第7章 1 为什么要证明&2 认识证明-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·北师版 X易错分析------------⋯ 把方差大小作为评判成绩好坏的唯一标准，这是 对方差概念的误解，方差只是反映一组数据的波动情 况，至于方差大好还是方差小好，则要看这组数据所反 映的实际问题.就此题而言，方差不应作为评判成绩优 劣的唯一标准，从优秀率这个角度来评价两班成绩的 优劣才是客观的、准确的，所以并不能说方差小了就 好，而是要具体问题具体分析，主要是看从什么角度去 比较. 8.16或-23 [解析]因为一组数据2,-1,0,2,-1,a的众数 为a,所以a=-1或2.当a=-1时，这组数据的平均数为 6×[2+(-1)+0+2+(-1)+(-1)]= 6;;当a=2时， 这组数据的平均数为-×[2+(-1)+0+2+(-1)+2]= 3综上所述，这组数据的平均数为-或3 X易错分析.---------------- 本题易出现漏解，因为这组数据中有两个2和两 个-1,所以a的取值有两种情况，解题时应分类讨论. 9.36或37或36和37 [解析]因为共有25人，所以x+y= 25-(5+4+2)=14.若y<7<x,则众数为36;若x<7<y, 则众数为37;若x=y=7,则众数为36和37.综上所述，众 数是36或37或36和37. X易错分析.---------⋯ 由于题中表格数据有两个未知数，所以众数不明 确，因此需要分类讨论求解，否则会出现漏解. 本章考点检测训练 1.C 2.C 3.A 4.89 5.91 6.40 7.A 8.A 9.D 10.3 √5 11.D 12.解：由两个班级的成绩箱线图可知， A班的上四分位数与B班的中位数一致，均为120, B班的下四分位数大于A班的下四分位数， B班的最低分也大于A班的最低分， 所以B班的平均分较高. 13.解：(1)甲 29 (2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲 的得分更稳定，所以甲队员表现更好.(答案不唯一，合理 即可) (3)甲的综合得分为26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5; 乙的综合得分为26×1+10×1.5+3×(-1)=38. 因为38>36.5,所以乙队员表现更好. 第七章 证明 1为什么要证明 【基础巩固练】 1.C 2.A 3.解：(1)a=b.(2)a=b. 4.D [解析]A、B选项明显是错误的；C选项中，当n=1时， 原式的值=39不是质数，所以选项C不正确；选项D是正 确的，所以选D. 5.C [解析]设大圆的直径是d,根据圆的周长公式得，题图 ①中图形的周长为2πd;题图②中间的三个小圆的直径之 和是d,所以题图②中图形的周长为2πd.故选C. 6.1 111 错误 7.乙巳 2 认识证明 课时1 定义与命题 【基础巩固练】 1.C[解析]选项A是直角的性质，不是定义；选项B是作图 2.B 3.解：(1)(2)(3)是命题，它们都对事情作出了肯定的判断； (5)(6)不是命题. 4.∠A>∠B,∠B>∠C ∠A>∠C 5.如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0 6.解：(1)原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么 7.B 8.B 9.解：(1)如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互 补，那么这两条直线平行. 是真命题. (2)如果一个角是另一个角的补角，那么这个角一定是 钝角. 是假命题. 如：设∠1=60°,∠2=120°,∠1是∠2的补角，但∠1不是 课时2 定理与证明 【基础巩固练】 语言，不是定义；选项D是基本事实，不是定义；只有选项C (4)是命题，它对事情作出了否定的判断；(5)不是命题，只 这两个角相等. 钝角. 符合定义的概念，故答案选C. 表示疑问，并未作出判断；(6)不是命题，只是描述了一个作 条件：两个角是一对等角的补角. 图的过程，不含有判断的意思.所以(1)(2)(3)(4)是命题， 结论：这两个角相等. (2)条件：∠A=∠B,∠B=∠C. 结论：∠A=∠C. 1.C [解析]两点之间线段最短. 2.A [解析]演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题 称为定理，能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假 命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故 ②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；④对顶角 相等是定理，故选A. 3.D 4.定理 5.平行于同一条直线的两条直线平行 6.D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角 互补，两直线平行 7.解：(1)③②,③① (2)选择命题③②时，证明如下： 在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD(SAS), ∴∠C=∠D.(答案不唯一) ·32· 参考答案及解析 8.解：同意小明的猜想.证明如下： 如答图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 在△ABD和△ECD中，=,-so ∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AB=EC,∠BAD=∠CED, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CED=∠CAD,易得AC=EC, ∴AB=AC. A B D c E 8题答图 3平行线的证明 课时1 平行线的判定 【基础巩固练】 1.D 2.B 3.C 4.同位角相等，两直线平行 5.内错角相等，两直线平行 6.∠ADE=∠B(答案不唯一) 7.90 90 ∠1 ∠4 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行 8.证明：∵∠1=∠2,∴a//b. ∵∠3=∠4,∴b//c,∴a//c. 【能力提升练】 1.C 2.C 3.C 4.108 5.证明：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°. 因为BE平分∠ABD,DE平分∠CDB, 所以∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2, 所以∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°, 所以AB//CD. 6.(1)证明：因为EA平分∠BEF,EC平分∠DEF, 所以∠2=∠1=2∠BEF,∠3=∠4=2∠DEF. 因为∠BEF+∠DEF=180°, 所以2∠2+∠3=—(∠BEF+∠DEF)=90°, 所以AE⊥EC. (2)解：AB//CD.理由如下： 由(1)得∠2=∠1,∠3=∠4. 因为∠1=∠A,∠4=∠C, 所以∠A=∠2,∠3=∠C, 所以AB//EF,EF//CD,所以AB//CD. 7.解：AB//DE. 理由：如答图，过点C作FG//AB, ∴∠BCG=∠ABC=80°. 又∵∠BCD=40°, ∴∠DCG=∠BCG-∠BCD=80°-40°=40°. ∵∠CDE=140°,∴∠CDE+∠DCG=180°, ∴DE//FG,∴AB//DE. A B D E F C G 7题答图 课时2 平行线的性质 【基础巩固练】 1.B 2.B 3.125°4.x+y-180 5.解：∵CD//AB,∴ ∠BOD=∠D=110°. ∵OE平分∠BOD,∴.∠BOE=—∠BOD=55°. ∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°, ∴∠AOF=180°-∠FOE-∠BOE=180°-90°-55°=35°. 6.(1)证明：因为∠1=∠C, 所以PD//AC, 所以∠2=∠4. (2)解：因为∠2=∠4,∠2+∠3=180°, 所以∠3+∠4=180°,所以AD//EF,所以∠ADC=∠EFC. 又因为EF⊥BC, 所以∠EFC=90°,所以∠ADC=90°. 7.(1)证明：∵CD//AB,∠DCB=70°, ∴∠ABC=∠DCB=70°. ∵∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°. ∵∠EFB=130°,∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°, ∴EF//AB. 1.B 2.C 3.A 4.C 5.解：∵AB//CD,∠B=62°,∴.∠BED=∠B=62°. 6.B 7.C 8.D 9.垂直的定义 已知 CE//BF 【能力提升练】 ∵EG平分∠BED,:.∠DEG= —∠BED=31°. 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°, 等量代换 180°90 同角的余角相等 AB//CD ∴∠DEG+∠CEF=180°-∠FEG=90°, ∴∠CEF=90°-∠DEG=90°-31°=59°. (2)解：∵EF//AB,CD//AB, ∴EF//CD,∴∠CEF+∠ECD=180°. ∵∠CEF=70°,∴∠ECD=110°. ∵∠DCB=70°,∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=40°. 专题14 平行线中的“拐点”问题 1.B 2.C 3.A 4.A 5.30° 6.解：(1)如答图①,过点P作PM//AB, ∴∠1=∠AEP=40°. ∵AB//CD,∴PM//CD, ∴∠2+∠PFD=180°. ∵∠PFD=130°, ∴∠2=180°-130°=50°, ∴∠1+∠2=40°+50°=90°, 即∠FPE=90°. A- E B P 2 -M C- F D 6题答图① (2)∠PFC=∠PEA+∠FPE.理由如下： 如答图②,过点P作PN//AB,则PN//CD P -N A- E B C- F -D ∴∠PEA=∠NPE. ∵∠FPN=∠NPE+∠FPE, ∴∠FPN=∠PEA+∠FPE. ∵PN//CD,∠FPN=∠PFC, ∴∠PFC=∠PEA+∠FPE. 6题答图② ·33· 同步练测·八年级数学·上册·北师版 第七章 证明 1 为什么要证明 《基础巩固练 [答案 P32] 细识点③证明的必要性 1下列结论不一定正确的是 ( ) A.邻补角的平分线互相垂直 B.平行于同一直线的两条直线互相平行 C.相等的角是对顶角 D.能被4整除的数就能被2整除 2小刚和小明在手工制作课上，用同种小铁丝各 自制作楼梯模型，如图所示，那么他们用的材料 ( ) 5cm 5cm 6cm 6cm 小刚 小明 2题图 A.一样多 B.小刚的多 C.小明的多 D.无法判断 3 如图，比较线段a,b的长短，再用刻度尺量一下， 看看你的观察结果是否正确. a a b b (1) (2) 3题图 细识点②推理论证 ④ 下列说法正确的是 ( ) A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结 论的正确与否 B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数 D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少 有一个筐中的苹果不少于2个 5 某公园计划砌一个形状如图①的喷水池，后来 有人建议改为图②的形状，且外圆的直径不变， 喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池 的边沿 ( ) ① ② 5题图 A.图①需要的材料多 B.图②需要的材料多 C.图①、图②需要的材料一样多 D.无法确定 6当n=1时，(n2-5n+5)2=1; 当n=2时，(n2-5n+5)2=_____; 当n=3时，(n2-5n+5)2=_____; 当n=4时，(n2-5n+5)2=_____ 因此，小明推断无论n取任何正整数，(n2-5n+ 5)2的值都是_ ,这个推断是___ (填“正确”或“错误”)的. 7[传统文化]天干地支纪年法是上古文明的产 物，有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份 除以12的余数查出地支.如2008年，尾数8为 戊，2008除以12余数为4,4为子，那么2008年 就是戊子年.则2025年是____年.(用天干 地支纪年法表示) 110 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 第七章 证明 2 认识证明 课时1 定义与命题 《基础巩固练 [答案 P32] 知识点①定义与命题的概念 1 下列语句属于定义的是 ( ) ) A.直角都相等 B.作已知角的平分线 C.两点之间线段的长度叫作这两点间的距离 D.两点之间线段最短 2下列选项中不是命题的是 ( ) ) A.正数大于负数 B.过直线外一点作直线的平行线 C.三角形的任意两边之和大于第三边 D.如果a=b,a=c,那么b=c 3 下列句子中哪些是命题? (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)正数都大于0. (3)如果∠1+∠2=180°,那么∠1与∠2互补.补. (4)太阳不是行星. (5)对顶角相等吗? (6)作一个角等于已知角. 知识点② 命题的组成 4 如果∠A>∠B,∠B>∠C,那么∠A>∠C,这个这个 命题的条件是____ ,结论是_ 5 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写改写 成“如果⋯⋯,那么⋯⋯”的形式： 6下列命题的条件是什么?结论是什么? (1)等角的补角相等； (2)若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C. 知识点③ 真命题、假命题、反例 7(湖南娄底期末)下列命题中是真命题的是 ( ) A.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.实数与数轴上的点是一一对应的 C.0.3,0.4,0.5是一组勾股数 D.平面内点A(-1,2)与点B(-1,-2)关于 y轴对称 8 下列命题中，为假命题的是 ( ) A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.三角形的内角和为180° D.三角形任意两边之差小于第三边 9 先把下面两个命题分别改写成“如果⋯⋯,那 么⋯⋯”的形式，再判断该命题是真命题还是假 命题，如果是假命题，举出一个反例. (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)一个角的补角一定是钝角. 111见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P32] 课时2 定理与证明 基础巩固练 知识点① 公理、定理、证明的概念 1某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的 道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩 短路程 ( ) A.直线的公理 B.直线的公理或线段最短公理 C.线段最短公理 D.平行公理 2下列命题：①能被3整除的数也能被6整除； ②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③一 元一次方程x-1=0的根是x=1;④对顶角相 等.其中可以作为定理的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3在证明过程中，下列不能用来作为推理依据的 是 ( ) A.公理 B.定理 C.定义 D.命题 4“直角三角形的两个锐角互余”是__.(填 “公理”或“定理”) 知识点②推理证明 5 如果a//b,b//c,那么a//c.这个推理的依据是 6 填空： 如图，已知AB//CD,∠A=∠C,则可推得AD// BC.理由如下： D C A B 6题图 ∵AB//CD(已知), ∴∠A+∠___=180°(________ ____). ∵∠A=∠C(已知), ∴∠C+∠______=180°(______), ∴AD//BC(_______). 7如图，在△ABC和△ABD中，给出下列三个论 断：①AD=BC;②∠C=∠D;③∠1=∠2.请选 择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结 论构成一个命题. 112 成绩 (1)写出所有的真命题：____; (2)请选择一个真命题加以证明. 命题写成“→___”的形 式，用序号表示 C D 1 2 A B 7题图 8 (江苏无锡期末)小明在学习轴对称时，发现一 个很有意思的问题：对于很多真命题，将一个已 知条件和结论互换后仍然成立.如图，已知 △ABC中，点D在边BC上.小明提出如下猜想： 如果AD平分∠BAC,BD=CD,那么AB=AC.你 同意小明的猜想吗?如果同意，请给出证明；如 果不同意，请说明理由. A BDC 8题图