=S△DCP· ∵S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△AcP+S△DcP,S△BPC=S△DBP+ S△Dcp,∴S△BPC=2S△ABC=2×9=4.5..故选C. 3.D [解析]由作图可知∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B= 90°.∵AD=AD,△ADE≌△ADB,∴DB= DE,AB=AE. ∵∠AED+ ∠B = 180°,∴ ∠BAC+ ∠BDE = 180°. ∵∠EDC+∠BDE=180°,∴∠EDC=∠BAC,故A、B、C正 确，故选D. 4.180°-2a 5.10 [解析]∵∠BAC=80°,A?B=AB,∠BA?A=∠BAC= 80°.:A,A2=A?B?,∠A?A?B?=∠A?B?A?=—∠BA?A =2×80°=40°: AzAs=A?B?,∠A?4?B?= ∠A?B?A? =∠A?A2B?=2×40°= 20°.AA=A?B?, ∠4?4?B?=∠4?B?4=2∠A24?B?=2×20°=10° 故答案为10. ·21· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 6.解：小军的作法正确.证明如下： 如答图，连结PM、PN.根据作图过程可知， OM=ON,PM=PN. 又∵PO=PO,:△PMO≌△PNO, ∴∠POM=∠PON. A ∵∠POM+∠PON=180°, 本 B ∴∠POM=∠PON=90°,∴PO⊥AB. 6题答图 7.解：如答图.∵AB=BC, ∴∠C=∠BAC. C ∵I?//L2, B.2D∴∠1+∠BAC=∠BDC, -L ∴∠1+∠C=∠BDC. 1 ∵∠C=25°,∠1=60°, A L? ∴∠BDC=60°+25°=85°, 7题答图 ∴∠2=180°-∠BDC-∠C=180°-85°-25°=70°. 8.(1)解：42° (2)证明：∵AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90°. 又∵∠CBE=∠CAD,∴∠CBE+∠C=90°, ∴BE⊥AC. (3)解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠BAC=40°,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=2×(180°-40°)=70°. ∵BE是△ABC的角平分线， ∠CBE= —∠ABC=35. (4)解：①15° ②∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∵AB=AC,AD=AE, ∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED. ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠ABC+∠BAD= ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC, ∴∠BAD=2∠EDC. 课时2 等边三角形的性质 【基础巩固练】 1.A [解析]过点A作AD//L?,如答图，则∠BAD=∠β. ∵L?//L2,∴ AD//L2,∴∠DAC=∠α=40°.∵△ABC是等边 三角形，∴∠BAC=60°,∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC= 60°-40°=20°.故选A. B β A D -I? α -L2 C 1题答图 2.B 3.A 4.75°[解析]∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC,∴∠DAC= ∠BC=30°AD=AE,∠ADE=2(180°-=∠LDAE)= 2(180°-30°)=75° 5.3 6.证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC. 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. 7.B 8.15° [解析]∵AD是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠CAD=—∠BAC=30°.∵以AD为斜边作等腰直角三 角形ADE,∴∠EAD=45°,∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=15°. 9.解：DB=DE.理由：如答图，过点D作 A D ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30° B GC E DG⊥BE于点G. ∵△ABC是等边三角形，BD是中线， (等腰三角形“三线合一”). 又∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED. 9题答图 又∵∠ACB=∠CDE+∠CED, ∠CDE=∠CED=—∠BCD=30°, ∴∠DBC=∠DEC. 在△BDG和△EDG中， ∴△BDG≌△EDG(AAS),∴DB=DE. 10.解：(1)90° (2)AF//CE.理由如下： ∵△ABC是等边三角形，AF平分∠BAC, ∴AF⊥BC,∠ACB=60°. ∵EA=EC,∠AEC=120°, ∴∠CAE=∠ACE=30°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, ∴EC⊥BC,∴AF//CE. 2.等腰三角形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.D [解析]∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°-72°- 36°=72°,∴∠ABC=∠C,∴ AB=AC,∴△ABC是等腰三角 形.∵DE//BC,∠AED= ∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED =∠ADE,∴△AED是等腰三角形.∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A= ∠ABD=36°,∠EDB= ∠EBD=36°,∴△ABD,△BDE都是等腰三角形.∵∠BDC =180°-72°-36°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴△BDC是 等腰三角形.综上，等腰三角形有5个. 3.2 4.3 5.证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°. 又∵∠BAD=2∠C, ∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C, 即∠B=∠C+∠DAC. ∵∠ADB=∠C+∠DAC, ∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB. 6.A 7.B 8.9 ·22·