第1章 问题解决策略：反思&专题2 勾股定理中的教学思想方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P4]☆问题解决策略：反思 模型展示 确定几何体表面上的最短路线长 直接 展 B B B 开 展开 A A* A A F D4 D EF 分类 E D- FE F ED 讨论 CA B A BC A B A 甲 乙 丙 基本 将立体图形展开成平面图形→利用“两 思路 点之间线段最短”确定最短路径 ① 如图是一个正方体纸盒，如果一只蚂蚁从点A 沿纸盒表面爬到点B,它所爬过的最短路线可在 部分侧面展开图中用虚线表示为 ( ) B A 1题图 B B B B AL AL A A A B C D 2如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是 5,内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处 的食物，需要爬行的最短路径的长是 ( ) A.6 B.7 C.13 D.10 A 20 dm B Af 2dmf 3dm AK B ℃ B 2题图 3题图 4题图 3如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都 分别为20 dm,3 dm,2 dm.A和B是这个台阶上 两个相对的点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 ( ) A.18 dmB.20 dm C.25 dm D.35 dm 4 如图，正方体的棱长为9cm,已知点B与点C之间 的距离为3cm,一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点C,需要爬行的最短路程为________cm. 5 小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似 一个长方体的两个侧面，如图所示，则从点A攀 爬到点B的最短距离的平方是_____. B 8m A 5m 3m D- C N A M B 5题图 6题图 6如图，ABCD是长方形地面，长AB= 20 m,宽 AD=10m.中间竖有一堵砖墙，高MN=2m.一 只昆虫从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵 墙，则它至少要走_____m的路程. 7如图，已知长方体的长AC=3cm,宽BC=2cm, 高AA'=5cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 点A爬到点B′,那么沿哪条路径爬行的路程 最短? D' B' A C′ D- B A C 7题图 10 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第一章 勾股定理 专题2 勾股定理中的数学思想方法 [答案 P4] 类型③分类讨论思想在勾股定理中的应用 ①在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC= 3,点P为边BC的三等分点，连接AP,则AP2的 值为_______. 2已知 CD是△ABC的边AB上的高，若CD=4, AD=3,AB=2AC,求BC2的值. 类型②)方程思想在勾股定理中的应用 3(云南昆明期中)把一张长方形纸片ABCD按如 图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重 合(E,F两点均在BD上),折痕分别为BH,DG. 若AB=6cm,BC=8 cm,则线段FG的长为———_. A. 具 D F E B G C 3题图 ④ 新考向 如图，有一只摆钟，把摆锤看作一个点， 当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=4cm, 当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高 度BF=6cm,此时摆锤与静止位置时的水平距 离BC=8cm,则钟摆AD的长度为_______cm. A C上 B G8 D E F 4题图 5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5cm,BC= 3 cm,D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠， 使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长. A E D B4 C 5题图 类型③转化思想在勾股定理中的应用 6 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别是4,2, 9,用一根细线绕侧面绑在点A,B处，不计线头， 细线的最短长度为 ( ) B 9 A 4 2 6题图 A.12 B.15 C.18 D.21 7(浙江杭州期中)如图，直线l上有三个正方形 A,B,C.若正方形A,C的面积分别为4和3,则 正方形B的面积为 ( ) B A C 1 7题图 A.6 B.7 C.10 D.25 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 11 同步练测·八年级数学·上册·北师版 4.C 5.1 6.27.5-或15 8.解：(1)由折叠的性质，得B'F=BF,∠B'FE=∠BFE. 在长方形纸片ABCD中，AD//BC, 所以∠B'EF=∠BFE, 所以∠B'FE=∠B'EF,易得B'F=B'E, 所以B'E=BF. (2)a,b,c之间的关系是a2+b2=c2.理由如下： 由(1)知 B'E=BF=c. 由折叠的性质，得∠A'=∠A=90°, A'E=AE=a,A'B'=AB=b. 在△A'B'E中，∠A'=90°, 所以A'E2+A'B12=B'E2,所以a2+b2=c2. ☆问题解决策略：反思 1.B 2.C 3.C 4.15 5.128 6.26 7.解：根据题意，最短路径有以下三种情况： ①如答图①,展开前面、右面： AB'2=(AC+CB)2+BB12=(3+2)2+52=25+25=50; ②如答图②,展开前面、上面： AB'2=AC2+(CC′+C'B')2=32+(5+2)2=9+49=58; ③如答图③,展开左面、上面： AB12=AD2+(DD'+D'B')2=22+(5+3)2=4+64=68. 因为50<58<68, 所以最短路径如答图①所示. A' C′ B' 5 A 3 C2B D'_ B' A'- 2. 5 A2 3 C B' C' 3 D' A' 5 D- 2A 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 专题2 勾股定理中的数学思想方法 1.10或13 [解析]分两种情况：①如答图①,当点P是靠近 点B的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PB=3BC=1, 所以CP=2,所以AP2=AC2+PC2=13;②如答图②,当点 P是靠近点C的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PC= BC=1,,所以AP2=AC2+PC2=10.综上所述，AP2的值 为10或13. C P A4 B C P A B 1题答图① 1题答图② 2.解：分两种情况： ①当高CD在△ABC内部时，如答图①. 因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°. 因为CD=4,AD=3, 所以AC2=AD2+CD2=32+42=52, 所以AC=5. 因为AB=2AC,所以AB=10, 所以BD=AB-AD=10-3=7, 所以BC2=BD2+CD2=72+42=65; ②当高CD在△ABC外部时，如答图②. 同理可得AC=5,AB=10, 所以BD=AB+AD=10+3=13, 所以BC2=CD2+BD2=42+132=185. 综上所述，BC2的值为65或185. C B D A 2题答图① C B A D 2题答图② 3.3cm [解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG, 所以FD=CD=AB=6cm,FG=CG,∠DFG=∠C=90°. 在Rt△BCD中，BC=8cm,CD=AB=6 cm. 根据勾股定理，得BD2=82+62=100=102, 所以BD=10cm, 所以BF=BD-DF=10-6=4(cm). 在Rt△BGF中，设FG=CG=x cm, 则有BG=BC-CG=(8-x)cm. 根据勾股定理，得 BG2=FG2+BF2,即(8-x)2=x2+42, 整理，得-16x+64=16,即16x=48, 解得x=3,则FG=3cm. 4.17 5.解：由折叠性质可知 BE=BC=3cm, DE=DC,∠BED=∠C=90°, 所以∠AED=90°. 因为AB=5 cm,所以AE=AB-BE=2cm. 在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5 cm,BC=3cm, 所以AC2=AB2-BC2=16=42,所以AC=4cm. 设AD=xcm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, 即22+(4-x)2=x2, 解得x=2.5,所以AD=2.5 cm. 6.B 7.B 易错疑难集训一 1.100或28 2.169或119 3.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=52, 所以CD=5. BD2=AB2-AD2=92,所以BD=9, 所以BC=BD+CD=9+5=14, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+14=42; ·4·