第7章 3 课时2 平行线的性质&专题14 平行线中的“拐点”问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

第七章 证明 课时2 平行线的性质 基础巩固练 [答案 P33] 知识点①平行线的性质 ①(湖北中考)如图，一条公路的两侧铺设了AB, CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若 ∠1=120°,则∠2的度数是 ( ) A B 2 C D 1题图 A.50° B.60° C.70° D.80° 2(北京西城区期末)如图，AB//CD,AE//CF, ∠BAE=75°,则∠DCF的度数为 ( ) A.65° B.70° C.75° D.105° B D E F A C A- E/ GB C- F -D 2题图 3题图 3 如图，直线AB,CD被直线EF所截，且AB//CD, FG平分∠EFD.若∠EFD=70°,则∠EGF的度 数是 ( ) A.35° B.55° C.70° D.110° 4 (天津东丽区期末)如图，过△ABC的边BC上一 点D作DF//AC,若∠A=40°,∠B=60°,则 ∠FDB的度数为 ( ) A.40° B B.60° D -F C.100° A C D.120° 4题图 5 如图，AB//CD,∠B=62°,EG平分∠BED,EG⊥ EF,求∠CEF的度数. D E C G F B A 5题图 知识点②平行线的判定与性质的综合应用 6(呼和浩特中考)如图，直线l?和l?被直线l?和 l?所截，∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度 数为 ( ) A.75° B.105° C.115° D.130° l l? 34 1 -L 4 2 L? 2 3 6题图 7题图 7(南充中考)如图，两个平面镜平行放置，光线经 过平面镜反射时，∠1=∠2=40°,则∠3的度数 为 ( ) A.80° B.90° C.100° D.120° 8 如图，若∠A+∠ABC=180°,则下列结论一定正 确的是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4 A B A E B 3 1 ④ 2 2 D4 1 C C F D 8题图 9题图 9如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE于点 0,∠1=∠B,∠A+∠2=90°.求证：AB//CD.请 填空. 证明：∵AF⊥CE(已知), ∴∠AOE=90°(___). ____(_________), ∴∠AFB=∠AOE(______), 又∵∠AFC+∠AFB+∠2=____(平角的 定义), ∴∠AFC+∠2=_____. 又∵∠A+∠2=90°(已知), ∴∠A=∠AFC(____), ∴_______(内错角相等，两直线平行). ∵∠1=∠B(________), ∴∠AFB=90°(____). 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 115 同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P33] 能力提升练 1(深圳中考)如图，一束平行光线照射平面镜后 反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反 射光线与平面镜夹角∠4的度数为 ( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 1 2 3 4 Z 空气 2 水 3 1题图 2题图 2跨学科(湖北武汉期末)光在不同介质中的传 播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气 时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中 平行的光线，在空气中也是平行的.如图，若∠1 =48°,∠2=158°,则∠3的度数为 ( ) A.68° B.70° C.78° D.80° 3 如图，在△ABC中，直线EF交AB于点E,交BC 于点F,将△ABC沿直线 EF折叠，使点B落在 点D的位置.若∠C=70°,DF//AC,则∠BFE的 度数是______ E 1 L? B--F C 令 D 2 I? 3题图 4题图 4 (安徽芜湖期末)如图，l?//l?,若∠1=x°,∠2= y°,则∠3=________.(用含有x,y的式子 表示) 5 如图，CD//AB,点0在AB上，OE平分∠BOD, 0F⊥OE,∠D=110°,求∠A0F的度数. C_D E F A 0 B 5题图 116 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成绩 6如图，已知∠1=∠C,EF⊥BC,垂足为F,∠2+ ∠3=180°. (1)求证：∠2=∠4; (2)试求出∠ADC的度数. A ④ P 12 3E B D F C 6题图 7 如图，CD//AB,∠DCB= 70°,∠CBF= 20°, ∠EFB=130°. (1)求证：EF//AB; (2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数. C D E F A B 7题图 第七章 证明 专题14 平行线中的“拐点”问题 [答案 P33] 方法指导 解决平行线中的“拐点”问题时，常在“拐点”处作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角或 同旁内角，这样角之间的关系就比较明显，也就可以运用平行线的性质和判定轻松求解. 方法巧记：过拐点，作平行，几个拐点作几条. 类型①拐点在两平行线之间 ①如图，已知AB//DE,∠1=30°,∠2=35°,则 ∠BCE的度数为 ( ) A.70° B.65° C.35° D.50° 4 B A- B C< E D- 2 E C D 1题图 2题图 2如图，直线AB//CD,AE⊥CE于点E.若∠BAE= 120°,则∠DCE的度数是 ( ) A.120° B.100° C.150° D.160° 类型②拐点在两平行线外侧 3(巴中中考)如图，直线m//n,一块含有30°的直 角三角板按如图所示放置.若∠1=40°,则∠2 的大小为 ( ) A.70° B.60° C.50° D.40° A B 2Y m C- D 30 n E 3题图 4题图 4如图，已知AB//CD,∠A=54°,∠E=18°,则∠C 的度数是 ( ) A.36° B.34° C.32° D.30° 5如图，已知AB//EF.若∠ABC=75°,∠CDF= 135°,则∠BCD=_____. A B E D F C 5题图 6【问题】 (1)如图①,若AB//CD,∠AEP=40°,∠PFD= 130°,求∠FPE的度数； 【问题迁移】 (2)如图②,AB//CD,点P在AB的上方，∠PEA, ∠PFC,∠FPE之间有何数量关系?请说明 理由； 【联想拓展】 (3)如图③,在(2)的条件下，已知∠FPE=α, ∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点 G,求∠G的度数(用含有α的式子表示). G R P A- E -B A P< E -B A- E -B C- F -D C- F -D C- F D 6题图① 6题图② 6题图③ 类型③多拐点模型 7如图，AB//EF,则∠A,∠C,∠D,∠E满足的关 系是 ( ) A B >C D< E F 7题图 A.∠A+∠C+∠D+∠E=360° B.∠A+∠D=∠C+∠E C.∠A-∠C+∠D+∠E=180° D.∠E-∠C+∠D-∠A=90° 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 117 参考答案及解析 8.解：同意小明的猜想.证明如下： 如答图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 在△ABD和△ECD中，=,-so ∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AB=EC,∠BAD=∠CED, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CED=∠CAD,易得AC=EC, ∴AB=AC. A B D c E 8题答图 3平行线的证明 课时1 平行线的判定 【基础巩固练】 1.D 2.B 3.C 4.同位角相等，两直线平行 5.内错角相等，两直线平行 6.∠ADE=∠B(答案不唯一) 7.90 90 ∠1 ∠4 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行 8.证明：∵∠1=∠2,∴a//b. ∵∠3=∠4,∴b//c,∴a//c. 【能力提升练】 1.C 2.C 3.C 4.108 5.证明：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°. 因为BE平分∠ABD,DE平分∠CDB, 所以∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2, 所以∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°, 所以AB//CD. 6.(1)证明：因为EA平分∠BEF,EC平分∠DEF, 所以∠2=∠1=2∠BEF,∠3=∠4=2∠DEF. 因为∠BEF+∠DEF=180°, 所以2∠2+∠3=—(∠BEF+∠DEF)=90°, 所以AE⊥EC. (2)解：AB//CD.理由如下： 由(1)得∠2=∠1,∠3=∠4. 因为∠1=∠A,∠4=∠C, 所以∠A=∠2,∠3=∠C, 所以AB//EF,EF//CD,所以AB//CD. 7.解：AB//DE. 理由：如答图，过点C作FG//AB, ∴∠BCG=∠ABC=80°. 又∵∠BCD=40°, ∴∠DCG=∠BCG-∠BCD=80°-40°=40°. ∵∠CDE=140°,∴∠CDE+∠DCG=180°, ∴DE//FG,∴AB//DE. A B D E F C G 7题答图 课时2 平行线的性质 【基础巩固练】 1.B 2.B 3.125°4.x+y-180 5.解：∵CD//AB,∴ ∠BOD=∠D=110°. ∵OE平分∠BOD,∴.∠BOE=—∠BOD=55°. ∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°, ∴∠AOF=180°-∠FOE-∠BOE=180°-90°-55°=35°. 6.(1)证明：因为∠1=∠C, 所以PD//AC, 所以∠2=∠4. (2)解：因为∠2=∠4,∠2+∠3=180°, 所以∠3+∠4=180°,所以AD//EF,所以∠ADC=∠EFC. 又因为EF⊥BC, 所以∠EFC=90°,所以∠ADC=90°. 7.(1)证明：∵CD//AB,∠DCB=70°, ∴∠ABC=∠DCB=70°. ∵∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°. ∵∠EFB=130°,∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°, ∴EF//AB. 1.B 2.C 3.A 4.C 5.解：∵AB//CD,∠B=62°,∴.∠BED=∠B=62°. 6.B 7.C 8.D 9.垂直的定义 已知 CE//BF 【能力提升练】 ∵EG平分∠BED,:.∠DEG= —∠BED=31°. 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°, 等量代换 180°90 同角的余角相等 AB//CD ∴∠DEG+∠CEF=180°-∠FEG=90°, ∴∠CEF=90°-∠DEG=90°-31°=59°. (2)解：∵EF//AB,CD//AB, ∴EF//CD,∴∠CEF+∠ECD=180°. ∵∠CEF=70°,∴∠ECD=110°. ∵∠DCB=70°,∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=40°. 专题14 平行线中的“拐点”问题 1.B 2.C 3.A 4.A 5.30° 6.解：(1)如答图①,过点P作PM//AB, ∴∠1=∠AEP=40°. ∵AB//CD,∴PM//CD, ∴∠2+∠PFD=180°. ∵∠PFD=130°, ∴∠2=180°-130°=50°, ∴∠1+∠2=40°+50°=90°, 即∠FPE=90°. A- E B P 2 -M C- F D 6题答图① (2)∠PFC=∠PEA+∠FPE.理由如下： 如答图②,过点P作PN//AB,则PN//CD P -N A- E B C- F -D ∴∠PEA=∠NPE. ∵∠FPN=∠NPE+∠FPE, ∴∠FPN=∠PEA+∠FPE. ∵PN//CD,∠FPN=∠PFC, ∴∠PFC=∠PEA+∠FPE. 6题答图② ·33· 同步练测·八年级数学·上册·北师版 (3)如答图③,过点G作GH//AB,则GH//CD, ∠HCE=∠AEC=—∠PEA, ∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG. G -H P A- E -B C- F -D 6题答图③ ∵∠PEA的平分线和∠PFC的平 分线交于点G, ∠HCF=∠CFG= —∠PFC 由(2)可知，∠PFC=∠FPE+∠PEA, ∠HCF=÷(∠FPE+∠PEA)=—(α+∠PEA), ∠EGF=∠HGF=∠HGE=—(α+∠PEA)-∠HGE= 2α+—∠PEA-—∠PEA=2a 7.C 易错疑难集训七 1.解：(1)是假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明. (2)是假命题，如1-31=131,但3≠-3. (3)是真命题. (4)是假命题，如-3和2异号，但-3+2=-1≠0. 2.相等或互补 3.AB//CD 内错角相等，两直线平行 EF 同位角相等，两直线平行 AB EF 两直线平行，同旁内角互补 4.证明：因为∠3=∠4, 所以AD//BC,所以∠ADC+∠C=180°. 又因为∠5=∠C, 所以∠ADC+∠5=180°, 所以AF//CD,所以∠2=∠AGD. 又因为∠1=∠2,所以∠1=∠AGD, 所以AB//DE. 5.解：(1)∵∠1=∠2, ∴AD//BC(内错角相等，两直线平行). (2)∵∠ABC+∠BCD=180°, ∴AB//DC(同旁内角互补，两直线平行). 本章考点检测训练 1.D 2.A 3.C 4.如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 5.D 6.A 7.D 8.50°9.70°10.20° 11.解：已知：如答图，AB//CD,PQ分别交直线AB,CD于点E, F,EG平分∠AEP,FH平分∠CFE. 求证：EG//FH. P 证明：∵AB//CD, G ∴∠AEP=∠CFE. A-H E B ∵EG平分∠AEP,FH平分∠CFE, C- F -D ∠PEC= —∠AEP,∠EFH=—∠CFE, Q ∴∠PEG=∠EFH, 11题答图 ∴EG//FH. 12.证明：∵∠2+∠ADF=180°,∠1+∠2=180°, ∴∠1=∠ADF, ∴AD//EF,∴ ∠3=∠ADE. ∵∠3=∠B, ∴∠B=∠ADE, ∴DE//BC,∴∠AED=∠C. 13.(1)证明：∵AD//BE,∴∠D=∠DCE. ∵CD平分∠ACE, ∴∠ACD=∠DCE, ∴∠ACD=∠D. ∵∠BAC=∠D, ∴∠BAC=∠ACD,∴AB//CD. (2)解：由(1)知，AB//CD. ∵∠B=53°, ∴∠DCE=∠B=53°. ∵AD//BE, ∴∠D=∠DCE=53°, ∴∠DAE=53°. ∵AD//BE, ∴∠E=∠DAE=53°. 14.解：(1)∵AF//DE, ∴∠F+∠E=180°, ∴∠F=180°-105°=75°. (2)114° (3)当∠ADE+∠CGF=180°时，BC//AD.理由： ∵AF//DE,∴ ∠GAD+∠ADE=180°. ∵∠ADE+∠CGF=180°, ∴∠GAD=∠CGF. ∴BC//AD. 综合与实践 哪个城市夏天更热 解：(1)了解七月初 A,B两个城市哪个更热 (2)4 34 37 (3)七月初A市更热.理由如下： 因为去年七月初A市的最高温度的平均数比B市高，最高 温度的众数比B市高，所以七月初A市更热. 神奇的加密术 解：【任务1】WZSM. 【任务2】B. 【任务3】存在. 字母H对应数字16, 第1次加密：116→1?+2+17=23→23对应字母V; 第2次加密：:232+1+8=16→16对应字母H, 所以字母H经过100次加密后，得到的密文仍为H. 同理，字母V对应数字23,经过100次加密后，得到的密文 仍为V. 综上，存在字母H和V,按照上述方式加密100次，得到的 密文仍然是本身. ·34·