12.2.5 斜边直角边-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P18] 5.斜边直角边 《基础巩固练> 知识点③用“HL”判定直角三角形全等 1(教材母题变式)如图，OD⊥AB于点D,0P⊥AC 于点P,且OD=OP,则△AOD与△A0P全等的 理由是 ( ) A.SSS B.ASA C.SAS D.HL C D B A D F E 0 D E A P C A‘ B B C 1题图 2题图 3题图 2 (山东潍坊期末)如图，BE=CF,AE⊥BC于点 E,DF⊥BC于点F,要根据“HL”证明Rt△ABE ≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( ) A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=DF 3 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于 点E,BD=CE,则判定△BDC与△CEB全等的 依据是______. 4 如图，已知AD、AF分别是钝角△ABC和钝角 △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE.求证：BC= BE. D6 C A B H F E 4题图 知识点2 “HL”判定定理的应用 5(山东菏泽期末)如图，已知AB=DC,BE⊥AD于 点E,CF⊥AD于点F,有下列条件，其中选择一个 就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是( ) ①∠B=∠C;②AB//CD; B ③BE=CF;④AF=DE. A.①② F D B.①②③ A E C.①③④ C D.①②③④ 5题图 48 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩成绩 6新考法 位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目 前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最 宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规 模最大的桥梁.其侧面示意图如图所示，其中AB ⊥CD于点B,现添加以下条件，不能判定△ABC ≌△ABD的是 ( ) A B C D 6题图 A.∠ABC=∠ABD B.∠ACB=∠ADB C.AC=AD D.BC=BD 7 如图，AC⊥AB,BD⊥CD,请添加一个条件，使 △ABC≌△DCB. A D 仓 B C 7题图 (1)添加_ _____,根据是 _________; (2)添加________,根据是_ _________; (3)添加_ _____,根据是_____; (4)添加__ _____,根据是__ _________. 8 (教材母题变式)如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD= BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E、F.求 证：CE=DF. C D A E F B 8题图 第12章 全等三角形 能力提升练 [答案 P18] 1(湖北鄂州期中)如图，在△ABC中，PB=PQ, PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则三 个结论：①AS=AR;②QP//AR;③AB+AQ=2AR中 ( ) A.全部正确 B.仅①和③正确 C.仅①正确 D.仅①和②正确 A Q R S B P C A M CL P 0 N DB F A DE B C 1题图 2题图 3题图 2 (上海黄浦区期末)如图，点C、D分别在射线 OA、OB上，点P在∠AOB的内部，PM⊥OA于点 M,PN⊥OB于点N,且CP=DP,CM=DN=3.若 CO=7,则DO的长为 ( ) A.10 B.13 C.15 D.17 3(重庆渝中区期末)如图，在△ABC中，BD⊥AC 于点D,E为AC边上一点，连结BE并延长至点 F,使BF=BC,连结AF,∠CBF=∠FAC,若AC =7.4,AF=5.2,则AD的长度为_____. ④ 在课堂上，老师发给每人一张印有Rt△A'B'C' (如图所示)的卡片，然后，要同学们尝试作一个 Rt△ABC,使得Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.小刘和小 赵同学先作出了∠MBN=90°,后续作图的主要 过程如图所示. A' B' N N A B M B CM C′ 小刘同学 Ny N A B CM B C M 小赵同学 4题图 老师评价：他们的作法都正确.请你选择一位同 学的作法，并说出其作图依据.我选__ (填“小赵”或“小刘”)的作法，他作图判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C′的依据是_——___ ___· 5 如图，点D、E分别在AB、AC上，∠ADC=∠AEB =90°,BE、CD相交于点0,0B=0C.求证：∠1 =∠2. A D E 介 B C 6如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF.求证： (1)CF=EB; (2)∠CBA+∠AFD=180°. A F E C D B 6题图 7[核心素养]如图①,D为等边△ABC内一点，将线 段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连结CE, BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F. (1)求证：BD=CE; (2)如图②,连结FA,小颖对该图形进行探究， 得出结论：∠BFC=∠AFB=∠AFE.小颖的 结论是否正确?若正确，请给出证明；若不 正确，请说明理由. A A G EF G EF D B c B D c 7题图① 7题图② 5题图 49见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·华师版 5.证明：在△ABC和△ADC中，三 ∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAE=∠DAE. 在△ABE和△ADE中，2 ∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE. 6.证明：(1)∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,即AC=BD. 在△BFD和△AEC中， ∴△BFD≌△AEC(SSS). (2)∵△BFD≌△AEC,∴∠B=∠A. 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF(SAS),∴DE=CF. 7.解：【操作】D 【拓展】三边分别相等的两个三角形全等和全等三角形的对 应角相等 【变式】C 5.斜边直角边 【基础巩固练】 1.D 2.A [解析]条件是AB=CD.理由：∵AE⊥BC,DF⊥BC, ∴∠CFD=∠AEB=90°.在 Rt △ABE和 Rt △DCF 中， LB=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).故选A. 3.HL 4.证明：∵AD、AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，且 AC=AE,AD=AF, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF. ∵AB=AB,AD=AF, ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴BD=BF, ∴ BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 5.D 6.A 7.(1)AB=DC HL (2)AC=DB HL (3)∠ABC=∠DCB AAS (4)∠ACB=∠DBC AAS 8.证明：∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠BDA=90°. 在Rt△ABC和 Rt△BAD中，LBC=AD, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL), ∴∠CBA=∠DAB. ∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴ ∠CEB=∠DFA=90°. 在△BCE和△ADF中， ∴△BCE≌△ADF(AAS),∴CE=DF. 【能力提升练】 1.B [解析]在Rt△APR和 Rt△△APS中，AP=AP ∴Rt△APR≌Rt△APS(HL),∴ AR=AS,①正确；∵PR= PS,在Rt△BRP和Rt△QSP中，BP=P0,∴ Rt△BRP≌ Rt△QSP(HL),∴ BR=QS,∴ AB+AQ=2AR,故③正确； ∵无法得出∠APQ=∠BAP,所以得不出PQ//AB,故②错 误.故选B. 2.B [解析]根据题意，得△CPM、△OPM、△DPN、△OPN都 是直角三角形.在Rt△CPM和Rt△DPN中，{CM=DN, ∴Rt△CPM≌Rt△DPN(HL),∴PM=PN.在Rt△OPM和 Rt△OPN中，PM=PN∴ Rt△OPM≌Rt△OPN(HL), ∴OM=ON,∴DO=ON+DN=OM+DN=CO+CM+DN= CO+2DN.∵DN=3,CO=7,∴DO=13. 3.1.1 [解析]如答图，过点B作 F BG⊥FA交FA的延长线于点G. A G? D ∵ ∠CBF = ∠FAC,∠BEC = E ∠AEF,:∠C=∠F.∵ BD⊥AC, BG⊥FA,∴∠BDC = ∠BGF= B C 90°.在△BCD 和△BFG 中， 3题答图 .△BCD ≌ △BFG(AAS),∴ CD= FG,BD = BG.在 Rt△BAD和 Rt△BAG中，BD=BC,∴Rt△BAD≌Rt△BAG(HL),∴ AD =AG.∵CD=FG,∴CD=AF+AG=AF+AD,∴AC+AF= 2CD,∴CD=7.4+5.2=6.3,∴AD=AC=CD=7.4-6.3= 1.1.故答案为1.1. 4.小赵 HL 5.证明：∵∠ADC=∠AEB=90°, ∴∠BDC=∠CEB=90°. 在△DOB和△EOC中，58 ∴△DOB≌△EOC(AAS),∴OD=OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，{OA=0A, ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠1=∠2. 6.证明：(1)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠C. ∵AD平分∠BAC,∴ ∠EAD=∠CAD. 在△EAD和△CAD中， ∴△EAD≌△CAD(AAS),∴CD=ED. 在Rt△CDF和Rt△EDB中，{CD=BD, ·18· 参考答案及解析 ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB. (2)∵Rt△CDF≌Rt△EDB,∴∠CBA=∠CFD. ∵∠AFD+∠CFD=180°, ∴∠CBA+∠AFD=180°. 7.(1)证明：∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, ∴AD=AE,∠DAE=60°. ∵∠BAC=60°,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),.. BD=CE. (2)解：小颖的结论正确.证明如下： 由(1)得∠ABD=∠ACE. 又∵∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60°, ∴∠BFE=120°. 如答图，过点A作BD、CF的垂线段分别交于点M、N. ∵△ABD≌△ACE,BD=CE, ∴由面积相等可得AM=AN. 在Rt△AFM和Rt△AFN中，AM=AN ∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL). ∴∠AFM=∠AFN, ∴∠BFC=∠AFB=∠AFE=60°. A N G E M B D c 7题答图 专题5 全等三角形的基本模型 1.解：AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. 证明：∵BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中，0-2 ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC//DF, ∴AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. 2.证明：∵∠AEF=∠DEC, ∴∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC,即∠AEC=∠DEF. 在△AEC和△DEF中， ∴△AEC≌△DEF(AAS). 3.C [解析]在△AEF和△ABC中，n,∴△AEF≌ △ABC(SAS),∴ ∠EAF= ∠BAC,∴ ∠EAF-∠BAF= ∠BAC-∠BAF,即∠EAB=∠CAF.∵∠EAC=100°,∠BAF =10°,: ∠EAB=∠EAC-∠BAF=45°..故选C. 4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD,∴. ∠AFN=∠CEM. 在△AFN和△CEM中，sc ∴△AFN≌△CEM(SAS),∴∠ANF=∠CME,∴AN//CM. 5.(1)证明：因为∠DAB= ∠CAE,所以∠DAB+∠BAC= ∠CAE+∠BAC,所以∠DAC=∠BAE. 又因为AD=AB,AC=AE,所以△BAE≌△DAC(SAS). (2)解：因为△BAE≌△DAC,所以∠E=∠C. 因为∠CAD=125°,∠D=20°,所以∠C=180°-(∠CAD+ ∠D)=180°-(125°+20°)=35°,所以∠E=∠C=35°. 6.(1)证明：∵∠BAE=∠CAF=90°,∴∠EAC=∠BAF. 在△CAE和△FAB中，e, z ∴△CAE≌△FAB(SAS),∴EC=BF. 设AC与BF交于点0, ∵△CAE≌△FAB,∴. ∠AFO=∠OCM, 又∵∠A0F=∠COM,∠CAF=90°, ∴∠OMC=∠CAF=90°,∴EC⊥BF. (2)解：(1)中的结论EC=BF成立，结论EC⊥BF不成立. 理由如下： ∵∠BAE=∠CAF=m°,∴∠EAC=∠BAF. 在△CAE和△FAB中，2, zu ∴△CAE≌△FAB(SAS),∴EC=BF, ∴结论EC=BF成立. 设AC与BF交于点N. 由△CAE≌△FAB,得∠AFN=∠MCN. 又∵∠ANF=∠CNM,∠CAF=m°, ∴∠CMN=∠CAF=m≠90°,∴结论EC⊥BF不成立. 7.解：∵∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB, ∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, ∴∠BAD=∠CDE. 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(AAS),∴CD=AB=9,BD=CE. ∵CD=3BD,∴.CE=BD=3. 8.(1)证明：∵ BD⊥直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠CEA=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，12 ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴ BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：成立.证明如下： ∵∠BDA=∠BAC=α, ·19·